河南方城县第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月第1次周测数学试题

2025-2026学年高二上学期1月第1次周测数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．过点的直线与圆相切，则切线长为（    ） A． B． C． D． 4．与双曲线有相同焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则的焦距为（ ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则的离心率为（    ） A． B．4 C． D．2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．若圆与圆相交，则圆的面积大于 10．已知直线和椭圆，下列结论正确的有（   ） A．当时，直线过椭圆C的焦点 B．当时，直线与椭圆C相交 C．当时，直线与椭圆C没有公共点 D．当时，椭圆C上的点到直线距离的最小值为 11．已知抛物线的准线方程为，点P为抛物线上位于第一象限的点，O为坐标原点，过抛物线的焦点F作直线OP的平行线与抛物线交于A，B两点（点A位于第一象限），直线OP和AB分别与抛物线的准线相交于M，N两点，则（   ） A． B．若抛物线的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点 C． D．若直线PF与抛物线交于另一点Q，则直线轴 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知为抛物线上一点，抛物线的焦点为，则 . 13．已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为 ． 14．已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知长度为的线段的两个端点和分别为直线和上的动点.设线段的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. 16．已知椭圆， 左右焦点分别为，椭圆上的点P到两焦点距离之和是4，且长轴是焦距的2倍. (1)求椭圆的方程； (2)存在一组平行直线， ①直线与椭圆C相交时，求t的取值范围; ②当，直线与椭圆相交于两点，求. 17．已知为抛物线：上的一个动点，为的焦点． (1)当时，求的坐标； (2)若点的坐标为，求的最小值． 18．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，其上一点满足. (1)求E的方程. (2)记E的右顶点为B，射线BA上两点P，Q满足. （ⅰ）若点P的横坐标为m，求点Q的坐标（用m表示）； （ⅱ）已知，，若的面积为，求. 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，过焦点且垂直于椭圆C的长轴的弦长为1. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为，求直线的方程. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年高二上学期1月第1次周测数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B B B C ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答. 【详解】椭圆的长短半轴长分别为a，b，有，则椭圆半焦距， 显然 ，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：A 2．B 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：B 3．C 【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为. 故选：C 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题. 4．D 【分析】根据双曲线的标准方程确定双曲线的焦点坐标，结合椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】由双曲线的标准方程可知该双曲线的焦距为，且焦点在轴上， 所以双曲线的焦点坐标为， 因为椭圆与双曲线有相同焦点， 所以设椭圆的标准方程为， 于是椭圆的半焦距，因为椭圆的离心率为， 所以， 所以椭圆的标准方程为， 故选：D 5．B 【分析】先根据抛物线的焦点得到，再根据的关系求，焦距为可得答案. 【详解】由题意得的焦点为，则，而， 得半焦距，焦距为. 故选：B 6．B 【分析】先解出方程的根，然后利用充分条件、必要条件分析即可. 【详解】由即， 也即， 解得：或或， 所以当时，， 故充分性成立， 反之不一定能得出， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 7．B 【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案. 【详解】因为在抛物线上， 所以，解得， 故抛物线的准线为， 所以点到抛物线的准线的距离为. 故选：B. 8．C 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，，于是，则， 即. 故选：C 9．ABD 【分析】利用两点间距离公式代入圆心坐标判断A选项；把点代入圆的方程判断B选项；根据两圆内切圆心距等于半径之差判断C选项；由两圆相交圆心距小于半径之和判断出圆半径的取值范围，代入圆的面积公式判断D选项. 【详解】对于A，显然，，，故A正确； 对于B，可得，于是圆：， 代入得，成立，故B正确； 对于C，显然圆的半径为，圆的半径为， 于是，解得，故C错误； 对于D，由得，故圆的面积，故D正确． 故选：ABD 10．ABD 【分析】分析椭圆的性质，可判断A的真假；将直线方程与椭圆方程联立，利用，可判断BC的真假；利用平行线间的距离公式，可判断D的真假即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，    对椭圆，，，， 且焦点在轴上，所以焦点坐标为或. 将直线的方程与椭圆的方程联立，可得， 消去，整理得：. 由. 对A：当时，直线：经过点，故A正确； 对B：当时，直线与椭圆相交，故B正确； 对C：当时，直线与椭圆相切，所以直线与椭圆有且只有1个公共点，故C错误； 对D：因为直线与的距离为， 所以椭圆C上的点到直线：距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD 11．ABD 【分析】由准线方程求出，即可判断A；设直线的方程为，则直线的方程为，令得到、坐标，即可判断B；联立直线与抛物线方程，求出弦长，即可判断C；求出的坐标，即可判断D. 【详解】对于A，由抛物线C的准线为，有，可得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，由， 可得直线的方程为，令可得点的坐标为， 点的坐标为，又，所以是线段的中点，故B正确； 对于C，联立方程，可解得点P的坐标为，有． 联立方程，消去y后整理为， 有，有， 可得，故C错误； 对于D，由，可得，，可得点的坐标为， 又由点M的坐标为，可得直线轴，故D正确． 故选：ABD． 12． 【解析】代入抛物线方程可得，从而可得答案. 【详解】由为抛物线上一点， 得，可得. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与定义，考查运算求解能力,属于基础题. 13． 【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将点带入方程有，所以，则所求双曲线方程为. 14． 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 15．(1)； (2)或. 【分析】（1）利用直线和垂直，结合直角三角形的性质及圆的定义得出P的轨迹即可； （2）设直线方程结合弦长公式计算即可. 【详解】（1） 取直线和的交点为，易知为直角三角形， 则，所以点在以D为圆心，为半径的圆上， 其轨迹方程为； （2）利用圆的对称性可知当直线l斜率为零时，此时直线与圆相交弦长为，不符合题意； 所以可设该直线方程为，则圆心D到l的距离为， 又， 解方程得或， 即直线的方程为或. 16．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的定义和题设条件列出的方程组，求解即得椭圆方程； （2）①联立直线与椭圆方程得一元二次方程，利用即可求得t的取值范围； ②将代入①中已得的二次方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简计算即得. 【详解】（1）由已知可得解得， 故椭圆的方程为； （2）① 联立 ，消元得：（*） 直线与椭圆C相交时， 解得即；                   ②因 ，代入（*）可得，易知 设，则有 ， 故得. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）由抛物线焦半径公式结合，求出的横坐标，代入抛物线方程，即可得出点的坐标； （2）设，根据两点之间距离公式及抛物线方程，即可求出的最小值． 【详解】（1）由得，， 设，由得，，解得， 当时，，所以的坐标为或． （2）设，得，， 则， 当时，取得最小值，且最小值为． 18．(1) (2)（ⅰ）；（ii） 【分析】（1）根据双曲线定义得出，再把点代入双曲线计算得出即可求解； （2）（ⅰ）先设直线方程进而设点，再根据，计算求参； （ⅱ）应用正弦定理结合两点间距离公式计算得出正弦比. 【详解】（1）因为，故， 将代入，可得，解得， 故E的方程为. （2）（ⅰ）因为，而，故直线AB的斜率， 于是直线AB的方程为， 故.设点Q的横坐标为n，则，其中 于是， 故，于是点Q的坐标为， （ⅱ）记E的半焦距为c，则，故，. 于是， 故的面积为，解得，故， 于是，，，， 在中，由正弦定理可知， 在中，由正弦定理可知， 又， 两式作比，可得， 于是. 19．(1) (2)或. 【分析】（1）根据椭圆的定义得到，进而得出在椭圆上，代入计算求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理及的面积为，计算求解即可. 【详解】（1）由题意得，所以.   设椭圆的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆的长轴的弦长为1，得点在椭圆上， 则. 因为，将，代入得，即， 整理得，因为，所以，.   所以椭圆的方程为. （2）依题意，设直线，，， 联立，消去整理得.    则，，.       ， 两边平方得：，即， 整理得. 解得，即                    所以直线的方程为或. 答案第10页，共10页 答案第1页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $