检测7指数函数与对数函数 能力卷-2025-2026学年高一上学期数学寒假作业之单元检测（人教A版）

检测6指数函数与对数函数-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于函数图象过定点问题，有以下4个命题： ①函数的图象经过定点； ②函数的图象经过定点； ③函数的图象经过定点； ④函数的图象经过两个定点. 其中，真命题有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如果函数在上是减函数，且时，，对于任意的，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为 . 13．数学计算中通常会用恒等式来简化运算，已知，且，则的最大值为 . 14．已知定义在上的偶函数满足，且，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（1）计算：； （2）化简（且）； 16．已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)解不等式：； (2)求值：（i）；（ii）. 18．已知函数 (1)画图像； (2)解不等式； (3)设函数，，讨论的零点个数． 19．定义在区间上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数．已知函数，，． (1)证明：函数为奇函数． (2)已知（，且），当时，若，，求实数的取值范围． (3)讨论是否存在正数，使得函数是区间上的有界函数．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A B D D A ABD AB 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】先判断函数的单调性，再通过计算区间端点的函数值，利用零点存在定理确定零点所在的区间，进而得到的值. 【详解】因为函数的定义域为， 函数与函数均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，即， 由函数零点存在定理知，的零点所在的区间为， 所以. 故选：A 2．B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数， 所以有. 因为函数是正实数集上的增函数， 所以有. 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有，所以. 故选：B 3．B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 4．A 【分析】利用函数的奇偶性和函数值的分布情况即可判断. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 所以函数的图像关于轴对称，排除BD； 又当时，，则，排除C，选项A符合要求. 故选：A. 5．B 【分析】根据题意，利用函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6．D 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 7．D 【分析】先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，由解得或，即与.要使存在3个不同的零点，结合图象可知须满足，即可得解. 【详解】当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且；当时，函数在区间上单调递增，其图象如图所示. 令，则，解得. 由函数存在3个不同的零点， 可得，解得. 故选：D. 8．A 【分析】由函数的对称性和单调性，可将不等式化为，进而可求解. 【详解】因为是上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 当且时，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则不等式可化为， 即或，解得或， 故原不等式的解集为． 故选：A 9．ABD 【分析】根据指数幂和对数运算性质逐一判断即可. 【详解】①因为 所以函数的图象经过点，因此是真命题； ②因为 所以函数定的图象经过定点，因此是真命题； ③函数的定义域为，所以是假命题； ④当时，，即该函数的图象必过， 因为的对称轴为， 所以该函数的图象还过，所以是真命题. 故选：ABD 10．AB 【分析】根据条件，利用函数单调性的定义，即可判断A、C和D的正误，对于B，利用函数单调性的定义及对数函数的性质，即可判断正误. 【详解】对于A，因为函数在上是减函数，对于任意的， 不妨设，则，所以，，则，故A正确， 对于B，因为，则，又在区间上单调递增，所以，故B正确， 对于C，因为，且，又函数在上是减函数， 所以，故C错误， 对于D，由选项A知，所以，故D错误， 故选：AB. 11．BCD 【分析】利用方程的根与函数图象的关系，结合对数函数性质，二次函数的值域，即可作出判断. 【详解】作出函数的图象，如图所示，    设，因为， 所以由图可知，当时，直线与函数的图象有4个交点， 又设这4个交点横坐标分别为，且， 由关于直线对称，得，故A错误； 由，可得，故B正确； 由图可知，则，故C正确； 由图可知，即，得， 则，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】先作出的函数图像，令，则方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根，令，可得，解出即可. 【详解】由题意作出的函数图像： 令，所以， 当时，方程没有解， 当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根， 令， 所以，解得， 所以实数取值范围是， 故答案为： 13． 【分析】根据对数运算结合基本不等式计算求解. 【详解】由，左右取对数得，由，解得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 14． 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合周期性可得出的值. 【详解】因为定义在上的偶函数满足，所以， 所以， 所以函数是周期为的周期函数，且， 因为，故. 故答案为：. 15．（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂、对数的运算性质计算可得； （2）根据指数幂的运算性质计算可得. 【详解】（1） ． （2）. 16．(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的性质确定定义域，再根据奇函数的定义进行证明； （2）利用函数的单调性求解不等式； （3）结合定义域和单调性确定参数的取值范围． 【详解】（1）因为所以的定义域为：， 因为， 所以，所以为奇函数． （2）， 所以， 所以，即：， 所以不等式的解集为：； （3）对于函数，令， 因为在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内单调递增， 而在定义域内单调递增， 所以函数在内单调递增， 由可得， 因为是奇函数，故， ，解得， 所以实数的取值范围是. 17．(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）先根据函数化简不等式，再令，得一元二次不等式，解一元二次不等式进而可得相应的对数不等式，解简单的对数不等式可得； （2）（i）直接根据函数化简计算可得；（ii）根据（i）计算得，再给k赋值，最后相加可得. 【详解】（1）由，，， 所以，令，则，即， 解得或，即或，所以或. 故不等式的解集为. （2）（i）因为，所以 . 故. （ii）因为，由（i）知，所以， 所以，，，. 所以. 18．(1)见解析 (2) (3)当时，无零点；当或时，有一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）分类讨论解不等式即可； （3）结合图分析的零点个数． 【详解】（1）作图如下： （2）， 或， 解得或， 不等式的解为； （3），即， 结合图像可知，当时，无交点，即无零点； 当或时，有一个交点，即有一个零点； 当或时，有两个交点，即有两个零点； 当时，有三个交点，即有三个零点； 综上，当时，无零点；当或时，有一个零点； 当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 19．(1)证明见解析 (2) (3)存在；答案见解析 【分析】（1）利用函数奇偶性的判定方法即可证明； （2）求出函数在上的值域，分类讨论求出函数在上的值域，由题意得，列不等式即可求出答案； （3）求出函数的值域，分为和两种情况分别求的范围即可求出答案. 【详解】（1）由题意得， 函数的定义域为， ， ， 即， 所以函数为奇函数. （2）当时，， 当时，，， 记函数在上的值域为，则， 记函数在上的值域为， 若，，则， 当时，函数在上单调递减，则， 则，解得， 当时，函数在上单调递增，则， 此时，不符合题意， 综上所述， 实数的取值范围为. （3）由题意得， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递减，则， 所以， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上，当时，，当时，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 检测6指数函数与对数函数-能力卷 1、 单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数若函数存在3个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2、 多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．关于函数图象过定点问题，有以下4个命题： ①函数的图象经过定点； ②函数的图象经过定点； ③函数的图象经过定点； ④函数的图象经过两个定点. 其中，真命题有（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如果函数在上是减函数，且时，，对于任意的，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 11．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为 . 13．数学计算中通常会用恒等式来简化运算，已知，且，则的最大值为 . 14．已知定义在上的偶函数满足，且，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（1）计算：； （2）化简（且）； 16．已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围． 17．已知函数，. (1)解不等式：； (2)求值：（i）；（ii）. 18．已知函数 (1)画图像； (2)解不等式； (3)设函数，，讨论的零点个数． 19．定义在区间上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数．已知函数，，． (1)证明：函数为奇函数． (2)已知（，且），当时，若，，求实数的取值范围． (3)讨论是否存在正数，使得函数是区间上的有界函数．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $