专题3 第3讲 数列求和 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第三讲　数列求和 基础课 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档. 考点一　分组(并项)求和 内容索引 考点二　裂项相消法求和 考点三　错位相减法求和 3 考点一　分组(并项)求和 考点一　分组(并项)求和 [例1]　(1)(2025·湖北武汉模拟)数列{(-1)n-1·n}(n∈N*)的前2 025项和为(　　) A.1 012　　　　　　　　　 B.-1 012 C.1 013 D.-1 013 [解析]　设数列{(-1)n-1·n}的前n项和为Sn,则S2 025=1-2+3-4+5-6+…+2 023-2 024+2 025=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2 023-2 024)+2 025=-1×1 012+2 025=-1 012+2 025=1 013. C 考点一　分组(并项)求和 (2)(2025·江苏南京模拟)设cn=an+bn,数列{bn}为等比数列,数列{an}是公差不为零的等差数列,且a1=b1=1,a2=b2,a4=b3,则数列{cn}的前10项和为(　　) A.1 078 B.1 077 C.567 D.550 A 考点一　分组(并项)求和 [解析]　设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,其中d≠0, 由题意=b1b3,即=a1a4,即(1+d)2=1+3d,整理得d2-d=0. 因为d≠0,所以d=1,故an=a1+(n-1)d=1+n-1=n, 所以b2=a2=2,则q==2,故bn=b1qn-1=2n-1. 又因为cn=an+bn=n+2n-1, 所以数列{cn}的前10项和为S10=(a1+a2+a3+…+a10)+(b1+b2+b3+…+b10) =+=1 078. 考点一　分组(并项)求和 　分组求和就是不改变原有的项,把结构相同的部分归为同一组,转化为若干个可求和的数列的和或差,然后再求和;并项求和就是把有规律的项合并作为新的项,然后再求和. 方法总结 考点一　分组(并项)求和 1.(2025·安徽黄山模拟)已知数列{an}满足an=(-1)nn2,某同学将其前20项中某一项的正负号写错,得其前20项和为372,则写错之前这个数为(　　) A.-64 B.-81 C.100 D.-121 解析:an=(-1)nn2,则其前20项和为S=-12+22-32+42-…-192+202=(22-12)+ (42-32)+…+(202-192)=1+2+3+4+…+20=210. 设写错的项为x,则S-x-x=372,解得x=-81,a9=-81, 故写错之前这个数为-81. 对点训练 B 考点一　分组(并项)求和 2.(2025·陕西咸阳模拟)若{an+n}是等比数列,且a1=2,a2=4,则数列{an}的前8项和为(　　) A.689 B.716 C.729 D.1 597 解析:设等比数列{an+n}的公比为q,则q==2, 所以an+n=(a1+1)qn-1=3×2n-1,则an=3×2n-1-n, 故数列{an}的前8项和为3×-×8=729. C 考点二　裂项相消法求和 考点二　裂项相消法求和 裂项常见形式 1.分母两项的差等于常数: =(-); =(-). 2.分母两项的差与分子存在一定关系: =-;=[-]. 3.分母含无理式:=-. 4.分解成“+”型:(-1)n=(-1)n(+). 考点二　裂项相消法求和 [例2]　已知数列{an}的首项为1,且an+1=2an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; [解]　因为数列{an}的首项为1,且an+1=2an(n∈N*), 所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1. 考点二　裂项相消法求和 (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　由(1)知an=2n-1, 所以bn===-, 所以Tn=-+-+…+- =-=-. 考点二　裂项相消法求和 　裂项与消项规律 一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 方法总结 考点二　裂项相消法求和 对点训练 3.(2025·湖北黄冈模拟)已知数列{an}是等差数列,a2=4,a4=10. (1)求{an}的通项公式; 解:由a2=4,a4=10可得a4-a2=6,故公差d=3, 所以an=a2+(n-2)d=4+3(n-2)=3n-2. 考点二　裂项相消法求和 (2)设数列{}的前n项和为Tn,求Tn. 解:由于==(-), 故Tn=(-)+(-)+…+(-)=[(-)+(-)+…+(-)]=(1-)=. 考点三　错位相减法求和 考点三　错位相减法求和 如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.用其求和时,应注意:1.等比数列的公比为负数的情形;2.在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“Sn-qSn”的表达式. 考点三　错位相减法求和 [例3]　(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式; [解]　当n=1时,4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4. 当n≥2时,4Sn-1=3an-1+4, 所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1, 即an=-3an-1, 而a1=4≠0,故an≠0,故=-3, 所以数列{an}是以4为首项,-3为公比的等比数列,所以an=4·(-3)n-1. 考点三　错位相减法求和 (2)设bn=(-1)n-1nan,求数列{bn}的前n项和Tn. [解]　 bn=(-1)n-1·n·4·(-3)n-1=4n·3n-1, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4×30+8×31+12×32+…+4n·3n-1, 故3Tn=4×31+8×32+12×33+…+4n·3n, 所以-2Tn=4+4×31+4×32+…+4×3n-1-4n·3n=4+4×-4n·3n=4+2×3×(3n-1-1)-4n·3n=(2-4n)·3n-2, 所以Tn=(2n-1)·3n+1. 考点三　错位相减法求和 方法总结 　用错位相减法求和时,应注意: 1.等比数列的公比为负数的情形. 2.作差后所得等比数列的项数. 3.最后一项的符号. 考点三　错位相减法求和 对点训练 4.(2025·福建福州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; 解:因为Sn=2an-n, 取n=1可得S1=2a1-1,又S1=a1, 所以a1=2a1-1,解得a1=1, 当n≥2,n∈N*时,用n-1替换n可得Sn-1=2an-1-n+1, 所以an=2an-2an-1-1, 考点三　错位相减法求和 即an=2an-1+1, 所以an+1=2an-1+1+1=2(an-1+1), 即=2,又a1+1=2, 所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列, 所以an+1=2×2n-1=2n, 即an=2n-1. 考点三　错位相减法求和 (2)设bn=n(an+1),求数列{bn}的前n项和Tn. 解:因为bn=n(an+1)=n·2n, 所以Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,① 2Tn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,② ①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 所以Tn=(n-1)·2n+1+2. 感谢您的观看 $