专题2 创新探究1 三角函数与平面向量中的思维创新问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

创新探究1　三角函数与平面向量中的思维创新问题 第一部分　专题突破 专题二　三角函数与平面向量 高考分析 三角函数与平面向量中的创新问题常涉及新定义和新背景问题以及知识交汇问题;解决此类问题时需要准确理解新定义和创新点,构建三角函数与平面向量模型,提高解决创新问题的能力. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 内容索引 类型二　与解三角形有关的新情境问题 3 类型一　与三角函数有关的交汇问题 类型一　与三角函数有关的交汇问题 [例1]　(2025·上海模拟)人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试,经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B之间的曼哈顿距离为:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.A,B之间的余弦距离为1-cos(A,B),其中cos(A,B)=×+×为A,B之间的余弦相似度. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 (1)若A(2,1),B(1,2),求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离. [解]　由题意d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|=|2-1|+|1-2|=2. 因为cos(A,B)=×+×=×+×=, 所以余弦距离为1-cos(A,B)=. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 (2)已知0<α<β<,M(cos α,sin α),N(cos β,sin β),P(cos(α+β),sin(α+β)),且cos(M,N)=,cos(M,P)=. ①求N,P之间的余弦距离; 类型一　与三角函数有关的交汇问题 [解]　由题意cos(M,N)=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=, 由0<α<β<,可得-<α-β<0, 故sin(α-β)=-=-. 因为cos(M,P)=cos αcos(α+β)+sin αsin(α+β)=cos[α-(α+β)]=cos β=,故sin β=, 则cos(N,P)=cos βcos(α+β)+sin βsin(α+β)=cos[β-(α+β)]=cos α, 又cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=×-(-)×=, 所以N,P之间的余弦距离为1-cos(N,P)=1-cos α=. 类型一　与三角函数有关的交汇问题 ②求N,P之间的曼哈顿距离. [解]　由①可知sin 2β=2sin βcos β=,cos 2β=2cos2β-1=-, cos(α+β)=cos[(α-β)+2β]=cos(α-β)cos 2β-sin(α-β)sin 2β=×(-)-(-)×=. 因为0<α+β<π,则sin(α+β)==, 所以N,P之间的曼哈顿距离为 d(N,P)=|cos β-cos(α+β)|+|sin β-sin(α+β)|=|-|+|-|=. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [例2]　(2025·安徽马鞍山模拟)已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为f(x)=sin x+cos x,向量的相伴函数为g(x)=asin x+bcos x.若与垂直时,求与平行的单位向量; 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [解]　依题意=(1,1),=(a,b),由·=a+b=0, =(a,-a),因此与平行的单位向量为±=±(1,-1)=±(,-),所以与平行的单位向量为(,-)或(-,). 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (2)设函数f(x)=sin x+cos x的相伴特征向量为,函数g(x)=cos(x-) +cos(+x)(x∈R)的相伴特征向量为,求出△ABC的面积; [解]　依题意=(1,1),||=, g(x)=(cos x+sin x)+cos x-sin x=sin x+cos x,则=(1,),||=2, 所以S△ABC=||||sin∠BAC= ===. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 (3)已知=(,1)为函数h(x)的相伴特征向量,若在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,h(A)=2,若点G为该△ABC的外心,求·+·的最小值. 类型二　与解三角形有关的新情境问题 [解]　依题意h(x)=sin x+cos x=2sin(x+), 在△ABC中,由h(A)=2,得sin(A+)=1,而0<A<π,则A=, 由正弦定理得△ABC的外接圆半径R===1, 由点G为△ABC的外心,得||=||=||=1,且∠BGC=, ·+· =·(-)+·(-) 类型二　与解三角形有关的新情境问题 =·+·-2 =cos∠AGB+cos∠AGC-2=cos∠AGB+cos(-∠AGB)-2 =cos∠AGB-sin∠AGB-2=cos(∠AGB+)-2, 由0<∠AGB≤π且0<-∠AGB≤π, 得≤∠AGB≤π,≤∠AGB+≤, 因此当∠AGB+=π, 即∠AGB=时, [cos(∠AGB+)]min=-1, 所以·+·的最小值为-3. 感谢您的观看 $