2026学年九年级中考数学一轮专题复习 十五：二次函数中系数含参数问题 综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习十五：二次函数中系数含参数问题综合训练 1．已知二次函数（为常数，且）． (1)若函数图象过点，求的值； (2)若该二次函数的图象与轴只有一个交点，求此时二次函数的表达式及其顶点坐标； (3)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 2．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 3．在直角坐标系中，若函数图象上存在横坐标与纵坐标的绝对值相等的点，则该点称之为“等点”． (1)求函数的图象上所有“等点”的坐标； (2)求函数的图象上有且只有两个“等点”，试求出常数，所满足的条件； (3)若二次函数（为常数）有四个不同的“等点”，试问的取值范围？ 4．已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，点为轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点与不重合）． (1)求点的坐标（用含的式子表示）； (2)当时，若，求的最大值； (3)对于的每一个确定的值，有最小值，若，请直接写出的取值范围___________． 5．已知二次函数的图象经过点 (1)若将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称，再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 6．已知抛物线经过点． (1)求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 7．在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”，最小值称为函数的“最劣纵横值”．例如：点在函数的图象上，点的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，最小值为，所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． (1)点的“纵横值”为___________． (2)已知二次函数，当时，求它的“最优纵横值”和“最劣纵横值”． (3)若二次函数的图象顶点在“纵横值”为5的函数图象上． ①二次函数的“最优纵横值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“最优纵横值”为，“最劣纵横值”为，且，求的值． 8．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 9．已知函数．当时，记的最小值为． (1)求的表达式； (2)是否存在，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点、交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)当时，此函数最大值与最小值之差为，求的值． 11．已知二次函数（是常数）． (1)求二次函数图象经过的定点的坐标； (2)已知函数图象过． ①若函数图象与直线只有一个公共点，求的值； ②求证：当，且时，函数最大值与最小值的差为． 12．已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表： x … 0 3 4 … y … b c … 请观察表格，解决下列问题． (1)填空：_______，_______； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为6，求m的值； (3)已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围． 13．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”． (1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标． (2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值． (3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式． (4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限． ①当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值； ②作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，当直线的“倍值点”恰好为线段的中点时，请直接写出的值． 14．已知二次函数（m，n为常数，）， (1)若函数图像与x轴的一个交点坐标为，求另一个交点坐标； (2)若函数图像经过，其中；，若，求a的值； (3)若函数图像经过，且顶点在第三象限，求t的取值范围． 15．定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． (1)判断函数的图象上是否存在“不动点”？如果存在，求出“不动点”的坐标；如果不存在，说明理由． (2)若二次函数的图像上存在两个“不动点”A，B，当时，求b的值； (3)已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有3个“不动点”，直接写出m的值． 参考答案 1．【解】（1）解：将代入， 得：， 解得； （2）解：若二次函数的图象与轴只有一个交点， 则有且只有一个实数根， ，且， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （3）解：， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上， 当时，时取最小值，最小值， 时取最大值，最大值， ， 解得，符合要求； 当时，抛物线开口向下， 当时，时取最大值，最大值， 时取最小值，最小值， ， 解得，符合要求； 综上可知，的值为． 2．【解】（1）解：由对称轴为直线， 则可设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得． ∴； （2）解：点两次平移后坐标为，即， 由（1）可知． 两次平移后落在的图象上， ． 解得，． （3）解：由（1）可知． 当时， 最大值与最小值的差为， 解得：不符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上，n的取值范围为． 3．【解】（1）解：由题意得，“等点”满足，分两种情况讨论： 当时，代入函数得 ， 解得， ∴坐标为， 当时，代入函数得， ， 解得， ∴坐标为， 综上所述，所有“等点”的坐标为和； （2）解：∵函数的图像上有且只有两个“等点”， ∴当时和当时，分别只有一个解， 当时，代入函数得 解得， ∴， 当时，代入函数得 解得， ∴， 且两“等点”不重合，若两点重合，则必在原点， 此时直线过原点，即，解得， 故欲使两“等点”不同，须， ∴， 综上所述，常数，所满足的条件为，，； （3）解：由题意得，二次项系数不为0：， ∴且， ∵二次函数有四个不同的“等点”， ∴当时和当时，分别有两个不同的解， ∴当时，代入函数得 ， ∴ ， ∴， 当时，代入函数得 ， ∴ ∴， 同时，为保证四个‘等点’各不相同，两组解不能有公共根， 若存在公共根，则该根必为，此时， 解得或， ∴当，，不满足题意， ∴，， 综上所述，k的取值范围是且． 4．【解】（1）解：对于，令，得， ∴； （2）解：令， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴ 令，整理得：， ∵M、N不重合， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，其中， 对于一次函数，且， 当时，函数取得最大值17，从而取得最大值， ∴的最大值为； （3）解：令， 整理得：， 由题意知，方程必有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为， ∴， ∴，其中， ∵M、N不重合， ∴， 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 当时，对于的每一个确定的值，当时，取得最小值， 由题意知， ∴， 解得：； 综上，a的取值范围为或． 故答案为：或． 5．【解】（1）解：， 抛物线的对称轴为直线， 将点向上平移9个单位长度得到，作点，使、关于抛物线的对称轴对称， ， ， 再将向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上， 将向左平移个单位长度得到， 把点代入得，， 解得或舍去， 的值为 （2）解：由题意，当时， 时，; 时，； 最大值与最小值的和为 不符合题意，舍去． 当时， 时，; 时，； 最大值与最小值的和为，符合题意． 当时， 时，; 时，; 最大值与最小值的和为 ， 解得或，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为 6．【解】（1）解：将代入得到可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，， ∴当，y有最小值；当时，则； 当时，则； ∴y有最大值0， ∴． （3）解：∵，是抛物线上不同的两点， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 7．【解】（1）解：点的“纵横值”为， 故答案为：6． （2）解：二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为． ∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时取最大值，“最优纵横值”为10． 当时，；当时，． ∵， ∴当时取最小值，“最劣纵横值”为． （3）解：二次函数的对称轴为． ∵顶点在“纵横值”为5的函数图象上， ∴顶点在的图象上． ∴顶点坐标为． ∴． ①∵的“最优纵横值”为． ∴，解得． ∴二次函数的表达式为． ②∵， ∴函数的顶点坐标为． 当时，； 当时，． ∵， ∴抛物线的开口向下． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 分以下几种情况： 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当，即时， 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 当，即时，． ∴． 解得（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 8．【解】（1）解：∵二次函数 （，为常数）的图象经过点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）∵将点向下平移个单位长度，向右平移个单位长度， ∴点平移后的点的坐标为， ∵点平移后恰好落在的图象上， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为； （3）∵二次函数的对称轴为直线， ∴该二次函数的图象开口向下，当时，函数取得最大值， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为， 当时，最大值与最小值的差为， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为， 解得：或（均不符合题意，舍去）； 综上所述，的取值范围为． 9．【解】（1）解：， ①当时，在时为增函数， ∴在时的最小值为； ②当时，； 综上所述，； （2）解：由（）知，当时，， ∴当时，， 由得，， 即， 整理得，， 解得或， 又∵， ∴， 即存在，使得成立． 10．【解】（1）解：∵对称轴是直线， ∴， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：当时，，即， 当时，，解得，，即， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时； （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴在对称轴右侧， 即，最小值为， 此时， 即， 整理得： 解得，（舍去）； 即n的值为． 11．【解】（1）解：令，则， ∴函数图象过定点； （2）解：①∵函数图象过，又函数图象过，且图象与直线只有一个公共点， ∴函数图象对称轴为直线，即顶点坐标为， ∴ ∴ ②证明：函数图象顶点为， 若，当时，取最大值为1，时，取最小值为， ∴． 若时，取最大值为时，取最小值为1， ∴， ∴函数最大值与最小值的差为． 12．【解】（1）解：∵抛物线表达式为， 当时，， ∴， 当时，． ∴； （2）解：∵二次函数表达式为， ∴当时，， ∵抛物线二次项系数为，对称轴为直线， ∴抛物线开口向下，当时，抛物线有最大值， ， 且当时，y取得最小值，当时，y取得最大值， 当时，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 的值为1； （3）解：把代入得， 解得：或， ∴此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为， ∵， ∴， ∴线段与抛物线只有1个交点， 当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且， ∴此时； 当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且， ∴； 综上所述，或． 13．【解】（1）解：设点的坐标为， 代入，得， 解得：， 点的坐标为． （2）解：设函数在第一象限内的“倍值点”坐标为， 代入，得， 解得：，（舍去）， “倍值点”坐标为， 代入到，得， 解得：， 的值为3． （3）解： 的图象与直线的交点是“倍值点”， 经过点， 代入得，， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 当时，，此时二次函数的表达式为， 当时，，此时二次函数的表达式为， 综上所述，这个“倍值二次函数”的表达式为或． （4）解：①代入，得， 整理得：， ， 的顶点坐标为， 是“倍值二次函数”， ，即， 解得：，， 顶点在第一象限， ， ， ， 二次函数的对称轴为直线， 当时，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：（舍去），； 当，即，此时函数在取得最小值14， ， 解得：，（舍去）； 当，即，此时函数在取得最小值2，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或8． ②令，则， 令，则， ，， 设线段的中点为， 则点的坐标为， 线段的中点是直线的“倍值点”， ， 解得：，， 的值为或． 14．【解】（1）解：函数图象与轴的一个交点坐标为， ， ， ， ， 抛物线的对称轴是：直线， 函数图象与轴的另一个交点为； （2）解：函数图象经过， 抛物线的对称轴是直线， 的对称轴是：， ， 得， ， 当时，， ， ， 或， ， ； （3）解：函数图象经过点，， ，， ，， ， ， ， ，， 顶点在第三象限， ， 与同号， 由题意得：，， ， 即， ， ， 即． 15．【解】（1）解：在中，令得， 解得或， 函数图象上的“不动点”坐标为和； （2）解：联立和抛物线的表达式得：， ∴， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）解：如图所示，当直线过点时，符合题意， 令， ∴， 则， 将点代入，得， 解得：或（舍去）， ∴； 当二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方的图象与正比例函数只有一个交点时， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴点关于直线：对称的点的坐标为， ∴翻折后的抛物线表达式为， ∴联立得，， 整理得，， ∴， 解得， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $