2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：点、线、面、角

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：点、线、面、角 一、单选题 1．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出A，B两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这是因为（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 2．如图，小军同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 3．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝30°，∠2的大小是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．按语句画图：点 在直线 上，也在直线 上，但不在直线 上，直线 ， ， 两两相交正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，点A，B，C都在直线a上，下列说法错误的是（　　） A．点A在射线BC上 B．点C在直线AB上 C．点A在线段BC上 D．点C在射线AB上 6．两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，只用一副三角板可以直接画出的角．则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是（　　） A． B． C． D． 8．已知A，B，C三点， ， ，则 （　　） A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定 9．如图，点A、B、C在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 10．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是(　　) A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 11．平面内的9条直线任意2条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于(　　) A．36 B．37 C．38 D．39 二、填空题 12．如图，C是∠AOB的OA边上一点，D，E是OB上两点．图中　 　共有条线段，　 　条射线． 13．生活中，我们经常发现，工人师傅砌墙时，会在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，工人师傅这样做的数学原理是　 　． 14．下列有四个生活、生产现象：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有　 　（填序号）． 15．一副三角板如图放置，将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的任意一边所在的直线与的一边垂直，则的度数为　 　． 16．如图，三条直线相交于点．若，，则　 　． 17．已知 是线段 的中点，若 ，则线段 的长为　 　． 18．在灯塔 处观测到轮船 位于北偏西55°的方向，同时轮船 在南偏西 的方向，那么 的大小为　 　． 19．如图，点 ， 是直线 上的两点，点 ， 在直线 上且点 在点 的左侧，点 在点 的右侧， ， .若 ，则 　 　. 20．我们将圆形钟面的时针和分针看作是两条从圆心发出的射线，当时针和分针夹角180度时形成一条直线，这条直线刚好平分钟面，我们将这样的时刻称为“平衡时刻”，如图，6点整就是一个平衡时刻，请问从0时到24时共有　 　个平衡时刻. 三、解答题 21．如图，线段AD=10 cm，B，C都是线段AD 上的点，且AC=7cm，BD=4cm.若E，F分别是线段AB，CD的中点，求 BC与EF 的长. 22．如图，点 A，O，B在同一条直线上，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题： （1）图中有哪些小于平角的角? 用适当的方法表示出它们。 （2）比较∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角。 （3）找出图中所有相等的角。 23．如图，A、B是公路L两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A、B两村的距离和最小，试在L上标注出点P的位置，并说明理由． 24．如图，点 在线段 上，且满足 ，点 分别为线段 的中点，如果 ，求线段 的长度. 25．已知直线l上有A，B，C，D四点， ， ，点D是线段 的中点，根据题意画出图形，并求线段 的长． 26．点A，B，C在直线l上，若AB＝4cm，BC＝3cm，点O是线段AC的中点，那么线段OB的长是多少？ 小明同学根据下述图形对这个题目进行了求解： ∵A，B，C三点顺次在直线l上， ∴AC＝AB+BC， ∵AB＝4cm，BC＝3cm， ∴AC＝7cm， 又∵点O为线段AC的中点， ∴AO＝AC＝×7＝3.5cm， ∴OB＝AB﹣AO＝4﹣3.5＝0.5cm． 小明考虑得全面吗？如果不全面，请补全解题过程，如果全面，请说明理由． 27．将一副三角尺放在同一平面内，使直角顶点重合于点O． （1）如图①，若，求、、的度数． （2）如图①，你发现与的大小有何关系？与有何关系？直接写出你发现的结论． （3）如图②，当与没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否仍然成立，请说明理由． 28．下面是宿州市某集团校社团活动中一个数学兴趣小组研究的“数学实践活动”中三角尺中的数学问题. （1）如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，. ①若，则 ▲ °；.. 若，则 ▲ °； ②猜想与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若是两个同样的直角三角尺，将它们的锐角顶点A重合在一起，，直接写出与之间的数量关系. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】6；5 13．【答案】两点确定一条直线 14．【答案】②④ 15．【答案】15°，45°或60° 16．【答案】34° 17．【答案】5 18．【答案】 19．【答案】6或22 20．【答案】22 21．【答案】解：∵AD=10cm，AC=7cm，BD=4cm， ∴BC=AC+BD-AD=7cm+4cm-10cm=1cm， ∴AB=AC-BC=7cm-1cm=6cm， CD=BD-BC=4cm-1cm=3cm， ∵E、F分别是线段AB、CD的中点， ∴，， ∴EF=EB+BC+CF=3cm+1cm+1.5cm=5.5cm 22．【答案】（1）解：图中小于平角的角有∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠COD，∠COE，∠COB，∠DOE，∠DOB，∠EOB； （2）解：由图可知，∠AOC<∠AOD<∠AOE<∠AOB， 其中 ∠AOC 为 锐角，∠AOD 为 直角，∠AOE 为钝角，∠AOB 为平角； （3）解：∵∠BOD=∠DOE+∠BOE=90°， ∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90°， ∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°， ∴∠AOC=∠DOE，∠COD=∠EOB，∠AOD=∠BOD=∠COE. 23．【答案】解：点P的位置如下图所示： 作法是：连接AB交L于点P，则P点为汽车站位置， 理由是：两点之间，线段最短． 24．【答案】解：∵ ， ∴AC=3CD，BD=5CD， ∵点 分别为线段 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴CD=1cm， ∴AB=AC+CD+BD=9CD=9cm. 25．【答案】解：①当点C在线段 的延长线上时， ∵ ， ， ∴ ． ∵点D为线段 的中点， ∴ ． ②当点C在线段 上时， ∵ ， ， ∴ ． ∵点D为线段 的中点， ∴ ． 综上所述，线段 的长为4或1. 26．【答案】解：小明同学只考虑了点C在线段AB之外， 当点C在线段AB之间时，如图， 由图可知AC＝AB-BC， ∵AB＝4cm，BC＝3cm， ∴AC＝1cm， 又∵点O为线段AC的中点， ∴AO＝AC＝×1＝0.5cm， ∴OB＝AB﹣AO＝4﹣0.5＝3.5cm． 27．【答案】（1）解：∵， ∴、， ∴ （2）解：； （3）解：据图可知，∵，而，∴，，∴；与的大小相等，与存在的数量关系为，（2）中结论依然成立． 28．【答案】（1）解：①142，45 ②猜想：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： 学科网（北京）股份有限公司 $