27.2 相似三角形 同步分层闯关练 2025--2026学年人教版九年级数学下册

27.2 相似三角形 同步分层闯关练 一．选择题 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列所述四个条件中不能判断△CED∽△CAB的是（　　） A．∠CED＝∠A B．∠CDE＝∠B C． D． 2．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为1：2，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 3．如图所示，木工师傅要在一块直角三角形木板上裁出一块正方形木板、已知直角三角形木板的面积为1.5m2，直角边AB＝1.5m，则这个正方形木板的边长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE，AC相交于点O，过O作AB的平行线交BC于点P，若AB＝5，则OP的长是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O，如果△DOE的面积为1，那么四边形OBCE的面积为（　　） A．4 B．5 C．6 D．9 6．如图，道口栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当长臂外端B升高4m时，短臂外端A下降的距离是（　　） A．0.6m B．0.5m C．0.4m D．0.3m 7．如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AC为▱ABCD的对角线，点E在边BC上，连结DE交AC于点F，若AF＝5，CF＝1，∠DEC＝∠ACD，则AD的长为（　　） A． B．5 C． D．6 9．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为3m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为（　　） A．5m B．6m C．7m D．9m 10．如图，一棵树的顶梢点A的影子落在台阶的G点处．若台阶CD＝EF＝HG＝0.2m，DE＝FG＝0.4m，台阶在地面的影子QM＝0.45m，树的底部到台阶的距离BC＝1.9m，则这棵树的高度AB为（　　） A．3.2m B．3.6m C．4m D．4.2m 11．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①DE＝EF；②四边形DFBE是菱形；③BM＝3FM；④S△FOM：S矩形ABCD＝1：14． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 12．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则AF的长为　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边CD上，连接BE与对角线AC交于点G，射线AE与BC的延长线交于点F．若△BCG∽△FCE，则的值为　 　 ． 14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△DOE与△BOC的面积之比为　 　 ． 15．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接BD，CE交于点O，若S△DOE＝3，则S△BOC＝　 　 ． 16．如图，小明为测得学校操场上小树CD的高，他站在教室里的A点，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠HD经测量，窗口高EF＝1.2m，树干高CH＝0.9m，A点距墙根G的距离为1.5m，C点距墙根G的距离为4.5m，且A，G，C三点在同一直线上．则小树CD的高为　 　 m． 17．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接BF与DE相交于点G，连接CG交对角线BD于点H，且AF＝BE，若DG＝3，则四边形DFGH的面积为　 　 ． 三．解答题 18．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB＝AC，E，F分别为BC，AD的中点，连接AE交BD于点G，连接CF交BD于点H． （1）求证：四边形AECF为矩形； （2）若AE＝BC，，求BD，AB的长． 19．在正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE交对角线BD于点F，G为线段BF上一点，且∠GAF＝45°． （1）求证：△AFG∽△DFE； （2）若AB＝6，求线段AF与FG的长． 20．如图，在△ABC和△ADE中，点B，D，E在同一条直线上，∠EBC＝∠BAD，∠E＝∠C． （1）求证：△ABC∽△ADE； （2）连接CE，若AB＝6，AC＝5，BD＝2，则CE＝　 　 ． 21．如图1，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC＝5．D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝2． （1）求DE的长； （2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AFG，其中点D，E的对应点分别是点F，G，连接CG，BF，点F恰好落在CG上，BF＝m，求CF的长（用含m的式子表示）． 22．如图，线段AD、BC相交于点E，点F是线段ED的中点，联结AB、BD、CD，分别延长BA、FC交于点G．已知∠BAD＝90°，且． （1）求证：∠ABE＝∠FCD； （2）如果DA平分∠BDC，求证：． 23．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，AC是四边形ABCD的对角线，过点A作AC的垂线AE交CD的延长线于点E，点D恰好是CE的中点． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，连接BG，若AE＝2，，求DF和BG的长． 24．学生体检时使用的视力表蕴含很多数学知识，每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应同一个视力值，不同检测距离需要不同的视力表． 素材1：国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中不同视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），数据如表所示： 视力值n “E”形图边长b（mm） 0.4 18 0.5 14.4 0.6 12 0.8 9 1.0 7.2 探究1：根据表中数据，判断n与b的函数关系，并求出关系式．当视力值为1.2时，求对应的“E”形图边长． 素材2：图1为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力值n与分辨视角θ的对应关系近似满足． 探究2：当n≥1.0时，属于正常视力，写出对应的分辨视角θ的范围． 素材3：如图2，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3：若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A D B B B C D C C 二．填空题 12．． 13．． 14．1：9． 15．12． 16．5.7． 17．． 三．解答题 18．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，F分别为BC，AD的中点， ∴AFAD，CEBC， ∴AF＝CE， ∵AF∥CE， ∴四边形AECF为平行四边形， ∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF为矩形； （2）解：∵平行四边形的对角线相交于O点， ∴OA＝OC， ∵矩形AECF为中心对称图形， ∴OH＝OG， ∵GE∥CH， ∴1， ∴BG＝HG＝2， ∵AD∥BE， ∴△AGD∽△EGB， ∴2， ∴AG＝2GE， 设GE＝x，则AG＝2x， ∴BC＝AE＝3x， ∴BEx， 在Rt△BEG中，（x）2+x2＝（2）2， 解得x1＝4，x2＝﹣4（舍去）， ∴BE＝6，AE＝12， 在Rt△ABE中，AB6． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝CD，∠C＝90°， ∴∠EDF＝∠CBD＝45°， ∵∠GAF＝45°， ∴∠GAF＝∠EDF， ∵∠AFG＝∠DFE， ∴△AFG∽△DFE． （2）解：∵CD＝AD＝AB＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∴BD6， ∵E为CD边中点， ∴ED＝ECCD＝3， ∴AE3， ∵ED∥AB， ∴△EDF∽△ABF， ∴， ∴AFAEAE32，DFBDBD62， ∴FE＝AE﹣AF＝32， ∵△AFG∽△DFE， ∴， ∴FG， ∴AF的长是2，FG的长是． 20．（1）证明：∵∠EBC＝∠BAD，∠ADE＝∠BAD+∠ABD，∠ABC＝∠ABD+∠EBC， ∴∠ADE＝∠ABC， 又∵∠E＝∠C， ∴△ABC∽△ADE； （2）解：如图，连接CE， 由（1）知，△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴， ∵AB＝6，AC＝5，BD＝2， ∴CE， 故答案为：． 21．解：（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， ∴DE； （2）∵△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得AE， ∵△ADE绕点A逆时针旋转，得到△AFG， ∴AG＝AE，AF＝AD＝2，GF＝DE，∠GAF＝∠DAE， ∴∠DAE+∠CAF＝∠GAF+∠CAF， 即∠BAF＝∠CAG， ∵，， ∴， ∴△ABF∽△ACG， ∴， 即， ∴CGm， ∵CF+GF＝CG， ∴CFm． 22．解：（1）证明：∵，∠AEB＝∠CED， ∴△AEB∽△CEB， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∠ABE＝∠FDC， ∵点F是ED的中点， ∴CFDE，DFDE， ∴CF＝DF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴∠ABE＝∠FCD； （2）∵DA平分∠BDC， ∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ABE＝∠ADC， ∴∠ABE＝∠ADB， ∵∠BCD＝90°，点F是ED的中点， ∴CFDE，FEDE， ∴CF＝EF，DE＝2CF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∵∠BCG＝∠CEF+∠EFC， ∠BED＝∠ECF+∠EFC， ∴∠BCG＝∠BED， ∴△BCG∽△DEB， ∴， ∴． 23．（1）证明：∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AE⊥AC交CD的延长线于点E，且D是CE的中点， ∴∠CAE＝90°， ∴AD＝CDCE， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：连接BD交AC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，点E在CD的延长线上， ∴BD⊥AC，BH＝DH，AD＝AB，DE∥AB， ∵AE⊥AC， ∴BD∥AE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴BD＝AE＝2， ∵DF⊥AB于点F，交AC于点G， ∴∠AFD＝∠BFD＝90°， 设AD＝AB＝5m， ∵， ∴AFAD＝3m， ∴BF＝AB﹣AF＝2m，DF4m， ∴， ∴BFDF， ∵BDDF＝2， ∴DF＝4， ∴BFDF＝2， ∵AC垂直平分BD，点G在AC上， ∴DG＝BG， ∴FG＝DF﹣DG＝4﹣BG， ∵FG2+BF2＝BG2， ∴（4﹣BG）2+22＝BG2， 解得BG， ∴DF的长为4，BG的长为． 24．解：探究1：由题意，根据表格数据可得，nb＝7.2， ∴n与b成反比例函数关系． ∴n． ∴当视力值为1.2时，即n＝1.2，则对应的“E”形图边长b6（mm）； 探究2：∵n， ∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小， ∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0， ∵0.5≤θ≤10， ∴0.5≤θ≤1.0； 探究3：由题意得，， 又由探究1知b1＝6， ∴， ∴． 答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/3 20:09:47；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $