7.1 实际问题中导数的意义-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦“导数的应用”，核心内容涵盖导数在物理学、经济活动及实际生活中的意义，通过“低碳生活中汽车油耗效率”等现实问题导入，搭建从导数概念到实际应用的学习支架，衔接导数本质理解与多领域应用。 其亮点在于以跨学科实例（如物理中的速度加速度、经济中的边际成本）为载体，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言表达实际意义的核心素养。采用例题解析、变式探究及跟踪训练结合的教学方法，课堂小结系统梳理知识，助力学生构建应用体系，也为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。

§7　导数的应用 7．1　实际问题中导数的意义 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 思考　低碳生活(low carbon living)，就是指在生活中要尽力减少所消耗的能量，特别是二氧化碳的排放量，从而减少对大气的污染，减缓生态恶化．现实生活中，我们都希望自己的汽车燃烧最少的油，跑最多的路，那么当汽车行驶的路程一定时，使汽油的使用效率最高表示的是什么意义？   提示：汽油的使用效率最高，是指平均每千米路程的汽油消耗最少或平均每升汽油能使汽车行驶的路程最长． 新知学习 探究 返回导航 一　导数在物理学中的应用 　 (对接教材例1)一辆正在加速行驶的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h，如下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s.时间单位为s. 时间t/s 0 1 2 3 4 5 速度v(m/s) 0 9 15 21 23 25 新知学习 探究 返回导航 (1)分别计算当t从0 s变到1 s，从3 s变到5 s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义； 新知学习 探究 返回导航 (2)根据上面的数据可以得到速度v关于时间t的函数，可近似地表示为v＝f(t)＝ －t2＋10 t．求f′(1)，并解释它的实际意义． 【解】　因为f(t)＝－t2＋10t， 所以f′(t)＝－2t＋10， 所以f′(1)＝8 m/s2，其实际意义是在t＝1 s 这一时刻，每经过1 s汽车的速度增加8 m/s.即t＝1 s时汽车的加速度为8 m/s2. 新知学习 探究 返回导航 导数在物理学中的应用 (1)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度． (2)功与功率：通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数． (3)线密度：单位长度的物质的质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 通过某导体横截面的电量q(单位：C)关于时间t(单位：s)的函数关系式为 q(t)＝2t3＋3t. (1)求当t从1 s变到5 s时，电量q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； 新知学习 探究 返回导航 (2)求q′(5)，并解释它的实际意义． 解：因为q′(t)＝6t2＋3， 所以q′(5)＝6×52＋3＝153(C/s)， 它表示在t＝5 s时，每秒通过该导体横截面的电量为153 C，即电流强度为153 C/s. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本(生产成本关于产量的函数的导函数为边际成本)，并说明其实际意义． 新知学习 探究 返回导航 在生活和生产及科研中经常遇到成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求c′(200)，并解释它代表什么实际意义？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义． 新知学习 探究 返回导航 解决实际问题的一般步骤 (1)审题：阅读文字理解表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解． (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)求f′(1)，f′(4)，并解释它们的实际意义． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示(　　) A．t＝10时的瞬时降雨强度 B．t＝10时的降雨量 C．t＝10时的时间 D．t＝10时的温度 解析：f′(t)表示t时刻的瞬时降雨强度．故选A. √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100 m/s，则熄火后________ s火箭的速度变为零．(g取10 m/s2) 10 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 (2)当t＝3 s时，求运动员的滑雪速度； 课堂巩固 自测 返回导航 (3)当运动员的滑雪路程为38 m时，求此时的滑雪速度． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：导数在物理学中的应用、导数在经济活动中的应用、导数在实际生活中的应用． 2．须贯通：导数在实际生活中的应用． 3．应注意：忽略实际问题的定义域．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.了解导数概念的实际背景，领悟导数的本质．　2.能用导数解释一些实际问题，加强对导数概念的理解． 【解】　当t从0 s变到1 s时， eq \f(Δv,Δt) ＝ eq \f(9－0,1－0) ＝9(m/s2)，所以速度v关于时间t的平均变化率为9 m/s2. 当t从3 s变到5 s时， eq \f(Δv,Δt) ＝ eq \f(25－21,5－3) ＝2(m/s2)，所以速度v关于时间t的平均变化率为2 m/s2. 它们分别表示在相应的时间段内，每经过1 s，速度增加9 m/s和2 m/s，也就是加速度分别为9 m/s2和2 m/s2. 解：当t从1 s变到5 s时，电量q从5 C变到265 C，此时电量q关于时间t的平均变化率为 eq \f(q（5）－q（1）,5－1) ＝ eq \f(265－5,5－1) ＝65(C/s)，它表示从1 s到5 s这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C. eq \a\vs4\al(二　导数在经济活动中的应用) 　(对接教材例3)某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(单位：元)与日产量x(单位：件)的函数关系为y＝C(x)＝ eq \f(1,4) x2＋60x＋2 050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本关于日产量x的平均变化率，并说明其实际意义． 【解】　当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)＝2 675元变到C(20)＝3 350 元． 此时总成本关于日产量x的平均变化率为 eq \f(C（20）－C（10）,20－10) ＝67.5(元/件)， 其表示日产量从10件提高到20件时，平均每件产品的总成本的改变量为67.5元． 解：因为C′(x)＝ eq \f(1,2) x＋60， 所以C′(75)＝ eq \f(1,2) ×75＋60＝97.5(元/件)， C′(75)表示当日产量为75件时，成本增加的速度为97.5元/件，保持这一增速，当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． [跟踪训练2] 某厂生产某种产品x(单位：件)的总成本为c(x)＝120＋ eq \f(x,10) ＋ eq \f(x2,100) (单位：元). (1)当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到 c(220)＝626元． 此时总成本c关于产量x的平均变化率为 eq \f(c（220）－c（200）,220－200) ＝ eq \f(86,20) ＝4.3(元/件)， 它表示当产量x从200件变化到220件时，平均每件的成本增加4.3元． 解：c′(x)＝ eq \f(1,10) ＋ eq \f(x,50) ， 于是c′(200)＝ eq \f(1,10) ＋4＝4.1(元/件). c′(200)表示当产量为200件时，成本增加的速度为4.1元/件，也就是说，保持这一增速，当产量为200件时，每多生产一件产品，需增加4.1元的成本． eq \a\vs4\al(三　导数在实际生活中的应用) 　(对接教材例2)某年高考，某考生在参加数学学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：min)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2 eq \r(x) . (1)求x从0 min变化到36 min时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义； 【解】　x从0 min变化到36 min时，y关于x的平均变化率为 eq \f(f（36）－f（0）,36－0) ＝ eq \f(12,36) ＝ eq \f(1,3) (道/min).它表示该考生前36分钟平均每分钟解答 eq \f(1,3) 道题． 【解】　因为f′(x)＝ eq \f(1,\r(x)) ，所以f′(64)＝ eq \f(1,8) (道/min)， f′(100)＝ eq \f(1,10) (道/min). 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答 eq \f(1,8) 和 eq \f(1,10) 道题． [跟踪训练3] 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝ eq \f(x2,20) ＋4 eq \r(x) . (1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； 解：当x从1 h变到4 h时， y从f(1)＝ eq \f(81,20) g变到f(4)＝ eq \f(176,20) g，此时平均变化率为 eq \f(f（4）－f（1）,4－1) ＝ eq \f(\f(176,20)－\f(81,20),3) ＝ eq \f(19,12) (g/h)， 它表示从1 h到4 h这段时间内这个工人平均每小时生产 eq \f(19,12) g产品． 解：f′(x)＝ eq \f(x,10) ＋ eq \f(2,\r(x)) ，于是f′(1)＝ eq \f(21,10) (g/h)，f′(4)＝ eq \f(7,5) (g/h)，分别表示在第1小时和第4小时这个工人每小时生产产品的质量为 eq \f(21,10) g和 eq \f(7,5) g． 2．(2024·广西桂林月考)已知某个车轮旋转的角度α(单位：弧度)与时间t(单位：s)的函数关系是α＝ eq \f(2π,0.64) t2(t≥0)，则车轮启动后1.6 s时的瞬时速度为(　　) A．20π弧度/s B．10π弧度/s C．8π弧度/s D．5π弧度/s 解析：因为α＝ eq \f(2π,0.64) t2，所以α′＝ eq \f(πt,0.16) ，所以车轮启动后1.6 s时的瞬时速度为 eq \f(π,0.16) ×1.6＝10π(弧度/s).故选B. 解析：由已知，得火箭的运动方程为 h(t)＝100t－ eq \f(1,2) gt2， 则h′(t)＝100－gt. 令h′(t)＝0，即100－gt＝0， 所以t＝ eq \f(100,g) ＝10(s). 即熄火后10 s火箭的速度变为零． 4．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式l(t)＝2t2＋ eq \f(3,2) t. (1)求l关于t的导数，并解释它的实际意义； 解：由已知得l′(t)＝4t＋ eq \f(3,2) ，它的实际意义是滑雪时在t时刻的瞬时速度． 解：因为l′(t)＝4t＋ eq \f(3,2) ， 所以l′(3)＝4×3＋ eq \f(3,2) ＝ eq \f(27,2) (m/s)， 所以运动员在3 s时的滑雪速度是 eq \f(27,2) m/s. 解：由题意得2t2＋ eq \f(3,2) t＝38，解得t＝4或t＝－ eq \f(19,4) (舍去)， 因为l′(t)＝4t＋ eq \f(3,2) ，所以l′(4)＝4×4＋ eq \f(3,2) ＝ eq \f(35,2) (m/s)，所以当运动员的滑雪路程为38 m时，滑雪速度为 eq \f(35,2) m/s. $