5 简单复合函数的求导法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦简单复合函数的求导法则，通过网购拆包装的生活情境导入，类比引出复合函数结构，衔接基本初等函数求导知识，以分层、求导、相乘、回代的步骤为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于情境化设计与结构化教学，用生活实例培养数学眼光，分步推导链式法则发展数学思维，结合汽水温度变化率问题强化数学语言表达。例题典型且小结清晰，能激发学生兴趣，助力教师高效开展教学。

§5　简单复合函数的求导法则 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数． 思考1　函数y＝ln (x＋2)的结构特征是什么？ 提示：令u＝x＋2，则y＝ln u，因此y＝ln (x＋2)可看成是由u＝x＋2和y＝ln u 复合而成的． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 复合 f(φ(x)) 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 解析：A是两个函数的乘积，不是复合函数； B，C，D都是复合函数． 新知学习 探究 返回导航 2．若将函数y＝sin (2x－1)看成复合函数y＝f(φ(x))，则下列式子中正确的是(　　) A．φ(x)＝2x B．φ(x)＝sin x C．φ(x)＝2x－1 D．φ(x)＝sin (2x－1) 解析：y＝sin (2x－1)是由函数y＝sin u 和u＝2x－1复合而成，可得φ(x)＝2x－1. √ 新知学习 探究 返回导航 3．指出下列函数的复合关系． (1)y＝(a＋bx)5； 解：对于y＝(a＋bx)5，由y＝u5，u＝a＋bx复合而成． 新知学习 探究 返回导航 (3)y＝3log2(x2－2x＋3)； 解：对于y＝3log2(x2－2x＋3)，由y＝3log2u，u＝x2－2x＋3复合而成． 新知学习 探究 返回导航 划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项 (1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数． (2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系． (3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内．　 新知学习 探究 返回导航 f′(u)φ′(x) 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例1、例2)求下列函数的导数： (1)y＝(4－3x)2； 【解】　设y＝u2，u＝4－3x， 则y′u＝2u，u′x＝－3， 于是y′x＝y′u·u′x＝－6(4－3x)＝18x－24， 即y′＝18x－24. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)y＝ln (4x－1)； 新知学习 探究 返回导航 (4)y＝e3x＋2. 【解】设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′u＝eu，u′x＝3， 于是y′x＝y′u·u′x＝3e3x＋2， 即y′＝3e3x＋2. 新知学习 探究 返回导航 求复合函数的导数的步骤 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)y＝5log2(1－x)； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【解】　由x＝4＋16e－2t，求导得x′＝－32e－2t ， 所以x′(1)＝x′|t＝1＝－32e－2，在第1 h时，汽水温度的瞬时变化率为 －32e－2 ℃/h， 说明在第1 h附近，汽水温度大约以32e－2℃/h的速率下降． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现了导数揭示物体在某时刻的变化状况．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：A中的函数是一个多项式函数； 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(2)＝________． 课堂巩固 自测 返回导航 4．曲线f(x)＝ln (1＋x)＋sin x＋2在点(0，f(0))处的切线方程为__________________． 2x－y＋2＝0 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则、复合函数的导数的应用． 2．须贯通：应用复合函数的求导法则准确求导． 3．应注意：(1)求复合函数的导数时不能正确分解函数； (2)求导时不能分清是对哪个变量求导； (3)计算结果复杂化．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.在学习过程中理解“复合”的意义，能够正确地将复合函数分解为两个(或多个)简单函数．　2.对复合函数求导时，应明确各步是对哪个变量求导，最后还应将中间变量转化为自变量． 思考2　请利用导数的除法法则求出函数y＝ eq \f(1,（2x－1）3) 的导数，若将函数y＝ eq \f(1,（2x－1）3) 看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，分别求出y＝u－3和u＝2x－1的导数，观察y′x与y′u·u′x有何关系？ 提示：可求得函数y＝ eq \f(1,（2x－1）3) 的导数为y′x＝－ eq \f(6,（2x－1）4) ，函数y＝ u－3的导数为y′u＝－3u－4，函数u＝2x－1的导数为u′x＝2，y′u·u′x＝－6u－4＝－6·(2x－1)－4＝－ eq \f(6,（2x－1）4) ＝y′x. eq \a\vs4\al(一　复合函数的概念) 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的 eq \o(□,\s\up1(1)) ________函数，记作y＝ eq \o(□,\s\up1(2)) __________，其中u为中间变量． 【即时练】 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝x ln x B．y＝(3x＋6)2 C．y＝ecos x D．y＝sin ( eq \f(1,2) x＋ eq \f(π,3) ) (2)y＝ln eq \r(3,ex＋2) ； 解：对于y＝ln eq \r(3,ex＋2) ，由y＝ln u，u＝υ eq \s\up6(\f(1,3)) ，υ＝ex＋2复合而成． (4)y＝sin3(x＋ eq \f(1,x) ). 解：对于y＝sin3(x＋ eq \f(1,x) )，由y＝u3，u＝sinυ，υ＝x＋ eq \f(1,x) 复合而成． eq \a\vs4\al(二　复合函数的求导法则) 复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝________________，其中u＝φ(x). (2)y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) ； 【解】设y＝cos u，u＝2x－ eq \f(π,4) ， 则y′u＝－sin u，u′x＝2， 于是y′x＝y′u·u′x＝－2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) ， 即y′＝－2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) . 【解】设y＝ln u，u＝4x－1， 则y′u＝ eq \f(1,u) ，u′x＝4， 于是y′x＝y′u·u′x＝ eq \f(4,4x－1) ， 即y′＝ eq \f(4,4x－1) . [跟踪训练1]　 求下列函数的导数： (1)y＝ eq \f(1,\r(1－2x)) ； 解：y＝(1－2x)－eq \s\up6(\f(1,2))， 设y＝u－eq \s\up6(\f(1,2))，u＝1－2x， 则y′x＝(u－eq \s\up6(\f(1,2)))′(1－2x)′＝\up6(\f(3,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)u－)) ·(－2)＝(1－2x)－eq \s\up6(\f(3,2)). 解：设y＝5log2u，u＝1－x， 所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝ eq \f(－5,u ln 2) ＝ eq \f(5,（x－1）ln 2) . (3)y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) ； 解：设y＝sin u，u＝4x＋ eq \f(π,6) ， 则y′x＝(sin u)′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) ′＝cos u·4＝4cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))) . (4)y＝ eq \r(4,\f(1,3x＋1)) . 解：y＝(3x＋1)－eq \s\up6(\f(1,4))，设y＝u－eq \s\up6(\f(1,4))，u＝3x＋1，则y′x＝(u－eq \s\up6(\f(1,4)))′(3x＋1)′＝－eq \f(1,4)u－eq \s\up6(\f(5,4))·3＝－eq \f(1,4)(3x＋1) －eq \s\up6(\f(5,4))·3＝－eq \f(3,4)(3x＋1) －eq \s\up6(\f(5,4)). eq \a\vs4\al(三　复合函数的导数的应用) 　已知一罐汽水放入冰箱后的温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)满足函数关系x＝4＋16e－2t. (1)求x′(1)，并解释其实际意义； (2)已知摄氏度x与华氏度y(单位：)满足函数关系x＝ eq \f(5,9) (y－32)，求y关于t的导数，并解释其实际意义． 【解】　依题意，y＝ eq \f(9,5) x＋32＝ eq \f(9,5) (4＋16e－2t)＋32＝ eq \f(144,5) e－2t＋ eq \f(196,5) ，求导得y′＝－ eq \f(288,5) e－2t， 所以y关于t的导数为y′＝－ eq \f(288,5) e－2t，在第t h时，汽水温度的瞬时变化率为 － eq \f(288,5) e－2t /h， 说明在第t h附近，汽水温度大约以 eq \f(288,5) e－2t /h的速率下降． [跟踪训练2] 已知某港口一天内潮水的深度y(单位：m)与时间t(单位：h)近似满足函数关系y＝3sin ( eq \f(π,12) t＋ eq \f(5π,6) )，0≤t≤24.分别求上午6时与下午6时潮水涨(落)的速度． 解：由题意可得y′＝3cos ( eq \f(π,12) t＋ eq \f(5π,6) )· eq \f(π,12) ＝ eq \f(π,4) cos ( eq \f(π,12) t＋ eq \f(5π,6) )， 上午6时，即t＝6，y′|t＝6＝ eq \f(π,4) cos ( eq \f(π,12) ×6＋ eq \f(5π,6) )＝－ eq \f(π,4) cos eq \f(π,3) ＝－ eq \f(π,8) ， 即上午6时落潮速度为 eq \f(π,8) m/h. 下午6时，即t＝18，y′|t＝18＝ eq \f(π,4) cos ( eq \f(π,12) ×18＋ eq \f(5π,6) ) ＝ eq \f(π,4) cos eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,8) ， 即下午6时涨潮速度为 eq \f(π,8) m/h. 1．(多选)下列函数是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－ eq \f(1,x) ＋1 B．y＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) C．y＝ eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4 B中的函数可看作函数u＝x＋ eq \f(π,4) ，y＝cos u的复合函数； C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝ eq \f(1,u) 的复合函数； D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．故选BCD. 2．某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的关系可近似地表示为y＝f(t)＝ eq \r(10（t－1）) ，则在时刻t＝41 min的降雨强度为(　　) A．2 mm/min B．4 mm/min C． eq \f(1,2) mm/min D． eq \f(1,4) mm/min 解析：f′(t)＝ eq \f(1,2\r(10（t－1）)) ·[10(t－1)]′＝ eq \f(\r(10),2\r(t－1)) ，所以f′(41)＝ eq \f(\r(10),2\r(40)) ＝ eq \f(1,4) ，故在时刻t＝41 min的降雨强度为 eq \f(1,4) mm/min.故选D. eq \f(2,3ln 3) 解析：因为f′(x)＝[log3(2x－1)]′＝ eq \f(1,（2x－1）ln 3) (2x－1)′＝ eq \f(2,（2x－1）ln 3) ， 所以f′(2)＝ eq \f(2,3ln 3) . 解析：函数f(x)的导函数为f′(x)＝ eq \f(1,1＋x) ＋cos x，则f′(0)＝2，故切线斜率为2，又 f(0)＝2，所以切线方程为y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0. $