2026年中考数学一轮专题复习十六：二次函数与二元一次方程根与系数的关系综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习十六： 二次函数与二元一次方程根与系数的关系综合训练 1．已知二次函数． (1)求二次函数顶点的坐标（用含的代数式表示），并证明：无论取何值，顶点总在一条直线上． (2)若二次函数与x轴交于，两点（点在点左侧），且，求的值． (3)若点，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 2．已知二次函数． (1)求证：无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点； (2)若该二次函数的图象与轴的两个交点分别为、，且，求的值； (3)若该二次函数的图象与轴交于点，与轴交于、两点，当的面积为2时，求的值． 3．对于二次函数，分别满足下列条件，求相应的函数表达式． (1)当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； (2)图象在轴上截得的线段长是，且与轴交于正半轴． 4．定义：我们规定二次函数（且）与（且）互为“交叉函数”，它们的交点叫做“交叉点”． (1)求证：互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． (2)二次函数与它的“交叉函数”与y轴分别交于B、C两点，它们的“交叉点”为A点，若是以为底边的等腰直角三角形，求这两个函数的解析式． (3)二次函数与它的“交叉函数”交x轴于不同的四点，且四个交点中任意相邻两点间的距离相等，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点，求k的值或者范围． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值． (2)已知点，在抛物线上，且，求的取值范围． 6．已知，是抛物线上的两个不同点． (1)若，两点都在直线上，求线段的长； (2)若抛物线关于轴对称，直线过坐标原点，求的值； (3)若点，在抛物线对称轴的左侧，，为整数，且，证明：为正值． 7．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 8．已知抛物线与轴交于两点A，B（在的左侧），抛物线与轴交于两点在的左侧），且． (1)若抛物线经过点，求实数的值； (2)求与的交点坐标； (3)求证：． 9．已知二次函数（m是常数）． (1)求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； (2)已知该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，且，求m的值． 10．以x为自变量的两个函数y与g，令，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，恒成立． (1)已知函数与函数相交于点、，求函数y与g的“相关函数”h； (2)已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，求t的取值范围； (3)已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点，点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围． 11．我们不妨约定：若将函数的图象沿某一点旋转180度，与函数的图象重合，则称函数与函数关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫做函数与函数的“对称中心”，求函数的“中心对称函数”的方法多样，例如：求函数的关于的中心对称函数，可以在函数上取和，两个点关于中心对称点分别是和，这样我们就可以得到函数关于中心对称函数． (1)求函数关于的中心对称函数； (2)已知函数，若函数关于的中心对称函数的图象与函数的图象的交点是整数点（横、纵坐标都为整数的点称为整数点），求正整数b的值； (3)已知函数（a，b，c是常数，且），若函数关于的中心对称函数满足下列两个条件：①，②，求函数截x轴得到的线段长度的取值范围． 12．定义；如果抛物线与x轴交于点，，那么我们把线段叫做泉塘弦，两点之间的距离称为抛物线的泉塘弦长． (1)求抛物线的泉塘弦长； (2)求抛物线的泉塘弦长的取值范围； (3)设，为正整数，且，抛物线的泉塘弦长为，抛物线的泉塘弦长为，，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，恒成立，求m，n的值． 13．已知抛物线：，抛物线上有两点，（）． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)当为何值时，抛物线的顶点到两坐标轴的距离相等？ (3)求抛物线与轴两交点之间的距离（用含的式子表示）； (4)当，且时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 14．已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线． (1)求b和c的值． (2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由． (3)设直线与抛物线交于点A，B，与抛物线交于点C，D，求线段与线段的长度之比． 15．我们约定：在平面直角坐标系中，若某函数图像上至少存在不同的两点，满足，则称此函数为关于d的“函数”，这两点叫做一对关于d的“点”． (1)下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“点”的，请在相应题目后面横线上“√”，不存在的打“×”：① ；② ；③； (2)若关于3的“函数”的图象和反比例函数第四象限的图象交于两点，求的面积； (3)关于x的函数G：是关于t的“函数”，记函数H为（为常数，），常数h的图象经过三点，且，若函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点，求线段长的取值范围． 参考答案 1．【解】（1）解：∵ ∴顶点的坐标为 设顶点的坐标为，则，， 消去得： 故无论取何值，顶点总在直线上 （2）设，两点的横坐标为， 当时， ∴ 解得：， ， ∴ 由， ∴ 解得： （3）解：∵，，都在这个二次函数的图象上，二次函数图象的对称轴为直线 ∴，关于直线对称 ∴ ∴ 将分别代入解析式得 ， ∵ ∴ 解不等式①得： 解不等式②得：或 ∴不等式组的解集为： ∵ ∴ 2．【解】（1）证明：令，则， ， ， ． ∴无论取何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点． （2）解：令，则， 由根与系数的关系得，，， ， 整理得：，解得． （3）当时，， 点． 由（2）得， ， ， 即． 令，则， 整理得：，解得． 当时，解得． 当时，此时方程无实数根． ． 3．【解】（1）解：由已知得，抛物线的对称轴为：， 即，解得，． ． （2）令，得， ． 二次函数图象在轴上截得的线段长是， ，， ． 代入得， 解得：， 与轴交于正半轴， 可知，当时，， 解得． 所以不符合题意，应舍去． 4．【解】（1）证明：联立， 消去y整理得，， 又，即， ，解得， 方程组只有一组解， 二次函数（且）与（且）只有一个交点， 互为“交叉函数”的两个二次函数有且只有一个“交叉点”． （2）解：依题意作图，如图1：过点A作轴于点D， 当时，，故； 当时，，故； 由（1）知二次函数与它的“交叉函数”的“交叉点”A的坐标为， ，，， 是以为底边的等腰直角三角形， ， 又， 点D为的中点， ，即，， 点D为的中点， ，， 联立，解得或， 这两个函数的解析式为和． （3）解：不妨设二次函数与x轴交于点M，N（点N在点M的右边）， 二次函数与x轴交于点P，Q（点Q在点P的右边）， 则关于x的方程有两根，， 由求根公式可得， ， 同理可求得， 由题知，， ， 两边平方整理得，， 又， ，，， 两函数图象的交点坐标为， 点P在之间，点N在之间，如图2所示， 由，可知点在抛物线的对称轴上，且， ，， ，是方程的两根，由根与系数的关系可知， ，， ， 整理得， 又， ， 由得， 两抛物线解析式为和， 易求得，，，， 当时，， 一次函数图象过点， 如图3，结合图象可知，若一次函数与它们两个二次函数共有3个不同的交点， 则一次函数图象过点或一次函数图象与抛物线只有一个交点， 当一次函数图象过点时，， ． 当一次函数图象与抛物线只有一个交点时， 方程有两个相等的实数根， 整理得， ， 解得，． 综上可知，的值为或． 5．【解】（1）解：①∵， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ②∵将抛物线向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 把代入，得， ∴ ∴ 设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，， 则，， ∴ ∴ ∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． （2）解：把，代入，得 ， ∵， ∴， ∴， 把代入，得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．【解】（1）解：∵直线平行于轴， ∴令，即， 解得， ∴线段的长度为． （2）解：∵抛物线关于轴对称， ∴ ∴抛物线 若直线落在轴上， ∴当时，即 解得 ∴ ∴； 若直线不在轴上， 设直线的解析式为，联立方程， 得， 解得． 不妨设， ∴，， ∴． （3）证明： ∵，且，为整数， ∴，即 ∴， 又， ∴为正值． 7．【解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 8．【解】（1）解：将点代入得， 解得：． （2）解：由题意得， ， ， ∴解得：． 当时，， 与的交点坐标为． （3）证明：当时，， 解得：， ； 当时，，解得：， ， ， ， 即， ， 则有：， ， ． 9．【解】（1）解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）解：当时，， 得， ，， ， 或． 10．【解】（1）解：∵已知函数与函数相交于点、， ∴， 解得， ∴函数， ∴； （2）∵函数与， ∴相关函数， ∵当时，对于的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立， ∴恒成立， 当时，， 当时，恒成立， ∴； （3）∵函数与， ∴， 将点、、代入解析式得： ，，， ∴， ∵， ∴， 解不等式得：且， 不妨令，则且， 设函数与x轴交于，， ∴，是方程的两根， ∴，， ∴函数的图象截x轴得到的线段长度为： ， ∵且， ∴， 即且． 11．【解】（1）由题意得: 可在上取和 ， 两个点关于的中心对称点分别是和 ， 设过和 两点的直线解析式为，则 ，解得 ∴ 则得到函数关于的中心对称函数； （2）可在函数上取和 ， 两个点关于的中心对称点分别是和 ， 则得到函数关于的中心对称函数, 解方程组得， ∵图象的交点是整数点（横、纵坐标都为整数的点称为整数点），且b为正整数， ∴； （3）解：函数关于的中心对称函数的解析式为：， ∵， ∴， 代入②得：， 即， ∴，即， 设，则， 设函数与x轴交点的横坐标为，， 则，， ∴ ； ∵， ． 12．【解】（1）解：， ， ，， 泉塘弦长； （2），， ， ，， ， ， 当时，最小值为， 当时，最大值小于， ； （3）由题意，令， ，， 则， 同理， ， ， 要不论为何值，恒成立， 即：恒成立， 由题意得：，， 解得：， ，为正整数，且， 则，或，． 13．【解】（1）解：∵， ∴函数的解析式为， ∴对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的顶点为， ∵顶点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，抛物线的顶点到两坐标轴的距离相等； （3）设抛物线与轴两交点为，， 令，则， ∴，， ∴， ∴抛物线与轴两交点之间的距离为； （4）令，则， 解得：，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴点、的横坐标差与相等， ∵， ∴，即， 又∵， ∴点只需在原点与点之间，并且不与点重合，则， ∴的取值范围为：且． 14．【解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：当时，函数值y的取值范围为：； 理由：由（1）可知抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴在的范围内，当时，二次函数取最小值，最小值为， ∵， ∴在的范围内，当时，二次函数取最大值，最大值为 ， ∴当时，函数值y的取值范围为：； （3）解：联立得：， 整理得：， 设点A，B的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， 联立得：， 整理得：， 设点C，D的横坐标分别为， 则，， ∴， ∵， ∴，即线段的长为， ∴线段与线段的长度之比为：． 15．【解】（1）解：①由题意可得，， ∴， ∴此时图象上存在无数个关于1的“点”， 故答案为：√； ②由题意可得：， ∵， ∴图象上不存在一对关于1的“点”， 故答案为：×； ③由题意可得：，， ∴，， ∴此时图象上存在无数个关于1的“点”， 故答案为：√； （2）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴联立方程组得：，解得：，， ∵当时，；当时，， ∴，， ∵当时，；当时，，即， ∴一次函数与x、y轴的交点为、， ∴； （3）解：∵是关于t的“函数”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴函数G的解析式为， ∵函数G的图像和函数H的图象有两个不同的交点， ∴联立方程组：，得：， ∴一元二次方程有两个实数根、， ∴， ∵，且经过点， ∴是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ∵的图象经过三点，且， 又∵，， ∴，， ∴，，即，， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 学科网（北京）股份有限公司 $