3.1 第1课时 等比数列的概念及其通项公式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等比数列核心知识点，系统梳理定义、公比、通项公式及性质，构建从基础计算（如公比求解）到综合应用（如与等差数列结合、实际问题建模）的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 资料通过选择、填空、解答题分层设计，融入符号运算、逻辑推理等元素，如等比数列与等差数列综合题培养推理意识，实际问题建模题提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后解析详细助力学生自主查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

1．(2024·陕西西安月考)设{an}是等比数列，且a1－a2＝1，a3－a2＝2，则a5－a4＝(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，则解得所以a5－a4＝a1q4－a1q3＝8.故选A. 2．在正项等比数列{an}中，公比为q，且－6，q2，14成等差数列，则log2＝(　　) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：选A.因为－6，q2，14成等差数列，所以2q2＝－6＋14，解得q＝2或q＝－2(舍去)，所以log2＝log2＝log2q2＝2log22＝2.故选A. 3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝(　　) A．4× B．4× C．4× D．4× 解析：选C.由题意，知＝，即(a＋1)2＝(a－1)·(a＋4)，解得a＝5，所以＝＝.又a－1＝4，所以数列{an}是首项为4，公比为的等比数列，所以an＝4×. 4．已知{an}为递增等差数列，等比数列{bn}以a1，a2为前两项且公比为3，若b5＝am，则m＝(　　) A．13 B．41 C．57 D．86 解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，由题知＝3，所以a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，所以d＝2a1，所以an＝a1＋(n－1)d＝(2n－1)a1，又因为{bn}为公比为3的等比数列，所以b5＝a1×34＝81a1＝am＝(2m－1)a1，解得m＝41.故选B. 5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足a1＝1，an＋1＝2Sn，则a2 024＝(　　) A．2×32 022 B．32 022 C．32 023 D．2×32 023 解析：选A.由已知可得a2＝2S1＝2，当n≥2时，由an＋1＝2Sn可得an＝2Sn－1，两式作差可得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)，又＝2≠3，所以数列{an}是从第二项开始以3为公比的等比数列，则a2 024＝a2×32 022＝2×32 022.故选A. 6．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A. B．{anan＋1} C．{lg(a)} D．{an＋an＋1} 解析：选AB.由题意知{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0)．对于A，＝＝·，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，所以数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时，lg(a)＝0，数列{lg(a)}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1 时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB. 7．若在1和256中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比q＝________． 解析：由条件可知，a1＝1，a5＝256，所以q4＝256，解得q＝±4. 答案：±4 8．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________． 解析：设这三个数依次为，a，aq(a，q≠0)，则 即 解得或故这三个数为8，4，2或2，4，8. 答案：8，4，2或2，4，8 9．已知数列{an}满足＝，且a2＝2，则a4＝________. 解析：因为＝，所以＝2，所以数列{an＋1}是公比为2的等比数列，所以＝22＝4，即＝4，解得a4＝11. 答案：11 10．(1)已知一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式； (2)已知等比数列{an}中，a5＝3，a7＝27，求公比q及an. 解：(1)方法一：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意得得 所以an＝a1qn－1＝·. 方法二：因为{an}为等比数列，所以q＝＝＝， 所以an＝a3·qn－3＝12·＝·. (2)由a7＝a5q2，得q2＝＝9，所以q＝±3， 当q＝3时，an＝a5qn－5＝3×3n－5＝3n－4； 当q＝－3时，an＝a5qn－5＝3×(－3)n－5＝－(－3)n－4. 11．设{an}是等比数列，下列结论中正确的是(　　) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1＋a3 D．若a1＜0，则(a1－a2)(a2－a3)＞0 解析：选C.对于A，若a1＋a2＞0，且公比q＜0，则a2＋a3＝q(a1＋a2)＜0，故A错误；对于B，若a1＋a3＜0，且公比q＜－1，则a1＋a3＝a1(1＋q2)＜0，即a1＜0，q＋1＜0，所以a1＋a2＝a1(1＋q)＞0，故B错误；对于C，注意到0＜a1＜a2，所以q＝＞1，从而a1＋a3＝＋a2q≥2 ＝2a2，因为q＝＞1，故取等条件不成立，所以2a2＜a1＋a3，故C正确；对于D，若a1＜0，且公比q＝1或q＜0，则(a1－a2)(a2－a3)＝q(a1－a2)2≤0，故D错误．故选C. 12．(多选)(2024·河南南阳期中)已知数列{an}满足a1＝1，(anan＋1－1)(2an＋1－an)＝0，则a1 314的值可能为(　　) A．1 B．1 314 C．2－1 313 D．2－521 解析：选ACD.(anan＋1－1)(2an＋1－an)＝0，故anan＋1－1＝0或2an＋1－an＝0， ①当anan＋1－1＝0时，a1＝1，故an＝1，a1 314＝1，故A可能； ②当2an＋1－an＝0时，an＋1＝an，a1＝1，故an＝，a1 314＝2－1 313，故C可能； 当anan＋1－1＝0或2an＋1－an＝0同时存在时，可得an＝2k，k∈Z，B选项不可能出现， 存在a1＝a2＝a3＝…＝a793＝1，an＋1＝an(n≥793，n∈N＋)，此时a1 314＝1×＝2－521，故D可能．故选ACD. 13．在表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为________． 1 2 0.5 1 a b c 解析：因为每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，所以根据第三列，得＝，可得a＝.在第一列中，公比q＝，第3个数为＝，第4个数为＝，第三列中，公比q＝，第4个数为2×＝，所以第四行中的公差d＝×＝，所以第四行中第4个数b＝＋＝，同理c＝，所以a＋b＋c＝＋＋＝1. 答案：1 14．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由nan＋1＝2(n＋1)an可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 15．(2024·江西南昌期中)若数列{an}对任意连续三项ai，ai＋1，ai＋2，均有(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＞0，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是(　　) A．存在等差数列{an}是“跳跃数列” B．存在公比大于零的等比数列{an}是“跳跃数列” C．若等比数列{an}是“跳跃数列”，则公比q∈(－1，0) D．若数列{an}满足an＋1＝2an＋1，则{an}为“跳跃数列” 解析：选C.若{an}是等差数列，设公差为d，则(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－2d2≤0，所以不存在等差数列{an}是“跳跃数列”，故A错误； 若{an}是等比数列，设公比为q，则(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－aq(1－q)2(1＋q)，当q＞0时，(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－aq(1－q)2(1＋q)≤0，故B错误； 由(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝－aq(1－q)2(1＋q)＞0，得q∈(－1，0)，故C正确； 因为an＋1＝2an＋1，所以an＋2＝2an＋1＋1＝4an＋3，所以(ai－ai＋2)(ai＋2－ai＋1)＝(ai－4ai－3)(4ai＋3－2ai－1)＝(－3ai－3)(2ai＋2)＝－6(ai＋1)2≤0，故D错误．故选C. 16．在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解答． 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________，求数列{an}，{bn}的通项公式． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9，所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d. 联立 解得或(舍去)， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $