专题1.2 常用逻辑用语-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

2.常用逻辑用语 第一部分　专题突破 专题一　预备知识 高考分析 从近几年高考命题分析,常用逻辑用语没有单独命题考查,偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中. 1.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析:由x=0⇒sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件; 又当x=π时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0⇒/x=0, 故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件. 综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件. A B 4.(2023·北京卷)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析:法一: 充分性证明:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y, 所以+=+=-1-1=-2, 所以充分性成立; 必要性证明:因为xy≠0,且+=-2, 所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0, 所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 法二: 充分性证明:因为xy≠0,且x+y=0, 所以+=====-2, 所以充分性成立; 必要性证明:因为xy≠0,且+=-2, 所以+====-2=-2, 所以=0,所以(x+y)2=0,所以x+y=0, 所以必要性成立. 所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件. 5.(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:{}为等差数列,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 C 解析:充分性证明:甲:{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d, 则Sn=na1+d,=a1+d=n+a1-,所以-=, 因此{}为等差数列,则甲是乙的充分条件; 必要性证明:法一:乙:{}为等差数列,即-==为常数,设为t, 即=t,则Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1),n≥2, 两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,对n=1也成立, 因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件. 法二:乙:{}为等差数列,设其公差为D,即-=D,=S1+(n-1)D, 即Sn=nS1+n(n-1)D, 当n≥2时,Sn-1=(n-1)S1+(n-1)(n-2)D, 上两式相减得Sn-Sn-1=S1+2(n-1)D,即an=a1+2(n-1)D,当n=1时,上式成立, 又an+1-an=a1+2nD-[a1+2(n-1)D]=2D为常数, 因此{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件. 6.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则(　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=1+是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 C 解析:对A,当a⊥b时,则a·b=0, 所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立,故A错误; 对C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0, 所以a⊥b,即充分性成立,故C正确; 对B,当a∥b时,则2(x+1)=x2,解得x=1±,即必要性不成立,故B错误; 对D,当x=-1+时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,即充分性不成立,故D错误. 7.(2024·北京卷)设 a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析:因为(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,可得a2=b2,即|a|=|b|, 可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|, 若a=b或a=-b,可得|a|=|b|,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性成立; 若(a+b)·(a-b)=0,即|a|=|b|,无法得出a=b或a=-b, 例如a=(1,0),b=(0,1),满足|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,可知充分性不成立. 综上所述,“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件. D 9.(2024·江苏南通模拟)若命题:“∃a,b∈R,使得a-cos b≤b-cos a”为假命题,则a,b的大小关系为(　　) A.a<b　　　　　　　　 B.a>b C.a≤b D.a≥b B 解析:由题意,命题的否定“∀a,b∈R,使得a-cos b>b-cos a”为真命题, 即a+cos a>b+cos b, 设f(x)=x+cos x,则f'(x)=1-sin x≥0, 所以f(x)为增函数,所以由f(a)>f(b)可知,a>b. 10.(2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 B 解析:当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,但sin α+cos β≠0, 即sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0; 当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1, 即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1. 综上可知,甲是乙的必要不充分条件. 感谢您的观看 2.(2024·陕西安康模拟)已知命题p:∀△ABC,A+B+C=π,则􀱑p为(　　) A.∃△ABC,A+B+C≠π B.∀△ABC,A+B+C≠π C.∃△ABC,A+B+C=π D.∀△ABC,A+B+C=π 解析:根据全称量词命题的否定,得􀱑p为∃△ABC,A+B+C≠π. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析:对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,􀱑p是真命题, 对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,􀱑q是假命题. 综上,􀱑p和q都是真命题. 8.(2025·浙江杭州模拟)定义新运算:a􀱇b=ln(ea+eb),设f(x)=(x􀱇1)+(x􀱇2),命题p:∃x∈R,f(x)≤3,则(　　) A.􀱑p:∀x∈R,f(x)≤3,且􀱑p为假 B.􀱑p:∀x∈R,f(x)>3,且􀱑p为假 C.􀱑p:∀x∈R,f(x)≤3,且􀱑p为真 D.􀱑p:∀x∈R,f(x)>3,且􀱑p为真 解析:因为a􀱇b=ln(ea+eb),且ex>0, 则x􀱇1=ln(ex+e)>ln e=1,x􀱇2=ln(ex+e2)>ln e2=2, 可得f(x)=(x􀱇1)+(x􀱇2)>3,即命题p:∃x∈R,f(x)≤3为假命题, 所以􀱑p:∀x∈R,f(x)>3,且􀱑p为真命题. $