寒假综合复习卷-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

寒假综合复习卷 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列命题中，真命题的是（　　） ①若，则x＜2； ②两直线平行，同旁内角相等； ③若一组数据2，4，x，﹣1极差为7，则x的值是6或﹣3； ④已知点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则2m+n﹣1＝2． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 3．（4分）点B的坐标为（﹣6，4），直线AB平行于y轴，那么A点的坐标可能为（　　） A．（﹣4，6） B．（6，﹣4） C．（4，6） D．（﹣6，﹣4） 4．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人代表凤中参加射击竞赛，他们的平均成绩都是94分，方差分别是S甲2＝4.7，S乙2＝2.0，S丙2＝0.7，S丁2＝2.7．你认为选派谁去参赛更合适（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（4分）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对数学的发展产生了深远的影响，其中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满．问：大、小船分别有几只？设大船有x只，小船有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（4分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．函数值y随自变量x的增大而减小 8．（4分）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发2秒后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．慧慧比聪聪晚出发15s B．m＝31 C．聪聪的速度为15cm/s D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm 二．填空题（共10小题，满分40分，每小题4分） 9．（4分）已知a，b满足，则ab的值为　 　 ． 10．（4分）若点P（m+4，m﹣1）在y轴上，则m＝　 　 ． 11．（4分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 12．（4分）一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为　 　 cm． 13．（4分）如图，分别过△ABC的顶点A、C作AD∥CE．若∠BAD＝24°，∠BCE＝120°，则∠ABC的度数为 　 　 °． 14（4分）比较大小：　 　 9． 15．（4分）定义[x]为不超过实数x的最大整数，例如[1.26]＝1，[﹣2.01]＝﹣3等，那么　 　 ． 16．（4分）已知关于x，y的方程组，下列结论： ①当x，y互为相反数时，a＝﹣2； ②无论a取何值，这个方程组的解也是方程x﹣y＝8﹣2a的解； ③无论a取何值，7x+3y的值不变； ④．其中正确的有 　 　 （填写序号）． 17．（4分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝4，则BN的长为 　 　 ． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝ 　 　 °． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19．（12分）计算题： （1）； （2）（1）2； （3）． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，且∠BAC＝∠DAE，连接CE． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若∠BAC＝108°，DE＝DC，求∠CDE的度数． 21（9分）四边形ABCO各个顶点的坐标分别是A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），O（0，0）． （1）在所给的平面直角坐标系中画出四边形ABCO； （2）求出四边形ABCO的面积； （3）点P是x轴上一点，使得△AOP的面积等于四边形ABCO面积的一半，请直接写出点P坐标． 22．（9分）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下： 40秒内垫球个数（x） x≤20 20＜x≤30 30＜x≤40 40＜x≤45 x＞45 频数（男生） 2 10 a 9 10 频数（女生） 1 8 b 14 5 根据上述信息回答下列问题： （1）求得a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是 　 　 ． （3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分） 23．（10分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝　 　 ，点A的坐标是（ 　 　 ，　 　 ） （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当t＝1时，△CPQ的面积是 　 　 ． ②当四边形CPAQ的面积为9时，请直接写出此时t的值 　 　 ． 24．（8分）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 　 　 张，正方形纸片 　 　 张； （2）现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 25．（10分）如图，在△ABC中，DE，DF分别垂直平分AC和BC，垂足分别为点E、F，DE交AB于点G，DF交AB于点H，连接CG，CH． （1）若∠ACB＝105°，则∠GCH的度数为 　 　 ； （2）若∠GCH＝β，求出∠D的度数（用含β的代数式表示）； （3）请在图上连接AD，BD，若△CGH的周长为7cm，△DAB的周长为15cm，求AD的长． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4，直线l1上点A的横坐标为2，过点A作AB∥x轴交直线l2于点B．以AB为长，AB长为宽向上构造矩形ABCD． （1）当直线l1在直线l2的上方时，求自变量x的取值范围； （2）将矩形ABCD先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′B′C′D′，点A的对应点A′落在直线l2上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线B'C'交直线l1于点P，交直线l2于点Q，当点P和Q关于点C′成中心对称时，求m的值； ③直线l1，直线l2与矩形A′B′C′D′的边A′B′分别交于点M，N，当时，求点A′的坐标． 寒假综合复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．（4分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2．（4分）下列命题中，真命题的是（　　） ①若，则x＜2； ②两直线平行，同旁内角相等； ③若一组数据2，4，x，﹣1极差为7，则x的值是6或﹣3； ④已知点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则2m+n﹣1＝2． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【考点】命题与定理；极差；一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次根式；一次函数及其应用；数据的收集与整理；线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x＝2，则可对①进行判断；根据平行线的性质对②进行判断；利用x为最小值或最大值对③进行判断；根据一次函数的性质对④进行判断． 【解答】解：若，则x≤2，所以①错误，不符合题意； 两直线平行，同旁内角互补，所以②错误，不符合题意； 若一组数据2，4，x，﹣1的极差为7，则x的值是6或﹣3，所以③正确，符合题意； 已知点P（m，n）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则2m+n﹣1＝2，所以④正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3．（4分）点B的坐标为（﹣6，4），直线AB平行于y轴，那么A点的坐标可能为（　　） A．（﹣4，6） B．（6，﹣4） C．（4，6） D．（﹣6，﹣4） 【考点】坐标与图形性质． 【专题】平面直角坐标系；应用意识． 【答案】D 【分析】根据直线AB平行于y轴，可得点A、B的横坐标相等，即可求解． 【解答】解：∵点B的坐标为（﹣6，4），直线AB平行于y轴， ∴点A的横坐标为﹣6， ∴A点的坐标可能为（﹣6，﹣4）， 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形，熟练掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 4．（4分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人代表凤中参加射击竞赛，他们的平均成绩都是94分，方差分别是S甲2＝4.7，S乙2＝2.0，S丙2＝0.7，S丁2＝2.7．你认为选派谁去参赛更合适（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数． 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念． 【答案】C 【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定． 【解答】解：∵S甲2＝4.7，S乙2＝2.0，S丙2＝0.7，S丁2＝2.7， ∴丙的方差最小， ∴丙的成绩最稳定， 又∵他们的平均成绩都是94分， ∴最合适的选手是丙， 故选：C． 【点评】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键． 5．（4分）方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【考点】解二元一次方程组． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】D 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：原方程组可化为：， ①﹣②得：（）y＝34， 解得：y＝12， 把y＝12代入得：x＝18， ∴原方程组的解为：， 故选：D． 【点评】本题考查消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤准确计算是解题关键． 6．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典之作，对数学的发展产生了深远的影响，其中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满．问：大、小船分别有几只？设大船有x只，小船有y只，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题意列二元一次方程组即可． 【解答】解：设大船有x只，小船有y只，根据题意可得： ， 故选：C． 【点评】本题考查了列二元一次方程组．理解题意是关键． 7．（4分）对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象 D．函数值y随自变量x的增大而减小 【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的图象；一次函数的性质． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对A、D进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；根据一次函数的几何变换对C进行判断． 【解答】解：A、k＝﹣2，b＝4，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，本选项正确，不符合题意； B、函数的图象与y轴的交点坐标是（0，4），本选项错误，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象，本选项正确，不符合题意； D、k＝﹣2，函数值随自变量的增大而减小，本选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的性质：当k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；当k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．也考查了一次函数图象的几何变换． 8．（4分）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发2秒后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（s），聪聪和慧慧行走的路程分别为y1（cm），y2（cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．慧慧比聪聪晚出发15s B．m＝31 C．聪聪的速度为15cm/s D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距150cm 【考点】一次函数的应用． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】由图象信息逐项验证即可得到答案． 【解答】解：A、由图可知，慧慧比聪聪晚出发15s，说法正确，不符合题意； B、慧慧提速前速度为cm/s，慧慧出发2秒后将速度提高到原来的2倍，为30cm/s，则提速后走的时间为，则m＝17+14＝31，说法正确，不符合题意； C、由于聪聪的速度始终不变，则聪聪的速度为，说法错误，符合题意； D、开始时，聪聪先走，距离逐渐变大，最大距离为10×15＝150m；后面慧慧出发，两者距离逐渐缩小，最后相遇；然后慧慧超过聪聪，然后慧慧在31s先到达，聪聪继续走，此时最远相距450﹣310＝140m，随后距离再次逐渐减小，从而可得从聪聪出发直至送餐结束，最远相距150cm，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数运用，数形结合，掌握行程问题公式是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9．（4分）已知a，b满足，则ab的值为　12　 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】12． 【分析】根据二次根式有意义的条件求出a的值，即可得出b的值，再计算即可． 【解答】解：根据题意得， 解得a＝3， ∴b＝4， ∴ab＝3×4＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，正确求出a、b的值是解题的关键． 10．（4分）若点P（m+4，m﹣1）在y轴上，则m＝　﹣4　 ． 【考点】点的坐标． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】﹣4． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点为横坐标为零，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（m+4，m﹣1）在x轴上， ∴m+4＝0， 解得m＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 11．（4分）如图，直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　　 ． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【专题】函数及其图象；运算能力． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+3与y＝mx+n交点的横坐标为1， ∴纵坐标为y＝﹣1+3＝2， ∴两直线交点坐标（1，2）， ∴x，y的方程组 的解为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，正确进行计算是解题关键． 12．（4分）一个圆柱底面周长为16cm，高为6cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为　10　 cm． 【考点】平面展开﹣最短路径问题． 【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；推理能力． 【答案】10． 【分析】圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形BCDE的边DC的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出AB的长即得到问题的答案． 【解答】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形BCDE的边DC的中点A到顶点B的距离， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 13．（4分）如图，分别过△ABC的顶点A、C作AD∥CE．若∠BAD＝24°，∠BCE＝120°，则∠ABC的度数为 　36　 °． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】36． 【分析】根据AD∥CE得到∠BCE+∠ADC＝180°，得到∠ADC＝60°，根据∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝60°，计算即可． 【解答】解：∵AD∥CE， ∴∠BCE+∠ADC＝180°， ∵∠BCE＝120°， ∴∠ADC＝60°， ∵∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝60°，∠BAD＝24°， ∴∠ABC＝36°， 故答案为：36． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 14．（4分）比较大小：　＞　 9． 【考点】实数大小比较；算术平方根． 【专题】实数；数感． 【答案】＞． 【分析】根据即可解答． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟知（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 15（4分）定义[x]为不超过实数x的最大整数，例如[1.26]＝1，[﹣2.01]＝﹣3等，那么　﹣1　 ． 【考点】估算无理数的大小． 【专题】实数；运算能力． 【答案】﹣1． 【分析】利用夹逼法估算的大小，然后根据定义计算即可． 【解答】解：∵9＜10＜16， ∴34， ∴原式＝﹣4+3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 16（4分）已知关于x，y的方程组，下列结论： ①当x，y互为相反数时，a＝﹣2； ②无论a取何值，这个方程组的解也是方程x﹣y＝8﹣2a的解； ③无论a取何值，7x+3y的值不变； ④．其中正确的有 　①②③④　 （填写序号）． 【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】①②③④． 【分析】①将方程组各方程左右两边分别相加，再利用x，y互为相反数，即x+y＝0这一条件计算； ②将方程组各方程左右两边分别相减后化简即可； ③将方程3x+2y＝8+a左右两边同乘以3后与2x+3y＝3a左右两边分别相减即可解答； ④将③中得到的方程解出x即可． 【解答】解：①将方程组各方程左右两边分别相加，得3x+2y+2x+3y＝8+a+3a， 整理得5（x+y）＝4（2+a）． 当x，y互为相反数时，x+y＝0， ∴4（2+a）＝0，得a＝﹣2． 故①正确． ②将方程组各方程左右两边分别相减，得3x+2y﹣2x﹣3y＝8+a﹣3a， 整理得x﹣y＝8﹣2a． 故②正确． ③将方程3x+2y＝8+a左右两边同乘以3，得9x+6y＝24+3a， 与2x+3y＝3a左右两边分别相减，得7x+3y＝24． 故③正确． ④由③中7x+3y＝24，解得xy． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查二元一次方程及二元一次方程组的解，解题过程中需要利用等式的性质对各方程进行变形，变化比较灵活，根据需要灵活运用． 17（4分）定义：如图，点M，N把线段AB分割成三条线段AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝4，则BN的长为 　5或　 ． 【考点】勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】5或． 【分析】分两种情况，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：当MN最长时，由勾股定理得：BN； 当BN最长时，由勾股定理得：BN5， 故答案为：5或． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为边BC上任一点，点F是AC中点，以AD为边作等边△AED，连接EC，则当EC取最小值时，∠FEC＝ 　30　 °． 【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】30． 【分析】由SAS可证△ACE≌△AHD，可得EC＝DH，当DH有最小值时，EC有最小值，则当HD⊥BC时，DH有最小值，由全等三角形的性质可得EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°，即可求解． 【解答】解：取点AB的中点H，连接DH， ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°，AB＝2AC， ∵点H是AB的中点， ∴AH＝BHAB， ∴AH＝AC＝BH， ∵△ABD是等边三角形， ∴AE＝AD，∠DAE＝60°＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠DAH， ∴△ACE≌△AHD（SAS）， ∴EC＝DH， ∴当DH有最小值时，EC有最小值， 则当HD⊥BC时，DH有最小值， 如图， ∵HD⊥BC，∠B＝30°， ∴∠AHD＝120°，BH＝2HD， ∵点F是AC的中点， ∴AC＝2CF， ∴CH＝HD， ∵△ACE≌△AHD， ∴EC＝HD＝CH，∠AHD＝∠ACE＝120°， ∴∠FEC＝30°， 故答案为：30． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三．解答题（共5小题，满分48分） 19．（12分）计算题： （1）； （2）（1）2； （3）． 【考点】解二元一次方程组；立方根；实数的性质；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算． 【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据实数的运算，由负整数指数幂，零指数幂，实数的性质，立方根进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，先计算乘法，利用完全平方公式进行计算，然后再合并同类二次根式即可； （3）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3）， 由①，得y＝2x﹣4③， 把③代入②，得4x﹣5（2x﹣4）＝8， 去括号，得4x﹣10x+20＝8， 解得：x＝2， 把x＝2代入③，得y＝2×2﹣4＝0， ∴方程组的解为． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，实数的性质，立方根，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟练掌握解二元一次方程组的方法，实数的运算，实数的性质，立方根，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 20（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上一点，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AE＝AD，且∠BAC＝∠DAE，连接CE． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）若∠BAC＝108°，DE＝DC，求∠CDE的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】三角形；图形的全等；推理能力． 【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）36°． 【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可． （2）证明∠B＝∠ACB＝∠ACE＝36°，推出∠DCE＝72°，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAE＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE＝36°（全等三角形的对应角相等）， ∴∠ICE＝∠BCA+∠ACE＝36°+36°＝72°， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝72°， ∴∠EDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 21．（9分）四边形ABCO各个顶点的坐标分别是A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），O（0，0）． （1）在所给的平面直角坐标系中画出四边形ABCO； （2）求出四边形ABCO的面积； （3）点P是x轴上一点，使得△AOP的面积等于四边形ABCO面积的一半，请直接写出点P坐标． 【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；三角形的面积． 【专题】作图题；平面直角坐标系；三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）如图：四边形ABCO如图所示： （2）80； （3）P（10，0）或（﹣10，0）． 【分析】（1）根据点的坐标作图即可； （2）作BE⊥CO于E，AF⊥CO于F，则CE＝3，BE＝6，AF＝8，OF＝2，EF＝9，再由四边形ABCO的面积＝S△BCE+S梯形ABEF+S△AFO计算即可得解； （3）设P（x，0），则OP＝|x|，根据△AOP的面积等于四边形ABCO面积的一半，得出，计算即可得解． 【解答】解：（1）如图：四边形ABCO如图所示： （2）如图，AF⊥CO于F，作BE⊥CO于E， 则EF＝﹣2﹣（﹣11）＝9，CE＝3，BE＝6，AF＝8，OF＝2， ∴四边形ABCO的面积＝S△BCE+S梯形ABEF+S△AFO ＝9+63+8 ＝80； （3）∵点P是x轴上一点， ∴设P（x，0），则OP＝|x|， ∵△AOP的面积等于四边形ABCO面积的一半， ∴， 解得：x＝10或x＝﹣10， ∴P（10，0）或（﹣10，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． 22．（9分）我校为了解初三学生对于体育中考三大球项目中的排球技能掌握情况，在本校随机抽取了若干名初三学生进行测试，其中男生50名．将测试结果统计如下： 40秒内垫球个数（x） x≤20 20＜x≤30 30＜x≤40 40＜x≤45 x＞45 频数（男生） 2 10 a 9 10 频数（女生） 1 8 b 14 5 根据上述信息回答下列问题： （1）求得a＝　19　 ，b＝　22　 ． （2）被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是 　30＜x≤40　 ． （3）若我校今年参加中考的考生有500人，其中男生有300人，女生有200人，请你估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数．（男生40秒垫球45个及以上为满分，女生40秒内垫球40个及以上为满分） 【考点】中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【专题】统计的应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）19，22； （2）30＜x≤40； （3）估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136名． 【分析】（1）用男生总人数减去其余各组人数可得a的值，先根据女生20＜x≤30所占的百分数和频率求得女生总人数，用女生总人数减去其余各组人数可得b的值，即可解决问题； （2）由中位数的定义求解即可； （3）由男生总人数乘获得满分男生的人数所占的比例加上女生总人数乘获得满分女生的人数所占的比例即可． 【解答】解：（1）a＝50﹣2﹣10﹣9﹣10＝19， 女生总人数为：8÷16%＝50（名）， 则b＝50﹣1﹣8﹣14﹣5＝22． 故答案为：19，22； （2）由中位数的定义可知，被抽取初三女生40秒垫球个数的中位数所落在的范围是30＜x≤40． 故答案为：30＜x≤40； （3）300200 ＝60+76 ＝136（名）． 故估计在我校今年参加中考的考生中排球技能能取得满分的人数为136名． 【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用统计图获取信息的能力，用样本估计总体，中位数；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 23．（10分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6），与x轴交于点A，与y轴交于点B．线段CD平行于x轴，交直线于点D，连接OC，AD． （1）填空：k＝　﹣3　 ，点A的坐标是（ 　5　 ，　0　 ） （2）求证：四边形OADC是平行四边形； （3）动点P从点O出发，沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，直到点D为止；动点Q同时从点D出发，沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，直到点O为止．设两个点的运动时间均为t秒． ①当t＝1时，△CPQ的面积是 　12　 ． ②当四边形CPAQ的面积为9时，请直接写出此时t的值 　或　 ． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）﹣3，5，0； （2）证明见解析过程； （3）①12； ②或． 【分析】（1）代入C点坐标即可得出k值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可； （2）求出A、D点坐标，根据CD＝OA，CD∥OA，即可证四边形OADC是平行四边形； （3）①作CH⊥OD于H，设出H点的坐标，根据勾股定理计算出CH的长度，根据运动时间求出PQ的长度即可确定△CPQ的面积； ②先证四边形CPAQ为平行四边形，确定PQ的长度，再根据P、Q的位置分情况计算出t值即可． 【解答】（1）解：∵直线y＝kx+15（k≠0）经过点C（3，6）， ∴3k+15＝6， 解得k＝﹣3， 即直线的解析式为y＝﹣3x+15， 当y＝0时，x＝5， ∴A（5，0）， 故答案为：﹣3，5，0； （2）证明：∵线段CD平行于x轴， ∴D点的纵坐标与C点一样， 又∵D点在直线yx上， 当y＝6时，x＝8， 即D（8，6）， ∴CD＝8﹣3＝5， ∵OA＝5， ∴OA＝CD， 又∵OA∥CD， ∴四边形OADC是平行四边形； （3）解：①作CH⊥OD于H，如图， ∵H点在直线yx上， ∴设H点的坐标为（m，m）， ∴CH2＝（m﹣3）2，HD2＝（m﹣8）2， 由勾股定理，得CH2+HD2＝CD2， 即（m﹣3）252， 解得或8（舍去）， ∴CH＝3， ∵OD10， ∴当t＝1时，PQ＝OD﹣t﹣t＝10﹣1﹣1＝8， ∴S△CPQPQ•CH8×3＝12， 故答案为：12； ②由（2）知四边形OADC是平行四边形， ∴OD与AC互相平分， 又∵P点和Q点的运动速度相同， ∴PQ与AC互相平分， ∴四边形CPAQ为平行四边形， ∵OD＝10， ∴当点P在点Q左侧时，则有： t+PD+t＝10， ∴PQ＝10﹣2t 又∵四边形CPAQ的面积为9， ∴（10﹣2t）×3＝9， 解得：t； 当点P在点Q右侧时，则有：PQ＝2t﹣10， 同理可得：（2t﹣10）×3＝9， 解得，t， 综上，t的值为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质是解题的关键． 24．（8分）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 　7　 张，正方形纸片 　3　 张； （2）现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】（1）7；3； （2）可以做成甲种小盒40个，乙种小盒80个． 【分析】（1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案； （2）设可以做成甲种小盒x个，乙种小盒y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片， ∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张， 故答案为：7；3； （2）设可以做成甲种小盒x个，乙种小盒y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒80个． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到关系式． 25．（10分）如图，在△ABC中，DE，DF分别垂直平分AC和BC，垂足分别为点E、F，DE交AB于点G，DF交AB于点H，连接CG，CH． （1）若∠ACB＝105°，则∠GCH的度数为 　30°　 ； （2）若∠GCH＝β，求出∠D的度数（用含β的代数式表示）； （3）请在图上连接AD，BD，若△CGH的周长为7cm，△DAB的周长为15cm，求AD的长． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）30°； （2）∴∠D； （3）AD的长为4cm． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得AE＝CE，BH＝CH，则∠ACG＝∠A，∠BCH＝∠B，由三角形的内角和定理可得∠A+∠B＝75°，根据角的和差即可求解； （2）由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质可得∠A+∠B，求出∠DGH+∠DHG＝90°﹣∠A+90°﹣∠B＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°180°﹣∠D，即可得出答案； （3）根据线段垂直平分线的性质得AD＝CD＝BD，BH＝CH，AG＝CG，由△CGH的周长为7cm，可得AB＝AG+GH+BH＝CG+GH+CH＝7cm，由△DAB的周长为15cm即可求解． 【解答】解：（1）∵DE，DF分别垂直平分AC和BC， ∴AE＝CE，BH＝CH， ∴∠ACG＝∠A，∠BCH＝∠B， ∵∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣105°＝75°， ∴∠ACG+∠BCH＝75°， ∴∠GCH＝∠ACB﹣（∠ACG+∠BCH）＝30°， 故答案为：30°； （2）∵∠ACG＝∠A，∠BCH＝∠B， ∴∠CGB＝∠A+∠ACG＝2∠A，∴∠CHG＝∠B+∠BCH＝2∠B， ∴∠A+∠B， ∵DE，DF分别垂直平分AC和BC，垂足分别为点E、F， ∴∠AGE＝∠DGH＝90°﹣∠A，∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠B， ∴∠DGH+∠DHG＝90°﹣∠A+90°﹣∠B＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°180°﹣∠D， ∴∠D； （3）连接AD，BD，CD， ∵DE，DF分别垂直平分AC和BC， ∴AD＝CD＝BD，BH＝CH，AG＝CG， ∵△CGH的周长为7cm， ∴AB＝AG+GH+BH＝CG+GH+CH＝7cm， ∵△DAB的周长为15cm，AD＝BD， ∴AD（15﹣7）＝4（cm）， ∴AD的长为4cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝﹣x+4，直线l1上点A的横坐标为2，过点A作AB∥x轴交直线l2于点B．以AB为长，AB长为宽向上构造矩形ABCD． （1）当直线l1在直线l2的上方时，求自变量x的取值范围； （2）将矩形ABCD先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形A′B′C′D′，点A的对应点A′落在直线l2上． ①求n关于m的函数关系式； ②直线B'C'交直线l1于点P，交直线l2于点Q，当点P和Q关于点C′成中心对称时，求m的值； ③直线l1，直线l2与矩形A′B′C′D′的边A′B′分别交于点M，N，当时，求点A′的坐标． 【考点】一次函数综合题． 【专题】代数综合题；压轴题；一次函数及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）x＞1；（2）①n＝m+3；②；③． 【分析】（1）先求出交点坐标，然后集合图象即可求解； （2）①表示出点A的坐标，然后代入直线l2即可求解； ②先表示出点P和点Q的坐标，然后根据中心对称的性质求解即可； ③先表示出点M和点N的坐标，然后根据两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：（1），得， ∴交点坐标为（1，3）， ∴当直线l1在直线l2的上方时，自变量x的取值范围是x＞1； （2）①∵直线l1上点A的横坐标为2， ∴y＝2×2+1＝5， ∴A（2，5）， 由平移的性质得，A'（2+m，5﹣n）， ∵点A'落在直线l2上， ∴5﹣n＝﹣（2+m）+4， ∴n＝m+3； ②∵AB∥x轴， ∴A'B'∥x轴，点B纵坐标为5， ∴5＝﹣x+4， ∴x＝﹣1， ∴B（﹣1，5）， ∴AB＝2﹣（﹣1）＝3， ∵以长为边向上构造矩形ABCD， ∴BC＝AD＝1， ∴C（﹣1，6），D（2，6）， ∴B'（﹣1+m，5﹣n），C'（﹣1+m，6﹣n）， ∵n＝m+3， ∴B'（﹣1+m，2﹣m），C'（﹣1+m，3﹣m）， ∵直线B'C′交直线l1于点P，交直线l2于点Q，B′C′∥y轴， ∴l1：y＝2（﹣1+m）+1＝2m﹣1，l2：y＝﹣（﹣1+m）+4＝5﹣m， ∴P（﹣1+m，2m﹣1），Q（﹣1+m，5﹣m）， ∵点P和Q关于点C'成中心对称， ∴2m﹣1+5﹣m＝2（3﹣m）， ∴； ③∵A'（2+m，5﹣n），n＝m+3， ∴A'（2+m，2﹣m）， ∵直线l1与矩形A'B′C′D'的边A'B'交于点M， ∴2﹣m＝2x+1， ∴， ∴， 同理可求：N（1+m，3﹣m）， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣平移，一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式，中心对称的性质等知识，掌握平移的性质是解答本题第二问关键． 学科网（北京）股份有限公司 $