7.4正切函数的图像与性质（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第七章 三角函数 7.4正切函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 理解正切函数的定义，掌握的定义域、周期性、奇偶性、单调性，能画出其在 内的大致图像； 会求解形如的正切型函数的定义域、单调区间和最小正周期， 提升数学运算能力； 经历定义回顾 —图像绘制—性质探究 —变式应用的过程，类比正弦函数的研究方法探索正切函数，培养类比推理和数形结合的数学思想. 新课引入 我们知道 ，正切函数与正弦、余弦函数存在一定联系，但又有明显差异.这些联系与差异体现在哪些方面？ 我们之前研究正弦、余弦函数的基本思路是什么？它们的定义域、最小正周期分别是什么？ 研究思路：定义→图像→性质→应用 正弦函数； 余弦函数 本节课我们就按照 “定义→图像→性质→应用” 的思路，深入探究正切函数的图像与性质. 新知探究 探究一：正切函数的定义与定义域 对于任意一个给定的角的弧度数，结合正切的定义，满足什么条件时，有唯一确定的正切值与之对应？ 为什么正切函数的定义域是？结合推导. 因为，分式有意义的条件是分母不为0，即； 解方程，得； 因此正切函数的定义域为. 正切函数的定义：对于任意实数，只要，都有唯一确定的正切值与之对应 按照这个对应关系建立的函数叫做正切函数，记作 新知探究 探究二：正切函数的图像绘制 类比单位圆绘制正、余弦函数图像的方法，该如何绘制正切函数的图像？ 正切函数的定义域是无限区间，可先研究最简洁的区间 ① 在单位圆中，取内的若干特殊角，求出对应正切值； ② 建立平面直角坐标系，描出对应点等； ③ 用光滑曲线连接各点，得到如图所示的图像. 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，由此你能得出正切函数的渐近线吗？ 新知探究 由图易在知内渐近线： 下面我们一起看看动态生成正切函数的过程. ①由，说明正切函数的周期性 ②将内的图像左右平移个单位，得到正切函数的完整图像 新知探究 观察所得图像，你能总结出正切函数的图像具有哪些特征？ 正切曲线的特征： 由无数条形状相同、相互平行的曲线组成； 以直线为渐近线； 图像间断，无最高点和最低点(即无最值); 关于原点对称. 即时训练 解： 令 ，由 ， 代入得 ，移项得 。 因此定义域为：。 1.求函数 的定义域. 【分析】正切函数的定义域为 ,通过换元法将正切型函数转化为基本正切函数求解. 知识小结 正切函数的定义与图像 1.定义： 2.定义域： 3.图像（正切曲线） ①核心区间： ②渐近线： ③特征：间断、无最值、关于原点对称 探究三：正切函数的性质 我们已经掌握了正切函数的图像，类比正弦、余弦函数的性质，正切函数有什么性质？ 新知探究 （1）周期性 由诱导公式 结合图像的平移特征可知： 正切函数是周期函数 周期为，最小正周期为 （2）值域 从图像上看，正切函数的图像可以无限向上、向下延伸. 新知探究 因此值域为全体实数； 从定义上看，，和的取值使得可以取到任意实数. （3）奇偶性 正切函数的定义域，关于原点对称； 由诱导公式，因此正切函数是奇函数. 奇偶性：奇函数（图像关于原点中心对称）. 结合内的图像，你能总结正切函数在该区间内的单调性吗？在整个定义域上的单调性呢？ 新知探究 （4）单调性 如图，结合内的图像，正切函数在该区间内呈上升趋势 故在内，正切函数是严格增函数； 结合周期性可知： 在每个内都是严格增函数。 代数证明： 任取，且，则 由且， 故，， 故正切函数在内是严格增函数 例1 典例分析 求函数 的定义域和单调区间. 【分析】通过将视为整体，利用正切函数的定义域和单调性规则，分别求解得到原函数的定义域与单调增区间. 因此，函数 的单调增区间是 , . 解：由正切的定义，该函数的自变量 满足 , 即 . 