精品解析：安徽省黄山市2026届高三第一次质量检测数学试题

黄山市2026届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法得 ，即可得解. 【详解】根据， 则， 所以的虚部为1. 故选：A 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数求定义域的依据可解得集合，利用集合交集的定义即可求解. 【详解】由知，，解得 ，所以； 又，所以. 故选：D. 3. 点在抛物线上，则到抛物线焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由点在抛物线上，确定抛物线方程，得到焦点坐标，进而可求解. 【详解】由点在抛物线上， 可得：，即 ， 则抛物线焦点坐标， 所以到抛物线焦点的距离为， 故选：C 4. 已知是 上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出函数的图像，结合图像，即可求得不等式的解集. 【详解】由函数是 上的奇函数，且， 在上单调递减， 可得函数的图像关于原点对称，，且在上单调递减， 函数的图像如图所示， 结合图像可得，不等式 的解集为. 故选：A. 5. 函数的图象向左平移后关于轴对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得到，解出即可. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当 时， 取得最小值，为. 故选：C. 6. 已知，在上的投影向量是，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 7. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求出离心率范围. 【详解】双曲线的右焦点为， 因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， 即，所以离心率. 故选：B 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得对于 恒成立，进而得到函数和在上有共同的零点，可得，进而得到，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于 恒成立， 而函数和在上均为增函数， 则函数和在上有共同的零点， 即，则，即， 设，则， 令，得 或，令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 又 时，， 时，，且， 则，即的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 点在直线上，过作圆的切线（ 为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，求得圆心坐标可判定A；求得圆心到直线的距离，结合圆的性质可判定B；根据圆的切线长公式可判定C，连接，设，和，结合正弦的倍角公式，以及基本不等式可判定D. 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为 ，错误； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角 中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为 ，正确. 故选：ABD 10. 如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用向量法得，即可利用基本事实的推论判断B；确定直角梯形是否有外接圆判断C；结合空间向量线性坐标运算，利用共面定理判断D. 【详解】在直棱柱中， 平面， 又，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 对于A，因为， 所以， 所以，所以，A正确； 对于B， ，即，又直线， 因此，即四点共面，B正确； 对于C，在梯形中，， 则为锐角，，因此， 所以梯形无外接圆，则直棱柱没有外接球，C正确； 对于D，棱的中点， ， 假设棱的中点M在平面内， 则有，即，该方程组无解， 所以棱的中点不在平面内，D错误. 故选：ABC 11. 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由，利用三角恒等变换化简可得，结合是的最大内角分析可得，进而判断即可；对于B，由，可得，结合角的范围求解判断即可；对于C，结合，求解判断即可；对于D，由，可得，进而根据基本不等式求解判断即可. 【详解】对于A，由 ， 则， 即， 所以， 则， 即，由于是的最大内角， 则，所以，则，即， 故为直角三角形，故A错误； 对于B，由于，则，即， 又，则， 所以， 则时，取得最大值为，故B正确； 对于C，由于，， 则面积为，故C错误； 对于D，由于，则，即， 又，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为2. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意，. 故答案为：. 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令 ，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得 或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或 ， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 14. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】记，由题意得，利用得，易得，利用二次函数性质求解值域即可得解. 【详解】记，则，由得， 即，因为，所以，所以， 则，， 因为，开口向下，其对称轴为， 所以当时，， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是正项数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项关系式，可化简得到，从而可利用等差数列通项公式即可求解； （2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可. 【小问1详解】 当时，，因为正项数列，所以， 由，得， 两式相减得，即， 因为 ，所以， 故是一个以1为公差的等差数列， 即． 【小问2详解】 由题意，则， 所以， 即． 16. 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（ 40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ （2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）与年龄群体有关 （2）， 【解析】 【分析】（1）结合题中数据计算，然后与临界值比较即可判断. （2）设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，根据全概率公式和对立事件概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设：参与绿色出行与年龄群体无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，不成立， 所以参与绿色出行与年龄群体有关． 【小问2详解】 设“市民甲第天参与了绿色出行”，“市民甲第天没有参与绿色出行”，． 由题意知：， ∴， ∴， ∴． ∴市民甲第二天参与了绿色出行的概率为，第三天参与了绿色出行的概率为． 17. 如图，在直角梯形中，， ，，为 中点，将 沿折起，使到处． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ， ，，，且二面角 的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥 外接球的表面积． 【答案】（1）因为 ， ，，所以四边形 为矩形， 连接交 于点，连接 ，则点为中点， 又为中点，所以 是 中位线，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可. （2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出 值；判断外接球球心位置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）因为 ， 平面 ，平面 平面 且交于． 所以 平面 ，而 平面 ，所以 ， 又 ， 故以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图． 则 ， ，， ， ， ， 设 ，则 ， 又 ， 所以，即，所以 ， 则 ， ， 设平面 的法向量为 . 则，即，令 ，则 ， ， 所以 . 又 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以 即为平面 的一个法向量. 设二面角 的平面角为，则， 所以， 即 ， 解得或（舍去，因为），故：． （Ⅱ）所求外接球球心在过点垂直于平面 的垂线上，则 . 设 ，又 ，则 ， ， 所以， 即，整理得，解得， 所以 ，所以， 故． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于 和四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）或，（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入椭圆方程，结合离心率公式列出方程组即可求解；（2）（Ⅰ）将点的坐标代入椭圆方程，利用向量的数量积公式列出方程即可求解；（Ⅱ）根据题意设出直线与的方程与椭圆方程联立，结合根与系数的关系与弦长公式代入方程即可求解. 【小问1详解】 依题意，，所以，所以； 又，所以； 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 （Ⅰ） 由（1）知，，所以； 又，所以， 又，所以，解得； 又，所以 ，所以； 故点的坐标为或； （Ⅱ）设，即； 由，得， 所以， ， 即； 因为， 所以 ， 同理，对于斜率为的直线， 可得； 又，所以， 因为过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于 和四个不同点， 所以点不能在椭圆上； 若点在椭圆上，则，即，因此， 所以，即，解得. 19. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增． （2）（Ⅰ）（Ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）求导得到导数表达式，再结合参数的不同取值范围，分别讨论导数在相应区间上的正负，从而确定函数的单调性. （2）（Ⅰ）根据单调性和函数值的符号排除不符合条件的情形，再通过极值点的函数值符号建立不等式，得到参数的取值范围； （Ⅱ）零点成等差数列时利用零点所满足的方程变形得到比例关系，结合等差数列的定义建立关于公差的方程并求解. 【小问1详解】 由， ①当时，，在上单调递减，在上单调递增； ②当 时，若 ，则，即在上单调递增； 若，则， 令， 若，即时， 当时，；当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，当时，； 当时，， 由的连续性知在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增． 【小问2详解】 （Ⅰ）①当时，由（1）知在上单调递增，则至多只有一个零点，与题不符； ②当时，由 得，则在上只有一个零点，与题不符； ③当时，在上单调递减，而在上恒成立，且, 则函数无零点，与题不符； ④当，在上单调递增且， 所以在上恰有一个零点， 又时，，若使有个零点，则， 即，即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. （Ⅱ）令，即， 因为为函数的三个零点，且由（2）知， 所以有：，由于同号，两式相除得， 令等差数列的公差为，所以，得， 同理，由异号，所以，所以，得， 所以，得，解得． 代入，得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄山市2026届高中毕业班第一次质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 点在抛物线上，则到抛物线焦点的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知是 上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象向左平移后关于轴对称，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，在上的投影向量是，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 点在直线上，过作圆的切线（ 为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 10. 如图，在直棱柱中，，是中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 四点共面 C. 直棱柱不存在外接球 D. 棱的中点在平面内 11. 是的最大内角，且，则下列结论正确的是（ ） A. 可能为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 面积的最小值为 D. 的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 14. 若，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是正项数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）若为函数的导函数，记，求数列的前项和． 16. 2025年我国多地推广“碳普惠”体系，鼓励市民参与绿色出行获取低碳积分．某社区随机抽取100名居民调查绿色出行情况，得到如下列联表（绿色出行定义为“日常通勤采用公交、骑行、步行”）： 参与绿色出行 不参与绿色出行 总计 青年群体（ 40岁） 35 15 50 中老年群体（40岁） 20 30 50 总计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，分析参与绿色出行是否与年龄群体有关？ （2）若市民甲前一天参与了绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为；若前一天没有参与绿色出行，则后一天参与绿色出行的概率为．如果市民甲第一天参与了绿色出行的概率为，分别求出他在第二天、第三天参与了绿色出行的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在直角梯形中，， ，，为中点，将 沿折起，使到处． （1）求证： 平面 ； （2）若平面 平面 ， ，，，且二面角 的正弦值为． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求四棱锥 外接球的表面积． 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于 和四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 19. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）若函数有三个零点，且． （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）若三个零点成等差数列，求这三个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $