精品解析：安徽太和县第八中学2025-2026学年度高一上学期期末考试数学试卷

太和八中2025-2026学年度高一上期末考试 数学卷 时间120分钟 满分150分 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合（ ）． A. B. C. D. 2. 下列函数在其定义域内是增函数的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 5. 若，，为实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（ ） A. “至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B. “恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C. “三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D. “至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集{或} B. 当时，的最小值是3 C. 命题，，则， D. 已知幂函数图象经过点，那么 10. 设事件满足，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. D. 若，则 11. 已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可能是单调递减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 三、填空题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 13. 若，则值为___________. 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 四、解答题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． （1）求三人都没命中概率； （2）求恰有一人命中的概率； （3）求至少有两人命中的概率． 17. 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 18. 某校有初中生1800人，高中生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生作为样本，统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中a值： （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）假设同组中的每个数据都用该组区间的右端点值代替，试估计全校高中生组本学期课外阅读时间的平均数； （4）记阅读时间在的初中生组样本为A组，高中生组样本为B组，学校决定在A组和B组中随机抽取2名同学进行访谈，求这2名同学中恰有1人在A组的概率． 19 设函数． （1）当时，求的值域； （2）当时，的最小值为3，求m的值； （3）当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太和八中2025-2026学年度高一上期末考试 数学卷 时间120分钟 满分150分 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合（ ）． A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据并集的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 2. 下列函数在其定义域内是增函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的单调性可判断选项. 【详解】对于A，因为，所以为减函数，A不正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数，B不正确； 对于C，由反比例函数的单调性可知在区间和上分别递增，但在定义域内不是增函数，C不正确； 对于D，因为，所以在上为增函数， 又，所以为奇函数，所以在区间上也是增函数， 即在定义域内是增函数. 故选：D 3. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合函数的单调性判断. 【详解】因为与均在R上单调递增，所以在R上单调递增， 又，， 所以的唯一零点在内. 故选：B. 4. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得，，，即可得答案. 【详解】由题意得，， ，即，故. 故选：B. 5. 若，，为实数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值判断ABC，利用不等式的性质判断D. 【详解】取，满足，但不成立，故A错误； 取，满足，，即不成立，故B错误； 取，显然不成立，故C错误； 因为，所以，，故，故D正确. 故选：D 6. 设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性，得出底数的取值范围，从而得到答案. 【详解】条件1：根据指数函数的单调性，底数时，函数单调递减，因此：； 条件2：根据对数函数的单调性，函数  为增函数，则底数时，解得 ，结合题干条件且，可得 ：且； 故“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 7. 某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（ ） A. “至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B. “恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C. “三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D. “至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解. 【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且， 当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图象如图所示，由，得到或（舍）， 又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，， 所以选项A，B和C错误，选项D正确， 故选：D. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 不等式的解集{或} B. 当时，的最小值是3 C. 命题，，则， D. 已知幂函数的图象经过点，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，即可判断A；利用基本不等式，即可判断B；根据全称量词命题的否定形式，即可判断C；将点的坐标代入幂函数的解析式，即可判断D. 【详解】不等式，即， 整理为，解得：， 所以不等式的解集为，故A错误； 当时，， 当且仅当，即时取得等号，故B正确； 根据全称量词命题的否定形式可知，命题，，则，，故C正确； 由题意可知，，得，故D正确. 故选：BCD 10. 设事件满足，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则与相互独立 B. 若与相互独立，则 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由条件证明，结合独立事件的定义判断A；若与相互独立，由概率的加法公式求结论判断B；当时，有最小值，当与互斥时，有最大值，故C正确；若，所以；，所以，故D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 由，得， 因为，所以， 所以与相互独立，故A正确； 对于B，若与相互独立，则，由概率的加法公式 ，故B正确； 对于C，当时，有最小值， 当与互斥时，有最大值； 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以； 又因为， 根据德摩根定律有，又因为，所以，故 所以 所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 可能是单调递减函数 C. 为奇函数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或（舍），则， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数； 对于C，令，则（舍）， 则，取，取， 则，又定义为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则，令， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. 13. 若，则的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由指对数的互换及对数运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：2 14. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况进行讨论，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】由题意得关于的不等式恒成立， 当时，不等式化为，显然恒成立，符合条件； 当时，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知集合，，实数集为全集. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；或. （2） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集、并集、补集运算即可求解； （2）由求解即可. 【小问1详解】 当时，，或， 所以或； 又或， 所以或 【小问2详解】 ，或， 因为，所以，解得：， 所以实数的取值范围为 16. 已知甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，如果他们三人每人投篮一次，假设三人每次投篮是否命中相互之间没有影响． （1）求三人都没命中的概率； （2）求恰有一人命中的概率； （3）求至少有两人命中的概率． 【答案】（1）0.06 （2）0.29 （3）0.65 【解析】 【分析】（1）设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （2）设“恰有一人命中”为事件D，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解； （3）设“至少有两人命中”为事件E，即，利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件A：甲投篮命中；事件B：乙投篮命中；事件C：丙投篮命中， 甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为 所以甲，乙，丙各投篮一次，三人都没命中的概率为； 【小问2详解】 设“恰有一人命中”为事件D， 所以甲，乙，丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为； 【小问3详解】 设“至少有两人命中”为事件E， 所以甲，乙，丙各投篮一次，至少有两人命中的概率为． 17. 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． （1）写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； （2）当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； （3）求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 【答案】（1） （2） （3）18万元 【解析】 【分析】（1）根据题设列式求解即可； （2）根据题意可得或，进而求解即可； （3）结合二次函数和基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，； 当时， 故. 【小问2详解】 由题意可得或， 解得或，即所求的取值范围为. 【小问3详解】 当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元. 18. 某校有初中生1800人，高中生1200人.为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生作为样本，统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，，，，，并分别加以统计，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中a的值： （2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数； （3）假设同组中的每个数据都用该组区间的右端点值代替，试估计全校高中生组本学期课外阅读时间的平均数； （4）记阅读时间在的初中生组样本为A组，高中生组样本为B组，学校决定在A组和B组中随机抽取2名同学进行访谈，求这2名同学中恰有1人在A组的概率． 【答案】（1） （2）870 （3）30.5小时 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算即可； （2）根据分层抽样估计初中生与高中生中阅读时间不小于30个小时的学生频率，再估计总体情况即可； （3）根据频率分布直方图估计平均数方法计算即可； （4）根据题意得初中生组样本为A组3人，高中生组样本为B组2人，再根据古典概率模型写出基本事件数，结合古典概率模型公式计算求解即可. 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 所以，解得． 所以a的值为 【小问2详解】 解：由分层抽样知：抽取的初中生有60名，高中生有40名． 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 学生约有人， 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 学生人数约有人． 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人． 【小问3详解】 解： 估计高中生组本学期课外阅读时间的平均数30.5小时 【小问4详解】 解：初中生组中，阅读时间在的学生频率为， 样本人数为人． 高中生组中，阅读时间在小时的学生样本人数为人． 记初中生组样本为A组3人分别为，， 高中生组样本为B组2人分别为， 则任选2人的样本空间可记为共包含10个样本点． 记M：1人在A组，则 M包含的样本点个数为6． 所以． 这2名同学中恰有1人在A组的概率为． 19. 设函数． （1）当时，求的值域； （2）当时，的最小值为3，求m的值； （3）当时，函数的图象恒在直线的下方，求b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数性质确定的取值范围，再结合对数函数单调性求解的值域. （2）先判断函数的单调性，得出其在给定区间上的最小值点，再根据最小值为3求出的值. （3）将函数图象位置关系转化为不等式恒成立问题，通过换元法将函数转化为关于新变量的函数，求该函数的最大值，进一步求解的取值范围. 【小问1详解】 因为当时，， 因．所以， 所以， 所以的值域为. 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，的最小值为，所以只需，即， 所以在区间上的最小值为， 又因为当时，的最小值为3， 所以．故. 【小问3详解】 当时，函数，的定义域为， 因为函数的图象恒在直线的下方， 所以在恒成立， 即在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 则，即，， 令，， 由二次函数性质可知，当时，， 即，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $