1.1 数列的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学数列的概念及其函数特性，从生活实例引入数列概念，通过比较数列与集合的区别明确其定义，系统梳理数列的分类（有穷与无穷）及通项公式，构建从概念理解到通项公式归纳与应用的完整学习支架。 该资料以古埃及阶梯数字等实例培养数学眼光，通过思考问题引导分析数列规律发展数学思维，结合图形顶点数归纳等实例助于数学语言表达。课中辅助教师引导探究，课后通过变式训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

§1　数列的概念及其函数特性 1．1　数列的概念 1.利用生活中的具体实例感受数列的概念，通过比较数列与集合之间的区别，切实把握数列的概念及其表示方法．　2.掌握数列通项公式的概念及其应用． 观察以下几列数： ①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； ②战国时期庄周引用过一句话：一尺之捶，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…； ③从学号1开始，记下本班的每一个学生参加高考的时间：2 025，2 025，…，2 025； ④小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，…； ⑤－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：－，，－，，…. 思考1　你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 思考2　对于①③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于③，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}； 对于⑤，an＝，n∈N＋. 1．数列的概念及表示方式 (1)数列与数列的项 数列：按______________排列的一列数叫作数列． 数列的项：数列中的______________叫作这个数列的项． (2)数列的表示方式 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列________，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________． 2．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数________ 无穷数列 项数________ [答案自填] 一定次序　每一个数　{an} 首项　通项　有限　无限 【即时练】 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．数列4，7，3，4与数列4，3，7，4是同一数列 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．数列中的各项只能是数 解析：选AB.由数列的定义知，尽管组成数列4，7，3，4与数列4，3，7，4的数相同，但由于排列顺序不同，则表示不同的数列，故A说法错误；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B说法错误；由无穷数列的定义可知C说法正确；由数列的定义可知，D说法正确． 2．下列说法正确的是(　　) A．－4，5，2，，不是数列 B．数列{an}的前4项为1，2，3，4，则第5项一定是5 C．－1，1，3，5，…是数列 D．数列0，2，4，6，8，…是有穷数列 解析：选C.由数列的定义知，A说法错误，C说法正确；数列{an}只给出前4项，第5项不确定，故B说法错误；由无穷数列的定义可知，D说法错误．故选C. 3．下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①{0，1，2，3，4}；②0，1，2，3；③0，1，2，3，4，…；④1，－1，1，－1，1，－1，…；⑤6，6，6，6，6. 解：①是集合，不是数列；②③④⑤是数列，其中③④是无穷数列，②⑤是有穷数列． 数列概念的三个注意点 (1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别，同一个数在数列中可以重复出现，而集合中任意两个元素均不相同． (2)如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列． (3)无穷数列由于无法写出末项，结尾要用“…”表示．　 如果数列{an}的第n项____________与____________之间的______________可以用一个式子表示成________________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的____________． [答案自填] an　n　函数关系　an＝f(n)　解析式 角度1　由数列的前几项写数列的通项公式 　(对接教材例2)写出下面各数列的一个通项公式． (1)，3，，，3，…； (2)2，－，，－，，…； (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9，0.999 99，…； (4)0，－1，0，1，0，－1，0，1，…. 【解】　(1)数列可化为，，，，，…， 即， ， ， ， ，…. 每个根号里面可分解成两个数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝，n∈N＋. (2)使各项分子都为4，即，－，，－，，…，再给分母分别加1，又变为，－，，－，，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·，n∈N＋. (3)原数列可变形为1－，1－，1－，1－，1－，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－，n∈N＋. (4)由题意知，该数列为周期数列，且周期为4，因为cos ＝0，cos ＝－1，cos ＝0，cos ＝1，cos ＝cos ＝0，…，所以数列的一个通项公式为an＝cos ，n∈N＋. 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负项交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　 角度2　由图形信息归纳数列的通项公式 　如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n≥3)个图形中共有________个顶点． 【解析】　观察规律：第一个图形有32＋3＝(1＋2)2＋(1＋2)个顶点， 第二个图形有(2＋2)2＋(2＋2)＝42＋4个顶点， 第三个图形有(3＋2)2＋(3＋2)＝52＋5个顶点， ……，第n－2个图形有(n－2＋2)2＋(n－2＋2)＝n2＋n个顶点． 【答案】　n2＋n 根据图形探究数列通项公式的步骤 首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后归纳、猜想出通项公式得解．　 [跟踪训练1] (1)(2024·河南焦作高二期中)根据下面的图形及相应的点数，则下列点数构成数列的第5项为(　　) A．32 B．35 C．36 D．42 解析：选B.由题意，a1＝1，a2＝5，a3＝12，a4＝22， 所以a2－a1＝4，a3－a2＝7，a4－a3＝10，根据规律，a5－a4＝13，所以a5＝13＋22＝35.故选B. (2)写出下面各数列的一个通项公式． ①－，，－，，…； ②，，，，…； ③7，77，777，7 777，…. 解：①这个数列前4项的绝对值的分母都是序号乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. ②这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. ③这个数列的前4项可以变为×9，×99，×999，×9 999， 即×(10－1)，×(100－1)，×(1 000－1)，×(10 000－1)， 即×(10－1)，×(102－1)，×(103－1)，×(104－1)， 所以它的一个通项公式为an＝(10n－1)，n∈N＋. 　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n(n∈N＋)． (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)－49与68是否是该数列中的项？如果是，分别是哪一项；如果不是，请说明理由． 【解】　(1)a4＝3×42－28×4＝－64. a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49(n∈N＋)， 得n＝7或n＝(舍去)， 所以－49是该数列中的项，是第7项． 由3n2－28n＝68(n∈N＋)， 得n＝－2或n＝，均不符合题意， 所以68不是该数列中的项． 【变式探究】 (设问变式)在本例中，数列{an}中有多少个负数项？ 解：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 令an<0，则0<n<. 又n∈N＋，所以n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9， 即数列{an}中有9个负数项． 通项公式应用的常见题型及其解法 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列中的项的方法 先假设它是数列{an}中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则它是该数列中的项；若方程无解或解不是正整数，则它不是该数列中的项．　 [跟踪训练2] 已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N＋. (1)求a10； (2)是不是这个数列中的项？ (3)这个数列中有多少项是整数？ (4)该数列中是否有等于项数的项？若有，求出该项；若没有，说明理由． 解：(1)a10＝＝. (2)令＝，得n＝100，故是这个数列中的项． (3)易知an＝1＋，若an是整数，则n＝1，2，3，6，故这个数列中有4项是整数． (4)令＝n，得n2－n－6＝0， 解得n＝3或n＝－2(舍去)． 故该数列中有等于项数的项，该项为a3＝3. 1．(教材P5T4改编)数列1，，，，，…的一个通项公式是(　　) A. B. C. D. 解析：选B.数列1，，，，，…的分子都是1，分母依次为1，3，5，7，9，…，则第n项的分母为2n－1，所以数列1，，，，，…的一个通项公式是.故选B. 2．(多选)(2024·河南南阳月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则下列是该数列中的项的是(　　) A．18 B．12 C．25 D．30 解析：选BD.因为an＝n2＋n，所以n越大，an越大． 当n＝3时，a3＝32＋3＝12；当n＝4时，a4＝42＋4＝20；当n＝5时，a5＝52＋5＝30；当n＝6时，a6＝62＋6＝42.故选BD. 3．(教材P7习题1－1A组T1改编)如图所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则按图中结构排列的第n个图的化学键和原子的个数之和为__________．(用含n的代数式表示) 解析：由题图，第1个图中有6个化学键和6个原子； 第2个图中有11个化学键和10个原子； 第3个图中有16个化学键和14个原子， 观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子， 则第n个图有6＋5(n－1)＝5n＋1个化学键和6＋4(n－1)＝4n＋2个原子，所以总数为9n＋3. 答案：9n＋3 4．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数． (1)求{an}的通项公式； (2)判断88是不是数列{an}中的项？ 解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则解得 所以an＝4n－2，n∈N＋. (2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N＋， 所以88不是数列{an}中的项． 1．已学习：数列及其有关的概念、数列的分类、数列的通项公式及应用． 2．须贯通：由数列的前几项或图形的信息写出数列的通项公式、通项公式的应用． 3．应注意：(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面； (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．　 学科网（北京）股份有限公司 $