所以，该函数的定义域为 由正切函数的单调性可知，当 时， 即 时，函数 是严格增函数. 例2 典例分析 求函数 的最小正周期. 【分析】利用正切函数的周期性质与换元法，将复合函数转化为基本正切函数，结合自变量的缩放比例求出最小正周期. 解：记 , 有 可知函数 的一个正周期 . 此外, 也是函数 的最小正周期. 典例分析 事实上, 令 , 原来的函数可改写为 , 其以 为自变量的最小正周期为 . 返回到 变量, 因 , 故原来函数的最小正周期为 . 题型1 正切（型）函数定义域求解问题 1.求函数的定义域： 【分析】结合正切函数的定义域 进行解答，同时要注意分母不能为0. 解：该函数为分式型，需满足分子分母均有意义，即： 由得,结合第二个条件，取交集得 因此定义域为： 题型2 正切值的大小比较 2.比较下列各组正切值的大小： (1)与 (2)与 【分析】利用正切函数的周期性将角平移至或其他连续单调区间，再根据单调性比较大小. 解：（1 和 均属于单调区间 且正切函数在 内严格递增，又 ，因此 （2）用正切函数的奇偶性， 且 ，因此 ， 即 。 则 ，； 又 题型3 正切型函数的最小正周期 3.求下列函数的最小正周期： （；（2） ； 【分析】直接利用正切型函数最小正周期公式. 解：（1）由正切型函数最小正周期公式，此处 则. （2）由公式，此处 则. 题型4 求正切型三角函数的单调性 4.函数的单调递减区间是____________________． 【分析】根据正切函数的单调性，整体代入法求解即可． 【详解】令， 解得， 故函数的单调递减区间是：． 故答案为：． ． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 正切函数的图像与性质 | 课堂小结 沪教版 · 必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 1 函数解析式与图像 正切函数定义为：y = tan x = sin x cos x 图像特征：由无数条相互平行的曲线组成，这些曲线被称为正切曲线。 2 核心性质梳理 定义域 { x | x ≠ kπ + π2, k ∈ Z } 值域 R (全体实数) 周期性 正切函数是周期函数，最小正周期 T = π。 奇偶性 正切函数是奇函数，图像关于原点对称。 对称中心坐标：(kπ2, 0) (错误) → 正确应为 (kπ, 0) 单调性 在每一个开区间 (kπ - π2, kπ + π2) 上都是单调递增的。 🚫 单调区间的写法 错误写法：在定义域上单调递增，或写成并集形式 A ∪ B。 警示：正切函数在整个定义域上不具有单调性！必须强调“在每一个开区间内”。 📉 定义域的陷阱 在求复合函数 y = tan(ωx + φ) 的定义域时，容易漏掉 kπ。 正确做法：令 ωx + φ ≠ kπ + π2，解出 x。 📐 解不等式边界 解 tan x > 1 这类不等式时，容易忽略渐近线。 警示：一定要结合图像！解集右边界通常是 kπ + π2 (开区间)。 🛠️ 整体代换法 处理 y = Atan(ωx + φ) 型函数时，将 (ωx + φ) 看作一个整体 t。 求单调区间步骤： 令 kπ - π2 < ωx + φ < kπ + π2 注意：若 ω < 0，需先利用诱导公式将 ω 变为正数，或注意不等号方向改变。 🎨 数形结合思想 解决正切函数不等式、方程根的个数问题时，画图是最高效的方法。 作图“三点两线”法： 三点：(kπ, 0), (kπ + π4, 1), (kπ - π4, -1) 两线：直线 x = kπ ± π2 (渐近线) 🔄 切化弦技巧 在涉及三角恒等变换求值时，若出现 tan x，常考虑转化为 sin xcos x。 例：已知 tan α = 2，求 sin α - cos αsin α + cos α 的值。 思路：分子分母同时除以 cos α，将弦化为切。 $