寒假综合复习卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

寒假综合复习卷 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列各数：5，，﹣0.2，0，其中是非负数的有（　　） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（4分）据合肥海关消息，2024年前11个月，安徽省货物贸易进出口总值7823.9亿元人民币，同比增长6.6%，外贸规模保持全国第9位．其中数据7823.9亿用科学记数法表示为（　　） A．7.8239×104 B．7.8239×1011 C．7.8239×1012 D．7.8239×1013 3．（4分）下面几何体（　　）符合要求． A． B． C． D． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a2b）3＝a5b3 B．（3a）2+a2＝7a2 C．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 5．（4分）一组数据：6、5、5、4、8、8，则这组数据的中位数是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．8 6．（4分）在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．下列结论：①抛物线过原点；②ab＜0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤ 二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．（4分）16﹣4m2分解因式结果是 　 　 ． 10．（4分）方程的解是 　 　 ． 11．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝24°，则∠BDC的度数为　 　 °． 12．（4分）某学校课外延时特色课程丰富多彩，小林和小军两名同学准备从编程、合唱、篮球、书法四门课程中选择一门学习，若不考虑兴趣和天赋等因素，两名同学选到同一门课程的概率是 　 　 ． 13．（4分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB＝α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　 　 （用α的代数式表示）． 14．（4分）若2，则的值为 　 　 ． 15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m＝0，如果方程的两个实数根x1与x2满足，则m的值是　 　 ． 16．（4分）如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是 　 　 ． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4，正确的有 　 　 ．（填序号） 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对封闭图形M和不重合的两点P，Q给出如下定义：点Q关于点P的中心对称点为Q′，若点Q′落在图形M内（包含边界）．则称点Q经点P投射进入“安全区M”．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+6（a≠0）与x轴的交点A，B位于原点两侧（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，则抛物线的函数表达式为 　 　 .记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G，已知点E为直线y＝﹣x上一动点，且横坐标为m，若点F的坐标为（﹣4，﹣1），点F经点E投射进入“安全区G”，则m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（12分）（1）计算：． （2）解不等式组：． 20．（8分）白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为　 　 ，扇形统计图中，m＝　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 21．（8分）如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC＝2，cos∠ACB，cos∠ADB． （1）求旗杆AB部分的长． （2）求钢丝的总长度．（结果保留根号） 22．（10分）在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　 　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　 　 度． （2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC． ①求证：△EDM是等腰三角形． ②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长． 23．（10分）如图1，正方形ABCD中，C（﹣2，0），D（0，3）．过A点作AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． （1）求证：△CDO≌△DAF； （2）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （3）如图2，过点C作直线l∥AE，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 24．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm．（1）若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式； （2）两个鸡场面积和S可以等于160（m2）吗？如果可以，求出此时AB的值． 25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点D（﹣1，4）． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 26．（12分）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4， （1）①求证：∠B≠∠C； ②求BC的长． （2）如图2，点M、N、P分别在AB、AC、BC上，点P与点A关于MN对称，若△BMP与△CNP相似，求满足条件BP的值． 寒假综合复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列各数：5，，﹣0.2，0，其中是非负数的有（　　） A．2个 B．5个 C．4个 D．3个 【考点】有理数． 【专题】实数；数感． 【答案】B 【分析】根据非负数包括0和正数解答即可． 【解答】解：在5，，﹣0.2，0中，非负数的有5，0.56，，+3，0，共5个． 故选：B． 【点评】本题考查了有理数，解题的关键是了解正数和0是非负数． 2．（4分）据合肥海关消息，2024年前11个月，安徽省货物贸易进出口总值7823.9亿元人民币，同比增长6.6%，外贸规模保持全国第9位．其中数据7823.9亿用科学记数法表示为（　　） A．7.8239×104 B．7.8239×1011 C．7.8239×1012 D．7.8239×1013 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【专题】实数；符号意识． 【答案】B． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：7823.9亿＝782390000000＝7.8239×1011． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（4分）下面几何体（　　）符合要求． A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【专题】投影与视图；空间观念． 【答案】B 【分析】分别根据从正面看、从左面看和从上面看的图形逐个分析即可． 【解答】解：符合从正面看的几何体有选项B、C， 选项B、C中符合从上面看的几何体只有B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是学生的观察能力和空间想象能力． 4．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a2b）3＝a5b3 B．（3a）2+a2＝7a2 C．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 D．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、合并同类项的法则、幂的乘法与积的乘方的性质、完全平方公式计算即可． 【解答】解：A、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，不符合题意； B、（3a）2+a2＝10a2，不符合题意； C、（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，不符合题意； D、（x﹣2）2＝x2﹣4x+4，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘法与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握各公式是解题的关键． 5．（4分）一组数据：6、5、5、4、8、8，则这组数据的中位数是（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．8 【考点】中位数． 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【答案】B 【分析】根据中位数的定义进行解答即可． 【解答】解：把这组数据从小到大排列：4、5、5、6、8、8， 则这组数据的中位数是5.5． 故选：B． 【点评】此题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数． 6．（4分）在校园艺术节中，同学们准备制作4个菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（　　） A． B． C． D． 【考点】菱形的判定． 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，此测量方式可以判定画框为菱形， 故该选项不符合题意； B、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，此测量方式不能判定画框为菱形， 故该选项符合题意； C、根据四边相等的四边形为菱形，此测量方式能判定画框为菱形， 故该选项不符合题意； D、根据测量方式结合同旁内角互补，两直线平行，可以得到四边形的两组对边平行，得到四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，此测量方式可以判定画框为菱形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 7．（4分）《九章算术》中记载了一道古代数学名题：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之．意思是：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人（两人每步长相等）？为解决此问题，设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人又走了y步，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】A 【分析】根据“同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步”和“走路慢的人先走100步，”列方程组求解． 【解答】解：由题意得： ， 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找到相等关系是解题的关键． 8．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示．下列结论：①抛物线过原点；②ab＜0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④ D．①④⑤ 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】C 【分析】根据所给函数图象，得出a，b的符号，再结合抛物线的对称性和增减性依次对所给结论进行判断即可． 【解答】解：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），且对称轴为直线x＝2， 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（0，0）， 即抛物线过原点． 故①正确． 由所给函数图象可知， a＞0，b＜0， 则ab＜0． 故②正确． 由函数图象可知， 当x＝﹣1时，函数值大于零， 所以a﹣b+c＞0． 故③错误． 因为抛物线经过原点， 所以c＝0． 因为抛物线的对称轴为直线x＝2， 所以， 则﹣4a＝b． 将x＝2代入二次函数解析式得， y＝4a+2b+c＝﹣b+2b＝b， 所以抛物线的顶点坐标为（2，b）． 故④正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向上， 所以当x＜2时，y随x的增大而减小． 故⑤错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．（4分）16﹣4m2分解因式结果是 　4（2+m）（2﹣m）　 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解；运算能力． 【答案】4（2+m）（2﹣m）． 【分析】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：16﹣4m2＝4（4﹣m2）＝4（2+m）（2﹣m）． 故答案为：4（2+m）（2﹣m）． 【点评】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 10．（4分）方程的解是 x＝3　 ． 【考点】解分式方程． 【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力． 【答案】x＝3． 【分析】解分式方程得结论． 【解答】解：去分母，得3x＝9， ∴x＝3． 经检验，x＝3是原方程的解． 故答案为：x＝3． 【点评】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键． 11．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝24°，则∠BDC的度数为　66　 °． 【考点】圆周角定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】66． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠ABC＝24°，则∠BDC＝∠BAC＝90°﹣∠ABC＝66°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝24°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝66°， ∴∠BDC＝∠BAC＝66°， 故答案为：66． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠ACB＝90°及∠BDC＝∠BAC是解题的关键． 12．（4分）某学校课外延时特色课程丰富多彩，小林和小军两名同学准备从编程、合唱、篮球、书法四门课程中选择一门学习，若不考虑兴趣和天赋等因素，两名同学选到同一门课程的概率是 　　 ． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两名同学选到同一门课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将编程、合唱、篮球、书法四门课程分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中两名同学选到同一门课程的结果有4种， ∴两名同学选到同一门课程的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 13．（4分）如图，AC是矩形ABCD的一条对角线，∠ACB＝α，依据尺规作图的痕迹，AF与EF的交点为F，则∠AFE的度数是 　90°　 （用α的代数式表示）． 【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 【专题】尺规作图；几何直观． 【答案】90°． 【分析】设EF与AC相交于点O，由作图痕迹可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，AF为∠DAC的平分线，∠AOF＝90°，∠FAODAC．结合矩形的性质可得∠DAC＝∠ACB＝α，则∠FAO，根据∠AFE＝180°﹣∠AOF﹣∠FAO可得答案． 【解答】解：设EF与AC相交于点O， 由作图痕迹可知，直线EF为线段AC的垂直平分线，AF为∠DAC的平分线， ∴∠AOF＝90°，∠FAODAC． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝α， ∴∠FAO． ∴∠AFE＝180°﹣∠AOF﹣∠FAO＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、矩形的性质是解答本题的关键． 14．（4分）若2，则的值为 　　 ． 【考点】分式的加减法；分式的值． 【专题】分式；运算能力． 【答案】． 【分析】将原式进行化简，然后将2代入原式即可求出答案． 【解答】解：原式 当2时， 原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型． 15．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m＝0，如果方程的两个实数根x1与x2满足，则m的值是　　 ． 【考点】根与系数的关系． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】． 【分析】首先根据一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再转换，代入两根之和和两根之积，然后利用等式得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【解答】解：由条件可知Δ＝[2（2﹣m）]2﹣4（3﹣6m）＝4（m2+2m+1）＝4（m+1）2≥0． ∴符合条件的m的值为任意实数． ∵x1与x2是一元二次方程x2+2（2﹣m）x+3﹣6m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2（2﹣m），x1x2＝3﹣6m． ∴． 由条件可得． 解得． 经检验，是分式方程的解． ∴m的值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 16．（4分）如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是 　　 ． 【考点】几何概率；七巧板． 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】． 【分析】设黑色三角形的面积为1，根据七巧板拼成的正方形的几何性质得到黑色平行四边形的面积为2，正方形的面积为16，然后利用概率的概念计算即可． 【解答】解：设黑色三角形的面积为1， 根据七巧板拼成的正方形的几何性质得到黑色平行四边形的面积为2，正方形的面积为16， 故它最终停在黑色区域的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H．连接FD，交AC的延长线于点M．下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG＝1，DE＝2，则CN；③；④FM＝DM；⑤若AG，tan∠ABC，则△FCM的面积为4，正确的有 　①②③④　 ．（填序号） 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】①②③④． 【分析】由“AAS”可证△ABC≌△HDC，由锐角三角函数可求∠ABC＝30°，由三角形可求CN的长，通过证明CM为△DFH的中位线，可得FM＝DM，CM：DH＝1：2，可求；先求出△ABC的面积，通过证明△FCM∽△FHD，可求△FCM的面积，即可求解． 【解答】解：∵四边形BCDE是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵四边形ACFG是正方形， ∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠ACH＝90°， ∴∠ACB＝∠HCD， ∵DH⊥CF， ∴∠H＝90°＝∠BAC， 在△ABC和△HDC中， ， ∴△ABC≌△HDC（AAS），故①正确； ∵FG＝1，DE＝2， ∴AC＝1，BC＝2， ∴sin∠ABC， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BCN＝30°， ∴CN，故②正确； ∵△ABC≌△HDC， ∴AC＝HC， 又∵AC＝FC， ∴HC＝FC， 又∵CM∥DH， ∴CM为△DFH的中位线， ∴FM＝DM，CM：DH＝1：2， ∴；故③④正确； ∵AG， ∴AC， 在Rt△ABC中，tan∠ABC， ∴ABAC， ∴S△ABCAB×AC， ∵△ABC≌△HDC， ∴S△HDC＝S△ABC，AC＝CH， ∴CH＝CF， ∴S△DHF＝2S△CDH， ∵∠FCM＝∠H＝90°， ∴CM∥HD， ∴△FCM∽△FHD， ∴（）2， ∴S△FCMS△FHD，故⑤错误， 故答案为：①②③④． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对封闭图形M和不重合的两点P，Q给出如下定义：点Q关于点P的中心对称点为Q′，若点Q′落在图形M内（包含边界）．则称点Q经点P投射进入“安全区M”．如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+6（a≠0）与x轴的交点A，B位于原点两侧（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，则抛物线的函数表达式为 　　 .记x轴上方的抛物线与x轴所围成的封闭图形为G，已知点E为直线y＝﹣x上一动点，且横坐标为m，若点F的坐标为（﹣4，﹣1），点F经点E投射进入“安全区G”，则m的取值范围是 　　 ． 【考点】抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】y2x+6；m≤0.5． 【分析】由OB＝3OA，以及抛物线的对称轴，可得出点A的坐标，进而求出函数表达式；求出直线y＝x+3关于y轴的对称直线，再由对称直线与封闭图象的交点，可求出m的取值范围． 【解答】解：由题知， 抛物线的对称轴为直线x＝2， 令A（m，0），又A，B两点关于x＝2对称， 所以2﹣m＝xB﹣2，则xB＝4﹣m． 所以OA＝﹣m，OB＝4﹣m． 又∵OB＝3OA， 所以4﹣m＝3×（﹣m），得m＝﹣2． 故A（﹣2，0）． 将A点坐标代入抛物线解析式得，4a+8a+6＝0，则a． 所以抛物线的函数表达式为y2x+6． 如图所示，在y＝﹣x上取点C（﹣2，2）， ∵F（﹣4，﹣1）， 则F关于点C中心对称的点的坐标为D（0，5），关于O对称的点的坐标为G（4，1）， 设直线DG的解析式为y＝kx+5，代入（4，1） y＝﹣x+5， 联立抛物线解析式， 则N（3，2） ∴FN的中点的横坐标为， ∵2m+4≤6， ∴m≤0.5， ∴m≤0.5． 故答案为：y2x+6；m≤0.5． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，利用直线y＝x+3关于点E的对称直线是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（12分）（1）计算：． （2）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）27；（2）﹣1≤x＜2． 【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数幂、负整数指数幂、去绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝21+91 1+91 ＝27； （2）解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 【点评】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20．（8分）白土月饼是非物质文化遗产，始创于明崇祯年间，至今已有400多年历史，为了解同学们对某白土月饼厂家生产的多种月饼的喜爱情况，某实践探究小组对九年级部分同学做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告： xx小组关于xx学校学生月饼品种喜爱情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 xx学校九年级部分学生 数据的整理与描述 品种 A：莲蓉月饼 B：五仁月饼 C：豆沙月饼 D：水果月饼 E：冰皮月饼 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为　120　 ，扇形统计图中，m＝　30　 ； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为2000人，请你估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数； （4）甲乙两位同学根据调查的数据，发现A，C，E三种月饼最受欢迎，计划从这三个品种中挑选一种推荐给朋友，请用树状图或列表的方法求出他们恰好选择同一种月饼的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表；扇形统计图；条形统计图；概率公式． 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）120，30； （2）补全条形统计图，如图即为所求； （3）1100人； （4）． 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，再求解圆心角的度数即可； （2）根据频数之和等于样本容量，确定C组的人数，完善统计图即可； （3）利用样本估计总体的思想，计算解答即可． （4）画树状图，求解即可． 【解答】解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为：18÷15%＝120 （人）， ∴， 解得：m＝30， 故答案为：120，30； （2）喜欢豆沙月饼的人数为：120﹣36﹣12﹣18﹣30＝24 （人）， 补全条形统计图，如图即为所求； ． （3）（人）， 答：估计该学校学生喜欢吃莲蓉月饼和冰皮月饼的总人数为1100人； （4）从A，C，E三种月饼中挑选一种推荐给朋友，作树状图如下： 一共有9种等可能结果，其中两位同学选择同一种月饼有3种可能结果， ∴P（甲乙两同学选择同一种月饼）． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，统计表，扇形统计图，条形统计图，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 21．（8分）如图，彩旗旗杆AB用AC，AD两根钢丝固定在地面上，点A，B，C，D在同一平面内，AB⊥CD，BC＝2，cos∠ACB，cos∠ADB． （1）求旗杆AB部分的长． （2）求钢丝的总长度．（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用． 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识． 【答案】（1）2； （2）． 【分析】（1）根据特殊角度三角函数的性质，推导得∠ACB＝45°以及tan∠ACB＝1，从而完成求解； （2）结合（1）的结论，根据勾股定理的性质计算得AC；根据特殊角度三角函数和含30°角直角三角形的性质计算得AD，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵， ∴∠ACB＝45°， ∴tan∠ACB＝1， ∵AB⊥CD， ∴∠ABC＝∠ABD＝90°． ∴AB＝tan∠ACB×BC＝2， ∴旗杆AB部分的长2； （2）∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2， ∴， ∵， ∴∠ADB＝30°， ∵∠ABD＝90°， ∴AD＝2AB＝4， ∴钢丝的总长度． 【点评】本题考查了特殊角度三角函数、勾股定理、直角三角形的知识，熟练掌握锐角三角形函数是解答本题的关键． 22．（10分）在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F． （1）如图1，若设∠ABE＝α，则∠DEF＝　2α　 （用含α的式子表示）；当点F恰好是BD的中点时，则α＝　30　 度． （2）如图2，EF交BD于点M，且BF平分∠DBC． ①求证：△EDM是等腰三角形． ②当AB＝3，BC＝4时，求AE的长． 【考点】四边形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）2α；30； （2）①AE的长为1；②证明过程见解答． 【分析】（1）根据矩形的性质和翻折的性质得∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α，再利用平角定义即可得∠DEF；证明EF是BD的垂直平分线得∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α，再利用三角形内角和定理，即可解决问题； （2）①如图2，延长EF交BC于点N，证明△BFM≌△BFN（ASA），得BM＝BN，然后证明∠DEM＝∠DME，即可解决问题； ②设AE＝x，得DM＝DE＝4﹣x，BN＝x+1，如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE，根据S△EBNBN•EQEN•BF，得EN＝x+1，所以FN＝1，利用勾股定理求出x的值即可． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 由翻折可知：∠FBE＝∠ABE＝α，∠BFE＝∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°﹣α， ∴∠DEF＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α； ∵点F恰好是BD的中点，∠BFE＝90°， ∴EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB＝∠ABE＝α， ∵∠EBD+∠EDB+∠ABE＝90°， ∴3α＝90°， ∴α＝30度， 故答案为：2α；30； （2）①证明：如图2，延长EF交BC于点N， ∵BF平分∠DBC， ∴∠MBF＝∠NBF， 由翻折可知：∠BFE＝∠A＝90°， ∴∠BFM＝∠BFN＝90°， ∵BF＝BF， ∴△BFM≌△BFN（ASA）， ∴BM＝BN， ∴∠BMN＝∠BNM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEM＝∠BNM， ∵∠BMN＝∠DME， ∴∠DEM＝∠DME， ∴DE＝DM， ∴△EDM是等腰三角形； ②解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，∠A＝90°， ∵AB＝3， ∴BD5， 设AE＝x， ∴EF＝AE＝x， ∴DM＝DE＝AD﹣AE＝4﹣x， ∴BN＝BM＝BD﹣DM＝5﹣（4﹣x）＝x+1， 如图2，过点E作EQ⊥BC于点Q，得矩形ABQE， ∴EQ＝AB＝3， ∵BF⊥EN， ∴S△EBNBN•EQEN•BF， ∵BF＝AB＝3， ∴BN＝EN， ∴EN＝x+1， ∵EN＝EF+FN＝x+1， ∴FN＝1， 在Rt△BNF中，BF＝3，FN＝1，BN＝x+1， 根据勾股定理得：BF2+FN2＝BN2， ∴32+12＝（x+1）2， ∴x1或x1（舍去）， ∴AE的长为1． 【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，翻折变换，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 23．（10分）如图1，正方形ABCD中，C（﹣2，0），D（0，3）．过A点作AF⊥y轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． （1）求证：△CDO≌△DAF； （2）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （3）如图2，过点C作直线l∥AE，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题；反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力；应用意识． 【答案】（1）证明见解答； （2），E（﹣5，3）； （3）点Q的横坐标为或3或﹣3或﹣3． 【分析】（1）由正方形性质可得AD＝CD，∠ADC＝90°，利用同角的余角相等得出∠ADF＝∠DCO，再利用AAS即可证得结论； （2）先求得A（﹣3，5），代入y（k≠0），求得k＝﹣15，可得y，当x＝﹣5时，y＝3，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线AE的解析式为y＝x+8，进而可得直线l的解析式为y＝x+2，设P（m，m+2），Q（t，s），分三种情况：当AC、PQ为对角线时，当CP、AQ为对角线时，当AP、CQ为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDO＝90°， ∵AF⊥y轴， ∴∠AFD＝∠DOC＝90°， ∴∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠ADF＝∠DCO， 在△CDO和△DAF中， ， ∴△CDO≌△DAF（AAS）； （2）解：∵C（﹣2，0），D（0，3）， ∴OC＝2，OD＝3， ∵△CDO≌△DAF， ∴DF＝OC，AF＝OD， ∴OG＝OF＝OD+DF＝3+2＝5， ∴A（﹣3，5）， 设反比例函数的表达式为y（k≠0），把A（﹣3，5）代入，得k＝﹣15， ∴y， 当x＝﹣5时，y3， ∴点E的坐标为（﹣5，3）； （3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线AE的解析式为y＝k′x+b，把A（﹣3，5），E（﹣5，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AE的解析式为y＝x+8， ∵直线l∥AE， ∴设直线l的解析式为y＝x+b′，把C（﹣2，0）代入得﹣2+b′＝0， 解得：b′＝2， ∴直线l的解析式为y＝x+2， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设P（m，m+2），Q（t，s）， 又A（﹣3，5），C（﹣2，0）， 当AC、PQ为对角线时， ， 解得：， ∴Q（，）； 当CP、AQ为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ∴Q（3，﹣1）； 当AP、CQ为对角线时， ， 解得：或， ∴Q（﹣3，5）或（﹣3，5）； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或﹣3或﹣3． 【点评】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 24．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm．（1）若两个鸡场的面积和为S，求S关于x的关系式； （2）两个鸡场面积和S可以等于160（m2）吗？如果可以，求出此时AB的值． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）S＝﹣3x2+36x； （2）不能． 【分析】（1）根据题意和图形可以求得S关于x的关系式； （2）令S＝160，解方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得， S＝x（34﹣3x+2）＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x， 即S关于x的关系式是S＝﹣3x2+36x； （2）依题意，﹣3x2+36x＝160 即3x2﹣36x+160＝0 ∵Δ＝b2﹣4ac＝362﹣4×3×160＝﹣624＜0， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和S不能等于160（m2） 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的图象与x轴交于A、B两点，与轴交于点C，且顶点D（﹣1，4）． （1）求二次函数图象的解析式； （2）连接AC，AD，CD，求△ADC的面积； （3）在AC上方抛物线上有一动点M，请直接写出△ACM的面积取到最大值时，点M的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】二次函数的应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）3； （3）． 【分析】（1）根据解析式为顶点式结合顶点坐标即可求出对应的函数解析式； （2）如图所示，过点D作DE⊥OA于E，交AC于F，求出直线AC的解析式为y＝x+3，则F（﹣1，2），再根据S△ACD＝S△ADF+S△CDF进行求解即可； （3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，交AC于N，设M（n，﹣n2﹣2n+3），则N（n，n+3），同（2）得到，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的二次函数y＝﹣（x+m）2+k的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴二次函数解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图所示，过点D作DE⊥OA于E，交AC于F， 令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）； 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b1， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，则y＝x+3＝2， ∴F（﹣1，2）， ∴DF＝2， ∴ ＝3； （3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，交AC于N， 设M（n，﹣n2﹣2n+3），则N（n，n+3）， ∴MN＝﹣n2﹣2n+3﹣n﹣3＝﹣n2﹣3n， 同（2）可得， ∵， ∴当时，S△ACM最大，此时点． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数对称轴，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线利用分割思想进行求解是解题的关键． 26．（12分）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，AC＝4， （1）①求证：∠B≠∠C； ②求BC的长． （2）如图2，点M、N、P分别在AB、AC、BC上，点P与点A关于MN对称，若△BMP与△CNP相似，求满足条件BP的值． 【考点】相似形综合题． 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）①见解析； ②2； （2）BP的值为或612． 【分析】（1）①如图1，在AB截取AD＝AC，连接CD，由∠A＝60°，得到∠ADC＝∠ACD＝60°，得到∠ACB＞60°，根据三角形外角的性质得到∠B＜60°，于是得到结论； ②如图1，过B作BH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到AH，根据勾股定理得到BC2； （2）根据相似三角形的性质得到∠B＝∠CPN或∠B＝∠CNP，根据轴对称的性质得到AN＝PN，AM＝PM，求得CN＝4﹣PN，①当∠B＝∠CPN时，推出△PCN∽△BCA，根据相似三角形的性质得到BP；②当∠B＝∠CNP时，推出△CNP∽△CBA，根据相似三角形的性质得到BP＝612，于是得到结论． 【解答】（1）①证明：如图1，在AB截取AD＝AC，连接CD， ∵∠A＝60°， ∴∠ADC＝∠ACD＝60°， ∴∠ACB＞60， ∵∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°， ∴∠B＜60°， ∴∠B＜∠ACB， ∴∠B≠∠ACB； ②解：如图1，过B作BH⊥AC于H， ∴∠AHB＝∠CHB＝90°， ∵∠A＝60°，AB＝6， ∴AH， ∵AC＝4， ∴CH＝1， ∴BC2； （2）∵△BMP与△CNP相似，∠B≠∠C， ∴∠B＝∠CPN或∠B＝∠CNP， ∵点P与点A关于MN对称， ∴AN＝PN，AM＝PM， ∴CN＝4﹣PN， ①当∠B＝∠CPN时， ∴PN∥AB， ∴△PCN∽△BCA， ∴， ∴， 解得BP； ②当∠B＝∠CNP时， ∵∠C＝∠C， ∴△CNP∽△CBA， ∴， ∴， 解得BP＝612， 综上所述，若△BMP与△CNP相似，BP的值为或612． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $