2026年九年级中考数学一轮专题复习十四： 二次函数与一元二次方程综合训练

2026学年九年级中考数学一轮专题复习十四：二次函数与一元二次方程综合训练 1．已知关于的二次函数（是常数）． (1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 2．定义：在平面直角坐标系中，如果点满足 （k是常数），我们称点P为“k级和值点”．例如：满足，则称为“2级和值点”． (1)请判断下列说法是否正确（在相应的横线处，正确的打“√”，错误的打“×”； ①函数的图象上存在“1级和值点”；______； ②函数的图象上存在两个“1级和值点”；_______； ③函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．______； (2)关于x的二次函数（m，n是常数）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值； (3)已知关于x的二次函数（a，b，c是常数且）的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若，，求线段的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段有两个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线上一点． (1)当时，求的最小值． (2)当时， ①若抛物线与轴有两个交点，自左向右分别为点，且，求抛物线的解析式． ②当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围． (3)①若，直接写出的最大值． ②当时，的最大值为，最小值为，请直接写出的值． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．点是抛物线在第一象限上的动点，点是线段上的动点． (1)直接写出、、三点及抛物线顶点的坐标； (2)若轴，求的最大值； (3)若直线与抛物线有唯一公共点，当直线时，求点所处位置． 6．已知二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)点P在抛物线上且不与点C重合，当时，求点P的坐标． 7．已知抛物线的顶点为P． (1)若点P的坐标为，求函数解析式； (2)若点P在射线上运动，设点P的横坐标为t，点Q是平面内一动点，始终满足，则： ①求a，b（用含t的式子表达）； ②若抛物线与x轴交于点和（），求的最小值． 8．已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． (1)该函数的图象与轴的公共点的个数是 ； (2)当时，试说明； (3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． (2)若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 10．已知抛物线． (1)若该抛物线与x轴有交点，求实数m的取值范围； (2)当时，若该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧）． ①求A，B两点的坐标； ②若该抛物线的顶点为D，且与y轴的交点为C，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 11．如图，已知二次函数与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)若直线与二次函数有两个公共点，直接写出的取值范围． 12．在直角坐标系中，设函数，，其中， (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求的值． 13．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“镜反点”、例如，都是“镜反点”． (1)下列函数图象上存在“镜反点”的是______． ①；②；③． (2)已知二次函数． ①若该二次函数的图象上有且只有一个“镜反点”，当时，求函数的最大值； ②若该二次函数在的图象上存在两个“镜反点”，则c的取值范围是______． 14．已知二次函数（是常数）． (1)若抛物线经过． ①求二次函数解析式． ②抛物线上有一点，向右平移3个单位后仍在该抛物线上，求点的坐标． (2)若抛物线与x轴有且仅有一个交点，令，是否存在一个常数，使得当时，的最大值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 15．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)求二次函数的图象与x轴交点的坐标； (3)设t为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，求的值． 参考答案 1．【解】（1）证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 2．【解】（1）解：①∵， ∴，令，解得， ∴点在直线上且满足， ∴函数的图象上存在“1级和值点”；√； ②联立得，， ∴方程组有两个实数解， ∴函数的图象上存在两个“1级和值点”；√； ③联立，得，， ∴方程组没有实数解， ∴函数的图象上有且只有一个“1级和值点”．×； 故答案为：①√；②√，③×； （2）解：设反比例的图象上的“3级和值点”为，则． ∴或， ∵二次函数 （m，n是常数且）与反比例函数的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”， ∵该“3级和值点”为， 将代入得：， ∴， ∵二次函数的图象与坐标轴只有2个交点， ∴分两种情况讨论： ①当抛物线与x轴只有1个交点时， ∴，解得：， 此时抛物线为； ∴当时，， ∴与y轴交于． ∴当时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； ②当抛物线与x轴有2个交点时，则必过， ∴，解得：， 此时抛物线为：； ∴时，符合函数的图象与坐标轴只有2个交点； 综上所述：或； （3）解：∵， ∴ ∵抛物线（a，b，c是常数且）上存在两个不同的“1级和值点”、， ∴联立， 整理得， ∴， ， ∴ ， 令，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．【解】（1）解：由题意，对于抛物线， ∴对称轴为直线； （2）解： 令，即， 解得，， 又∵抛物线与线段有两个交点，， ∴或， 解得或， ∴b的取值范围是或； （3）解：由题意，将代入抛物线， ∴， 又将代入抛物线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 4．【解】（1）解：∵ ∴， ∴顶点坐标为 ∵， ∴的最小值为； （2）解：①当时， ∴对称轴为直线， 设点的横坐标为， ∵， ∴ 又∵关于直线对称， ∴ 解得：或 ∴或 ②∵当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，对称轴为直线， ∴当时，，当时， 即 ∴ （3）解：①∵图象的顶点为， 当时， ∴ 即的最大值为 ②∵图象的顶点为，对称轴为直线，则 点为抛物线上一点，当时， ∵，的最大值为，最小值为， ∴， ∴ 5．【解】（1）解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴，； （2）解：设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设， ∵轴， ∴， ∴， ∴的最大值为． （3）解：∵直线， 设直线的解析式为， 联立， 消去得，， 即， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， 解得：， ∴的纵坐标为， ∴的坐标为． 6．【解】（1）解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令时，则， 解得，， ∴点A，B的坐标为， ∴线段的长为； （2）解：∵二次函数与y轴交于点C ∴当时，， ∴， ∵点P为抛物线上一点，， ∴点P的纵坐标为5或， 当时，，解得，， 当时，，解得，（舍去）， ∴P点坐标为或或 7．【解】（1）解：抛物线的顶点为， 设该抛物线的解析式为， 即， ， 解得：， 该抛物线的解析式为． （2）①∵点P在射线上运动，点P的横坐标为t， ∴P的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 即， ， 解得：． ②∵抛物线与x轴交于点和（）， ∴，，， ∴， ， ∴或， ∵点P在射线上运动，点P的横坐标为t， ∴，， ∴， 的值随t的增大而增大， 当时，有的最小值，最小值为， ∵，， ∴． 故答案为． 8．【解】（1）解：由题意得：, 化简，得：， 令，则有， 则， ∴函数的像与轴的公共点的个数为； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴对称轴， ∴； （3）解：根据，得二次函数的表达式为， 把点、分别代入表达式，得，， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 当且时，即且， 解得且， ∴解为； 当时，即， 解得， ∴的取值范围是或． 9．【解】（1）证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； （2）解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 10．【解】（1）解：∵该抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴， 解得． （2）解：当时，， ①令，得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴点B的坐标为，点A的坐标为； ②不是直角三角形．理由如下： 当时，， ∴点C的坐标为， 又， ∴点D的坐标为． ∵，， ， ∴， ∴不是直角三角形． 11．【解】（1）解：令，即， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标分别为，； 令，则， ∴抛物线与轴的交点坐标为． （2）解：由二次函数图象可知，当时，的取值范围是或． （3）解：由得，，即， ∵直线与二次函数有两个公共点， ∴， 解得， ∴当直线与二次函数有两个公共点时，的取值范围是． 12．【解】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：由，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴函数与轴没有交点； （3）解：当时，即， 解得或， ∴与x轴的交点为和， 对于， 由根与系数的关系得，，， ∴，或（舍去）， ∴，． 13．【解】（1）解：∵“镜反点”的横纵坐标互为相反数， ∴“镜反点”都在直线上， ∵直线的函数图象经过原点，且经过第二、四象限，反比例函数的图象分别在第一、三象限， ∴直线与反比例函数的图象一定没有交点， ∴反比例函数的图象上不存在“镜反点”； ∵直线与直线平行， ∴直线与直线没有交点， ∴直线的图象上不存在“镜反点”； 联立，解得， ∴函数的图象上存在“镜反点”， 故答案为：③； （2）解：①∵二次函数的图象上有且只有一个“镜反点”， ∴二次函数的图象与直线有且只有一个交点， 联立得， ∴， ∴， ∴ ， ∵二次函数∴的二次项系数， ∴当时，函数的函数值随x的增大而增大， ∴当时，函数在时取得最大值，最大值为； ②联立得， 设，则二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数的图象上的“镜反点”的横坐标， 二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数在的图象上存在两个“镜反点”， ∴二次函数在的图象上与x轴有两个不同的交点， ∴在中，当时，，当时，，且顶点一定要在x轴的下方， ∴， 解得． 14．【解】（1）解：①∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为：； ②设点，则平移后点的坐标为：， 将该点的坐标代入得：， 解得：， 则点的坐标为：； （2）解：存在，，理由如下： ∵抛物线与x轴有且仅有一个交点， ∴， 故， ∴， ∴关于直线对称，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，函数在时取得最大值，此时，解得：或（舍）， 当时，函数在时取得最大值，此时，解得（舍）， ∴综上，的值为． 15．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴将代入得，， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为：， 令，则， 移项得：， 等式两边同时加1得：， 整理得：， 开平方得：， 解得：，， ∴二次函数与x轴交点的坐标为：和． （3）解：∵t为二次函数的图象与x轴交点的横坐标， ∴，即， 分子化简： ， ， ∴， 分母化简： ， ， ， ， ∴， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $