2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦等差数列核心知识，系统梳理通项公式、前n项和公式及性质，从基本量计算到最值问题、片段和关系等，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过分层题目设计，如求前n项和最小值、利用片段和性质求和等，培养学生数学思维中的推理能力与数学眼光中的抽象能力，解析详尽，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

1．在等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，其前n项和Sn取最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．5或6 解析：选D.由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.从而S5＝S6，均为最小值． 2．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 解析：选B.方法一：设数列{an}的公差为d，由题意得 解得 故S20＝20×(－10)＋×2＝180. 方法二：由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8， 由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26， 于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180. 3．(2024·河南焦作月考)一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为(　　) A. B．2 C. D. 解析：选D.设等差数列的公差为d，则由条件可知： 数列的奇数项之和为a1＋a3＋a5＋…＋a99＝30，① 偶数项之和为a2＋a4＋a6＋…＋a100＝80－30＝50，② 由②－①，得50d＝20，所以d＝，即该数列的公差为.故选D. 4．若数列{an}通项公式为an＝|n－13|，则满足ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝102的正整数k为(　　) A．2或5 B．5或15 C．5或28 D．28 解析：选A.由an＝|n－13|可知， 当k≥13时，ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝(k－13)＋(k－12)＋…＋(k＋6)＝20k－70＝102， 解得k＝，不符合题意，舍去； 当k＜13时，ak＋ak＋1＋…＋ak＋19＝(13－k)＋(12－k)＋…＋1＋0＋1＋…＋(k＋6) ＝0＋1＋…＋(12－k)＋(13－k)＋1＋…＋(k＋6)＝＋＝102， 即k2－7k＋10＝0，解得k＝2或k＝5，符合题意，可取．故选A. 5．(多选)(2024·广西桂林高二统考期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝9n－n2，则下列说法正确的是(　　) A．{an}是递减数列 B．a10＝－14 C．当n＞5时，an＜0 D．当n＝4或5时，Sn取得最大值 解析：选ACD.由数列{an}的前n项和为Sn＝9n－n2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋10， 又由a1＝S1＝8＝－2×1＋10，适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝－2n＋10， 对于A，由an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an， 所以数列{an}是递减数列，所以A正确； 对于B，a10＝－2×10＋10＝－10，所以B错误； 对于C，当n＞5时，an＝－2n＋10＜0，所以C正确； 对于D，因为Sn＝9n－n2的图象的对称轴为直线n＝，开口向下， 又因为n是正整数，所以当n＝4或5时，Sn取得最大值，所以D正确．故选ACD. 6．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则(　　) A．S6＝2S4－S2 B．S6＝3(S4－S2) C．S2n，S4n－S2n，S6n－S4n成等差数列 D.，，成等差数列 解析：选BCD.设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋. A选项，S6＝6a1＋15d，S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，所以2S4－S2＝6a1＋11d≠S6，A错误； B选项，3(S4－S2)＝6a1＋15d＝S6，B正确； C选项，S2n＝2na1＋n(2n－1)d＝2na1＋(2n2－n)d， S4n＝4na1＋2n(4n－1)d＝4na1＋(8n2－2n)d， S6n＝6na1＋3n(6n－1)d＝6na1＋(18n2－3n)d， S4n－S2n＝2na1＋(6n2－n)d， S6n－S4n＝2na1＋(10n2－n)d， 则S2n＋S6n－S4n＝4na1＋(12n2－2n)d＝2[2na1＋(6n2－n)d]＝2(S4n－S2n)，C正确； D选项，＝＝a1＋，＝＝a1＋d，＝＝a1＋d， 则＋＝2a1＋3d＝2×，D正确．故选BCD. 7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S40＝________． 解析：因为数列{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍然是等差数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列， 因为S10＝10，S20＝30， 所以2(S20－S10)＝S10＋S30－S20⇒S30＝60， 2(S30－S20)＝S40－S30＋S20－S10⇒S40＝100. 答案：100 8．若等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________． 解析：因为＝，且＝＝＝＝，由等差数列的性质得＝＝＝＝＝. 答案： 9．(2024·江西南昌期中)若当且仅当n＝6时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则数列{an}的通项公式可以是______________． (写出满足题意的一个通项公式即可) 解析：当且仅当n＝6时，等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值，由此可知该数列满足a6＞0，a7＜0，而an＝13－2n(n∈N＋)满足此条件． 