专题2 第1讲 三角函数的图象与性质 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第一讲　三角函数的图象与性质 基础课 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 1.高考常将三角函数的多种性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值以及图象的变换和图象的识别等综合考查.　2.选择题、填空题多以中档题为主,解答题通常与三角恒等变换、平面向量等知识结合,增加试题的灵活性和综合性. 考点一　三角恒等变换 内容索引 考点二　三角函数的图象 考点三　三角函数的性质 3 考点一　三角恒等变换 考点一　三角恒等变换 [例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos =,则sin(α-)=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. D 考点一　三角恒等变换 [解析]　法一:cos α=2cos2-1=2×()2-1=-. 因为0<α<π,则<α<π, 则sin α===, 则sin(α-)=sin αcos -cos αsin =×-(-)×=. 法二:因为0<α<π,所以0<<,又因为cos =,所以sin ==. 故sin α=2sin cos =2××=,cos α=cos2 -sin2 =-=-, 所以sin(α-)=sin αcos -cos αsin =×+×=. 考点一　三角恒等变换 (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　) A.-3m B.- C. D.3m A 考点一　三角恒等变换 [解析]　因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m, 而tan αtan β==2, 所以cos αcos β-2cos αcos β=m, 即cos αcos β=-m,从而sin αsin β=-2m, 故cos(α-β)=-3m. 考点一　三角恒等变换 　 三角恒等变换的基本思路 找差异、化同角(名)化简求值,三角变换的关键在于对两角和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式、二倍角公式、三角恒等变换公式的熟记和灵活应用. 方法总结 考点一　三角恒等变换 1.在平面直角坐标系Oxy中,角α与角β的终边关于y轴对称.若cos=,则cos β=(　　) A. B.- C. D. - 对点训练 A 考点一　三角恒等变换 解析:由题意α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α, 而cos α=2cos2-1=2×()2-1=-, 所以cos β=cos(2kπ+π-α)=-cos α=. 考点一　三角恒等变换 2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.  - 考点一　三角恒等变换 解析:法一:tan(α+β)==-2. 又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角,由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=. 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-. 法二:设tan α=m,tan β=n,m>0,n>0,则sin α=,cos α=, sin β=,cos β=, 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-. 考点二　三角函数的图象 考点二　三角函数的图象 [例2]　(1)(多选)为了得到函数f(x)=sin(2x-)的图象,只需把正弦曲线上所有的点(　　) A.先向右平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变 B.先向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 D.先将横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度 AC 考点二　三角函数的图象 [解析]　正弦曲线y=sin x先向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象, 再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到函数f(x)=sin(2x-)的图象,故A正确,B错误; 先将正弦曲线y=sin x上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到函数y=sin 2x的图象,再向右平移个单位长度, 得到函数f(x)=sin(2x-)的图象,故C正确,D错误. 考点二　三角函数的图象 (2)如图是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的部分图象,则该函数的解析式可以是(　　) A.y=2sin(x+) B.y=2sin(x-) C.y=2sin(2x+) D.y=2sin(2x-) C 考点二　三角函数的图象 [解析]　法一(逐一定参法):由题图可得,A=2,T=-(-)=,即T=π=,即ω=±2, 观察各选项可知,本题考虑ω=2即可,则y=2sin(2x+φ),把点(,2)代入y=2sin(2x+φ)中, 可得sin(+φ)=1,故+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z, 所以y=2sin(2x++2kπ)=2sin(2x+). 考点二　三角函数的图象 法二(五点法) : 由题图知A=2.因为图象过点(,2)和(-,0),所以 解得所以y=2sin(2x+). 考点二　三角函数的图象 法三(图象变换法):由题图可得A=2,T=-(-)=,即T=π=,即ω=±2, 结合选项可知,本题考虑ω=2即可.由点(-,0)在函数图象上, 可知函数图象由y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度而得,所以y=2sin 2(x+)=2sin(2x+). 考点二　三角函数的图象 　由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值 1.最值定A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为M,最小值为m,则A=,B=. 2.T定ω:由最小正周期公式T=,可得ω=. 3.特殊点定φ:代入特殊点求φ,一般代入最高点或最低点,代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势. 方法总结 考点二　三角函数的图象 对点训练 3.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin (3x-)的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 C 考点二　三角函数的图象 解析:因为函数y=sin x的最小正周期为2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为,所以当x∈[0,2π]时,函数y=2sin(3x-)有3个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两个函数图象,如图所示, 由图可知,在区间[0,2π]上,两函数图象有6个交点. 考点二　三角函数的图象 4.(2025·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx-φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f()=(　　) A.-1 B.1 C. D.- B 考点二　三角函数的图象 解析:由题图可知,=-=,所以T=π. 又因为ω>0,所以ω===2. 又因为f()=2cos(2×-φ)=2, 所以2×-φ=2kπ,k∈Z, 所以φ=-2kπ,k∈Z,又|φ|<, 令k=0,可得φ=, 所以f(x)=2cos(2x-),故f()=2cos =1. 考点三　三角函数的性质 考点三　三角函数的性质 [例3]　(多选)(2025·山东淄博模拟)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(0<ω<6,ω∈N*,φ∈(0,)),满足:∀x∈R,f(x)-f()≤0成立,且f(x)在(0,)上有且仅有2个零点,则下列说法正确的是(　 　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)在区间(,)上单调递减 C.函数f(x)的一个对称中心为(-,0) D.函数f(x-)是奇函数 BCD 考点三　三角函数的性质 [解析]　因为∀x∈R,f(x)-f()≤0恒成立, 所以f(x)的最大值为f(), 所以ω+φ=2kπ,k∈Z,即φ=-ω+2kπ,k∈Z, 当x∈(0,)时,ωx+φ∈(φ,ω+φ), 又φ∈(0,),且f(x)在(0,)上有且仅有2个零点, 所以≤ω+φ<, 考点三　三角函数的性质 所以≤ω-ω+2kπ<,k∈Z,即≤2kπ<,k∈Z,得k=1, 所以φ=-ω+2π, 因为0<ω<6,ω∈N*,φ∈(0,), 所以ω=5,φ=, 所以f(x)=2cos(5x+). 对于A:函数f(x)的最小正周期T=,故A错误; 考点三　三角函数的性质 对于B:当x∈(,)时,5x+∈(2π,), 又y=cos x在(2π,)上单调递减, 所以函数f(x)在区间(,)上单调递减,故B正确; 对于C:因为f(-)=2cos(-+)=2cos(-)=0, 所以函数f(x)的一个对称中心为(-,0),故C正确; 对于D:因为f(x-)=2cos[5(x-)+]=2cos(5x-)=2sin 5x,为奇函数,故D正确. 考点三　三角函数的性质 方法总结 　研究三角函数性质的思路 将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式, 将ωx+φ(ω>0)作为一个整体,结合正弦函数y=sin x的性质求解. 考点三　三角函数的性质 对点训练 5.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. B 考点三　三角函数的性质 解析:根据正切函数的性质,y=2tan(x-)的对称中心横坐标满足x-=,k∈Z, 即y=2tan(x-)的对称中心是(+,0),k∈Z, 即a=+,k∈Z,又a>0,则k=0时a最小,最小值是,即a=. 考点三　三角函数的性质 6.(多选)(2025·广东肇庆模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列结论中正确的是(　 　) A.ω=2 B.函数f(x)的图象关于点(-,0)对称 C.函数f(x)在[-,]上单调递增 D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)=sin(2x+)的图象 ABC 考点三　三角函数的性质 解析:对于选项A:由题意可得=-=,故T=π,则ω==2,故A正确; 根据图象,函数f(x)的最小值为-1,又A>0,所以A=1,f()=sin(2×+φ)=-1, 即+φ=-+2kπ(k∈Z),解得φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,即φ=-+2π=, 所以f(x)=sin(2x+). 对于选项B:当x=-时,有2×(-)+=0, 故f(x)的图象关于点(-,0)对称,故B正确; 考点三　三角函数的性质 对于选项C:令t=2x+,则y=sin t, 当x∈[-,]时,t=2x+∈[-,], 而y=sin t在[-,]上单调递增,故C正确; 对于选项D:将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)=f(x-)=sin[2(x-)+]=sin(2x+),故D错误. 感谢您的观看 $