福建省福州市2025-2026学年高一上学期适用性练习数学试卷

(在此卷上答题无效) 2025-2026学年福州市高一年级适应性练习 数学 (完卷时间：120分钟；满分：150分) 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.命题“Vx∈Z,x∈R”的否定是 A.x庄Z,x∈R B.Hx∈Z,x年R C.3x生Z,x庄R D.3x∈Z,x主R 2.已知集合A=(xx>2),B={x1≤x≤3，则AUB= A.[1,31 B.（2,31 C.[1,+∞) D.（2,+o) 3.已知csa=子则cos(元-a) A.-22 3 B c号 D. 2W2 3 4.“x=2”是“x2=4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩 造成亮度周期性的变化.如图所示为一造父变星的亮度（用“视星等”衡量)随 时间（单位：天）的变化记录图，视星等越小，亮度越高.由记录图可知，从第7 天开始计算，该星的亮度首次达到最高时，大约需要经过的天数是 3.5 4.0 4.5 01234567891011121314151617181920 A.2 B.4 C.6 D.8 6若a6eR且后+子=1，则u+的最小值为 A.3+√2 B.4v2 C.3+2W2 D.6 高一数学一1一（共4页) 7.已知角0的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)， 则cos20= A治 7 B.25 c. D. 2 25 8.已知函数/(x)=x++2,且函数g(x)=a-f(x)川'恰有两个零点，则整数a 的取值的种数为 A.9 B.12 C.13 D.15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.y=2ix B.y=x3 C.y=a-1 D.y=tanx 10.若a>b>c>d>0,则 b A.ac>bd B.a-d>b-c C.a+d>b+c D.a-6>a-c 11.已知函数f()=c0s(om+@>0.lp<的部分图象如图所示.则 A.w=2,p=-5 6 12 C直线x=径是y=()图象的一条对称轴 D.y=(x)在[0,2]上的图象与直线y=号恰有1个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数∫(x)=1+u-(u>0,Ha≠1)的图象恒过定点P,则P的坐标为 13.“数摺聚清风，一捻生秋意.”中国传统折扇有着深厚的文化底蕴.如图，某把折 扇的扇面部分是扇环ABCD,设AD=20D=2,∠A0B=名元，则该折扇的扇面部 分的面积是 高一数学一2一（共4页） 14.已知函数f(x)的定义域为R,写出一个同时具有下列三个性质的函数∫(x)=一 ①f(x1+2)+∫(x1)f(x:)=0; @若1*，则)-<0： c1-x2 ®r色L. 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=ax2-6x+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,且f(1)=-2. (1)求∫(x)的解析式； (2)求不等式f(x)<10的解集 16.（15分) 已知数(=m+引+分 (1)求∫(x)的最小正周期和值域； (2)从以下①、②两种图象变换中选择一种，将y=f(x)的图象变换为y=g(x) 的图象，求y=g(x)图象的对称中心 ①先将y=∫()的图象向左平移需个单位长度，再将所得图象上所有点的横 坐标缩短为原来的)（纵坐标不变）. ②先将y=∫(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的)（纵坐标不变），再 将所得图象向左平移云个单位长度。 (注：如果选择多个图象变换分别解答，按第一个解答计分.) 17.(15分) 已知函数f(x)=lg(5+x)-lg(5-x). (1)求∫(x)的定义域： (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)判断f(x)的单调性，并用定义证明. 高一数学一3一（共4页)】 18.(17分) 在“型无人机”物流配送场景中，无人机的载重x（单位：kg,0≤x≤26) 会直接影响其每千米能耗y(单位：Whkm,Wh为电能单位).某技术团队对该无 人机进行载重测试，得到如下实验数据： 载重x(人g) 0 1 9 16 每下米能耗y(Whkm) 7 12 17 22 为精准预测不同载重下的每千米能耗，现有以下三种模型供选择： ①y=ulnx+:,②y=e+c,③y=pVx+q (1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并求出其函数解析式； (2)若该无人机电池容量为300W,飞行环境、飞行参数控制不变.根据(1) 中所得的函数模型， (i)某单程配送任务要求该无人机飞行20km,且载重9kg,判断该无人机是 否能完成本次配送任务，并说明理由； （i)若该无人机执行往返配送任务，去程与返程均需飞行s(单位：k),去 程载重25kg,返程空载，且往返总能耗不大于电池容量的87%，求s的 最大值 19.(17分) 以下是人教A版高中数学必修第一册教材中的一道习题： 证明：sinx-cos2x=sin4x-cos4x.（*) 为了将该问题进行拓展探究，定义函数fn(x)=sin”x-cos”x(n∈N).例如，方程(*) 可表示为f(x)=f4(x)】. ()求函数g(x)=的单调递减区间； fi(x) (2)求不等式f(x)<∫(x)的解集； (3)是否存在正数a,对于任意n≥3，关于x的方程(x)=f(x)在区间(0.al至 少有三个不同实数根？若存在，求出α的最小值；若不存在，说明理由. 高一数学一4一（共4页）2025-2026学年第一学期福州市高一年级适应性练习 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.D 2.C3.B 4.A5.B6.C7.B 8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1,2) 13.3 14.-2(答案不唯一，f(x)=-d'(a>1)均满足.) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【考查意图】本小题主要考查二次函数的图象与性质，解一元二次不等式等基础知 识，考查运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，考查数学运算 等核心素养，体现基础性.满分13分. 【解析】(1)因为f(x)=ax2-6x+c(a≠0)图象的对称轴为x=1, 所以- 5=,052分 2a 解得a=3, …3分 由f(1)=3-6+c=-2, …5分 解得c=1, 6分 所以f(x)=3x2-6.x+1: …7分 (2)因为f(x)<10,所以3x2-6x+1<10,…8分 即x2-2x-3<0, 所以(x+1)(x-3)<0, 解得-1<x<3, …12分 所以原不等式的解集是（-1,3).…13分 数学参考答案 第1页（共8页） 16.【考查意图】本小题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的图象变换等基础 知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查数形结合思想，化 归与转化思想等，考查逻辑推理和数学运算等核心素养，体现基础性.满分15分. 【解析】(1)因为f(x)=simx+ 2 所以f(x)的最小正周期T=2π. …3分 又因为-l≤sinx+ ≤1 ……5 6 π.13 所以-2≤ix+ 十一 6'22 13 所以∫(x)的值域为 2'2 …7分 (2)若选①，先将y=f(x)的图象向左平移 个单位长度， 6 得到y=sin +1 66+2s血x+3十 的图象， …9分 再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)， 得到g(x)=sin2x+3 +的图象 11分 令2x+及，keZ,= …13分 解得x=血π 26 所以y=g(x)图象的对称中心为 π1 k∈Z. …15分 262 若选②，先将y=(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)， 得到y=sin …9分 再将所得图象向左平移工个单位长度， 6 得到g(y)=sm +爱引号m2x引os2x5的图象.1分 令2x=km+ …13分 数学参考答案 第2页（共8页) 解得x=+元 241 所以y=8(x)图象的对称中心为 杌，π1 2+42 k∈Z.…15分 17.【考查意图】本小题主要考查对数型函数的图象性质等基础知识，考查逻辑推理能 力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性.满分15分. 【解析】解法一：(1)要使f(x)=lg(5+x)-lg(5-x)有意义， [5+x>0, 只需 5-x>0, …2分 解得-5<x<5,. 3分 所以f(x)的定义域为(-5,5)… …4分 (2)f(x)为奇函数. 5分 理由如下： 由(1)知，f(x)的定义域为(-5,5)， 因为x∈(5,5)，都有-xe(-5,5),且 f(-x)=lg(5-x)-g(5+x)=-[lg6+x)lg6-x]=-f), 所以f(x)为奇函数；… …8分 (3)f(x)在(-5,5)上单调递增… …9分 证明如下：因为f创-8，由（①得，树定义减为(55 x,x2∈(-5,5)，且5<x, 所以f)-j0飞)=1g+-1g+s=1g (5+)5-x) 5-1 5-2 5(5-x)5+x) …11分 因为(5+5)5-5)-(5-x)5+x) =25+5.x-5x2-xx2-(25+5.x2-5x-xx)=10(5-x2), 数学参考答案第3页（共8页） 又-x<0,所以(5+x)5-x)-(5-x)5+x)<0, 即(5+x)(5-x)<(5-)5+x), 因为5-505+5>0，所以0<5+55-<1，…14分 (5-x)5+x) 5+)5-）<0,即f(x)<f(s), 所以86-x6+g】 所以f(x)在(-5,5)上单调递增. …15分 【解析】解法二：(1)略，同解法一； (2)略，同解法一 (3)f(x)在（-5,5)上单调递增。…9分 证明如下：因为f(x)=g(5+x)-lg(5-x),由(1)得，f(x)定义域为(-5,5). x,2∈(-5,5)，且x<x2, 所以f(s)-f(x)=g(5+x)-g(5-x)-[g(5+x,)-g(5-x] =[1g(5+x)-l1g(5+x)]+[lg(5-x)-lg(5-x)]…11分 因为x<x2,所以5+x<5+2,所以g(5+x)<lg(5+x), 即lg(5+x)-lg(5+x2)<0, 又因为5-x2<5-x,所以lg(5-x2)<lg(5-x), 即lg(5-x)-lg(5-x)<0,… 14分 所以[g(5+x)-lg(5+x】+[lg(5-x)-l1g(5-x)门<0， 所以f(x)-f(x)K0,即f(s)<f(), 所以f(x)在(-5,5)上单调递增.…15分 18.【考查意图】本小题主要考查幂型函数的图象和性质、解不等式等基础知识，考查 数学参考答案第4页（共8页) 逻辑推理能力、数学建模能力、创新能力和运算求解能力等，考查函数与方程思想、 化归与转化思想等，考查逻辑推理、数学建模、数据分析、数学运算等核心素养，体 现基础性、综合性与创新性.满分17分。 【解析】(1)选择函数模型③y=p+q, 1分 理由如下： 依题意可知，所选的函数模型必须满足两个条件： 一是函数的定义域为[0,26]： 二是“每千米能耗随着“载重的增多而增大。 因为模型①的定义域不可能为[0,26]，所以不符合： 因为模型②是单调递减函数，所以不符合： 因为模型③在[0,26]有意义，且当p>0时，y=pWF+q单调递增，符合题意，故应 选择模型为y=pNx+q: 4分 q=2 将点(0,2)，1,7)代入y=pE+q得 p+q=7 …5分 P=5 解得 9=2 6分 所以y=5Vx+2. 经检验，点(4,12)，(9,17)，(16,22)都在函数y=5V+2的图象上， 所以所求的函数解析式为y=5√x+2(0≤x≤26) .7分 (2)由(1)得y=5√+2. (i)依题意，得(5V9+2×20=340>300,…10分 所以该无人机不能完成本次配送任务 …12分 (i)依题意，得(5W25+2)×+(2×5)<300×87%,…15分 所以295≤300×87%，解得5≤9， 数学参考答案 第5页（共8页） 所以s的最大值为9km.… …17分 19.【考查意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质、解三角不等 式、函数与方程等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查 函数与方程思想、化归与转化思想、特殊与一般思想和数形结合思想等，考查数学抽 象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满 分17分. 【解析】(1)因为8x)=倒 (x)' 所以8(x)=sin'X-cos2x 1分 sinx-cosx (sinx-cosx)(sin2x+sinx cosx+cos2x) sinx-cosx -1+1sim2.x, …2分 2 令+2mπ≤2x 3π +2兀，∈Z, 2 解得牙+叫心 3π 4 +兀，1 3分 又g()的定义域为 …4分 所以g(x)的单调递减区间为 3π +元，A+匹P ∈Z.…5分 (2)因为f(x)<(x),且(x)=f(x), 所以(x)<(x), 所以sinx-cosx<sin2x-cos2x, 所以(sinx-cosx)(simx+cosx-1)>0, 即m}小o 6分 数学参考答案 第6页（共8页） sinx- >0, 4 2k元<x-T<π+2k元， 1)当 时， 其中k,k,∈Z, √2 sinx+ +2k,兀<x+ π3π +2k,L, 4 2 44 …7分 +2kπ<x< 5π +2kL, 即 2k,π<x<+2k,元， 2 解得+2m<<+2m,keZ. 8分 2)当 40, 3π +2k,元<x<亚+2k元， 4 时， 其中k,k∈Z, 3元 +2k,π<x<2k,L, 42 2 解得一 3π +2饥<X<2饥，k∈Z.…9分 综上，原不等式的解集为 2m<x< 2或-证+2<x<2kez 10分 (3)假设存在正数a,对于任意心3，关于x的方程f(x)=f方n(x)在区间(0，a至少 有三个不同实数根。 因为f(x)=n(x), 所以sin”x-cos”x=sin2”x-cos2x, 所以(sin”x-cos"x)(sin“x+cos"x-1)=0, 所以sin”x-cos”x=0①，或sin”x+cos”x=l②.…11分 对于方程①， 若cosx=0,则sinx=士1，方程①不成立， 所以cosx≠0，所以tan”x=1对于任意>3恒成立， 所以tanx=1, 数学参考答案 第7页（共8页） 所以x=元+m,k∈Z. 12分 4 对于方程②， (i)若sinx=-1,则cosx=0, 当n为奇数，sin”x+cosx=-1,方程②无解。 13分 (ii)若sinx=0,则对于任意n≥3，cos“x=1,所以cosx=1,所以x=2km,k∈Z …14分 (ii)若sinx=1,则对于任意23，cos”x=0,所以cosx=0, 所以x三十2 be5分 (iw)若sinx∈(-1,0)U(0,1),则cosx∈(-1,0)U(0,1), 所以sin-2x<1且cos-2x<1, 所以sin”x+cos"x=sim2x.sin-2x+cos2xcos-2x<sin2x+cos2x=1, 因此方程②无解。…… …16分 综上，原方程的解为x=2m或x=T+m或x=匹+2m,keZ 5π， 所以存在ae 4+0对于任意心3，关于x的方程(y)=方()在区间(0，a]至少 有三个不同实数根，正数a的最小值为5 …17分 4 数学参考答案 第8页（共8页）