答案：an＝13－2n(n∈N＋)(答案不唯一) 10．已知等差数列{an}(n∈N＋)，Sn为其前n项和，a1＝t，a4＝t－6，其中t∈R. (1)求a10及S10(用t表示)； (2)在S1，S2，…，Sn中，有且只有S8的值最大，求实数t的取值范围． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，a1＝t，a4＝t－6， 所以a4－a1＝－6＝3d，即d＝－2， 所以a10＝a1＋9d＝t－18，S10＝×10＝×10＝10t－90. (2)因为在S1，S2，…，Sn中，有且只有S8的值最大， 所以即解得14＜t＜16， 即实数t的取值范围为(14，16)． 11．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a2＝2，an＋1＋an＝3n，则(　　) A．a4＝5 B．S20＝300 C．S31＝720 D．n为奇数时，Sn＝ 解析：选ABD.由an＋1＋an＝3n，则an＋2＋an＋1＝3(n＋1)，两式作差，得an＋2－an＝3， a1＝1，当n为奇数，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an＝n－； a2＝2，当n为偶数，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an＝n－1； 所以a4＝a2＋3＝5，故A正确； S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝300，故B正确； S31＝(a1＋a3＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝＋＝721，故C错误； n为奇数时，Sn＝＋＝＋＝，故D正确．故选ABD. 12．已知等差数列{an}，满足a2 024＋a2 025<0，a2 024a2 025<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n＝(　　) A．4 047 B．4 046 C．4 048 D．4 045 解析：选A.因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以等差数列{an}是递减数列． 又a2 024＋a2 025<0，a2 024a2 025<0， 所以a2 024>0>a2 025， 即数列的前2 024项为正数，从第2 025项开始为负数， 由等差数列求和公式和其性质可知， S4 047＝(a1＋a4 047)＝4 047a2 024>0，S4 048＝(a1＋a4 048) ＝2 024(a2 024＋a2 025)<0， 所以当Sn取最小正值时，n＝4 047. 13．设数列{an}的前n项和为Sn，则同时满足条件①②的等差数列{an}的通项公式an＝______________．(写出一个即可) ①Sn存在最小值且最小值不等于a1； ②不存在正整数k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1<Sk＋2. 解析：若a1<0，a2<0，且数列{an}为递增数列，则满足条件①，又由条件②可得Sn连续两项取得最小值，即存在n∈N＋，使得an＝0.故an＝2n－10符合题意． 答案：2n－10(答案不唯一) 14．从①－＝－5，②S8＝S4－8，③a5＝1这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并作答． 问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＝9，且________，求数列{|an|}的前100项和T100. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选条件①， 设等差数列{an}的公差为d，则＝＝a1＋d， 因为－＝－5，所以d＝－5，所以d＝－2， 因为a1＝S1＝9，所以an＝9－2(n－1)＝11－2n. 当n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0， 所以T100＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a100|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－a6－…－a100＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a100) ＝2×(5×9－×2)－(100×9－×2)＝9 050. 若选条件②， 设等差数列{an}的公差为d，且a1＝S1＝9， 则S8＝S4－8可化为8×9＋d＝4×9＋d－8，解得d＝－2， 下同条件①. 若选条件③， 设等差数列{an}的公差为d，且a1＝S1＝9， 则d＝＝＝－2， 下同条件①. 15．若数列{an}满足－＝d(n∈N＋，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数列为调和数列，且x＋x＋x＋…＋x＝4 048，则x9＋x2 016的最大值为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：选C.由题意知，－＝x－x＝d(n∈N＋，d为常数)， 则{x}是等差数列， 所以x＋x＋x＋…＋x＝4 048＝， 即x＋x＝4＝x＋x， 又x＋x≥2x9x2 016，当且仅当x9＝x2 016时取等号， 所以(x9＋x2 016)2≤2(x＋x)＝8， 即x9＋x2 016≤2，当且仅当x9＝x2 016＝时取等号， 故x9＋x2 016的最大值为2.故选C. 16．已知公差非零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若满足a＝a3a7，S8＝32. (1)求S10； (2)数列{bn}为等差数列，b1＝a13，数列{bn}的公差为－4，数列{bn}的前n项和为Tn，Tn是否存在最大值或最小值？如果存在，求出最大值或最小值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)记等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 则 整理得 因为d≠0，解得 所以S10＝10a1＋d＝－30＋90＝60. (2)Tn存在最大值，无最小值．理由如下： 由(1)可知b1＝a13＝－3＋12×2＝21， 因为数列{bn}的公差为－4，所以Tn＝21n＋×(－4)＝－2n2＋23n. 又因为f(x)＝－2x2＋23x的图象的对称轴为直线x＝，且开口向下， 所以当n＝6时，Tn有最大值，最大值为T6＝－2×62＋23×6＝66，无最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $