26.2实际问题与反比例函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册

本讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理从实际问题转化为反比例函数模型、跨学科公式应用到图表信息分析的学习脉络，搭建从建模方法到数形结合的学习支架，助力学生掌握反比例函数在现实中的应用原理。 资料以生活情境（如行程、面积）和跨学科问题（物理压强、化学密度）为载体，通过多样化题型培养学生用数学眼光观察现实世界，解答题建模过程发展数学思维，图表分析题强化数学语言表达，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

26.2实际问题与反比例函数（同步讲义）2025-2026学年人教版数学九年级下册 【知识精讲】 反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 【题型演练】 一、单选题 1．小明乘车从县城到怀化，行车的速度和行车时间之间函数图是（　　） A． B． C． D． 2．矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 3．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流（）与电阻（）的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法：①与的函数关系式是（）；②时，；③当时，；④当时，的取值范围是．错误的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．西溪国家湿地公园到文文家的路程为8km，文文回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（　　） A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2 5．某电子商城推出分期付款购买电脑的活动，一台电脑的售价为1.2万元，前期付款4000元，后期每个月分期付一定的数额，则每个月的付款额 (元)与付款月数 之间的函数关系式是（　　） A．（x为正整数) B． C． D． 6．某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 7．某列高铁从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的关系如图所示．若该高铁行驶完全程的时间是，则该高铁的平均速度为（　　） A． B． C． D． 8． 充满气体的气球能够用脚踩爆，这里涉及气体压强与体积的关系．在温度恒定的情况下，气体的压强与气体体积是反比例函数关系，其图象如图所示．则下列说法中错误的是（　　） A．这个反比例函数解析式为 B．当温度不变时，气球内气体的压强随着气体体积的增大而减小 C．若压强由减压到，则气体体积增加了 D．若气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应小于 二、填空题 9．长方形的面积为20，长与宽分别为x，y，则y与x的函数关系式为 　 　． 10．一货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时，则y与x之间的函数关系式是 　 　（不必写自变量取值范围）． 11．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为　 　 Pa． 12．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（时）与行驶速度v（千米／时）之间的函数关系式是　 　． 13．定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是　 　． 三、解答题 14．太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续的工作时间是y分钟，每分钟的排水量为x升． （1）写出y与x的函数关系式； （2）若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围； 15．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个函数的解析式； （2）当气体体积为时，气压是多少？ （3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到） 16．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求密度ρ关于体积V的函数解析式； （2）当时，求二氧化碳的密度ρ； （3）当时，求V的取值范围． 17．张雪同学是个爱动手动脑的学生，她学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高（单位：）与物距（小孔到物体的距离）（单位：）的几组数据． 像高（单位：） 2 3 4 5 物距（单位：） 6 4 3 （1）求像高关于物距的函数关系式； （2）因为实验器材限制，小孔到物体的距离（物距）不能超过，则像高的范围是多少？ 18． 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． （1）请根据图象直接写出反比例函数的解析式； （2）如果要求压强不超过，求选用的木板的面积至少要多大？ 19．如图，学校打算用材料围建一个面积为的矩形的小花园，用来种植一些花卉．其中矩形的一边靠墙，墙长为，设的长为，的长为． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）若围成矩形的小花园的材料不超过，且和的长都是整米数，怎样围建材料最省？ 20．如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、． （1）当时，求点的坐标； （2）当时，求的值； （3）是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】∵小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s，且， ∴，， 故答案为：B. 【分析】根据速度=路程÷时间，列出v关于t的函数关系式，据此判断即可. 2．【答案】C 【解析】【解答】解：设矩形的面积是k，长是x，宽是y，则 y=； ∵k是常数， ∴y与x成反比例关系，即它的长和宽的关系是反比例函数． 故选C． 【分析】设矩形的面积是k，长是x，宽是y．然后根据矩形的面积公式及反比例函数的定义解答． 3．【答案】C 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得，平均速度v (单位 km/h)与运行时间t的关系为： 故选： C. 【分析】根据平均速度=总路程÷总时间可列出关系式，即可求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意知，后期的付款总额为：12000-4000=8000（元）， ∵每个月的付款额 (元)，付款月数 ， ∴y=（x为正整数）. 故答案为：A 【分析】先求出后期的付款额，由于每个月的付款额 (元)，付款月数 ，y与x成反比例关系，依此求函数关系式即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：当m一定时， 与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件可知 与V之间成反比例函数，由此可得答案. 7．【答案】B 8．【答案】D 【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为，将点A(0.8，120)代入得，解得k=96，于是反比例函数的解析式为，故A正确； 由图像知当温度不变时，气球内的压强随气体体积的增大而减小，故B正确； 令V=100得P=0.96，令V=80，得P=1.2，1.2-0.96=0.24m3，故C正确； 令P=150得V=0.64，为了安全起见，当气压大于150Pa时，气体体积应大于0.64m3，故D错误； 答案：D. 【分析】利用待定系数法可得反比例函数的解析式，即知A正确，由反比例的函数知B正确，分别令V=100和80，可得P的值为1.2和0.96，即可知其差为0.24，即C正确，当P=150时，V=0.64m3，为安全起见，气体体积应大于0.64m3. 9．【答案】 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，乙港卸货的速度是每小时x吨，设卸货的时间是y小时， ∴ 即 故答案为： 【分析】根据“工作总量=工作时间×工作效率”即可列出函数表达式。 11．【答案】400 【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1，1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【分析】先求出反比例函数的解析式，再将S=0.25代入可得答案。 12．【答案】 【解析】【解答】由题意得：vt=20， t= ， 故答案为t= ． 【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t= ． 13．【答案】 【解析】【解答】解：有一个函数满足，其上存在“友好点”， 反比例函数的图象上存在“友好点”， ， ①②得， ， ， ， ， ， 整理得， 当时，， ∵， ∴， ，且， ， 故答案为：． 【分析】根据题意得到反比例函数的图象上存在“友好点”由“友好点”定义得，，整理得到，由，且，由二次函数的性质，求出该取值范围内的最值的最大最小值即可得出k的取值范围. 14．【答案】（1） （2） 15．【答案】（1）P （2） （3） 16．【答案】（1） （2）二氧化碳的密度 （3） 17．【答案】（1） （2） 18．【答案】（1）解：由图象得：双曲线过点，在第一象限， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：当时：，即：； 由图象可知，随着的增大而减小， 当时，， 选用的木板的面积至少要． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据反比例函数的性质及压强不超过，求出自变量的取值范围即可. 19．【答案】（1），自变量的取值范围为 （2）当，时，围建矩形小花园所需材料最省 20．【答案】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴A点的纵坐标为4， ∵A在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为 （2）解：设， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，解得， ∴； （3）解：不存在．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 要使，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，，则点， ∴，， ∴，得， ∴， ∵， ∴不符合题意，不存在． 【解析】【分析】本题考查正方形性质，反比例函数求解析式求点坐标，是否存在点的问题。（1）由”四边形ABCD为正方形“可知，A的纵坐标为4，则可得： 反比例函数解析式为 ，根据线段和求出E点横坐标，可得E点坐标；（2）设点A ，正方形ABCD，可得 ， ， 可得：=，代入坐标，得，则k=18；（3）要是OA⊥AE，可证，则，根据坐标表示，所得k=0与k＞0矛盾，故不存在实数k，使 。根据正方形的性质，结合反比例函数，得出点坐标是关键。 学科网（北京）股份有限公司 $