4.2 导数的乘法与除法法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦导数的乘法与除法法则，通过具体函数实例（如f(x)=x³与g(x)=x²）引导学生验证导数运算特殊性，从“[f(x)g(x)]'是否等于f'(x)g'(x)”等问题出发，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接基本初等函数导数公式，构建完整的导数运算知识脉络。 其亮点在于以问题探究为核心，通过“思考-推导-应用”逻辑培养数学思维与探究能力。例如推导乘法法则时，从特殊函数归纳一般规律，体现“用数学眼光观察现实世界”；例题涵盖多项式、指数、对数等多种函数类型，提供展开求导与直接用法则的对比解法，深化法则理解，提升运算与推理能力。课堂小结梳理要点与易错点，便于教师把握重点，学生能逐步形成用数学语言表达和解决问题的能力。

4．2　导数的乘法与除法法则 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 新知学习 探究 返回导航 思考2　能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)g(x)的导数？如何表示？对于其他函数还满足上述关系吗？ 提示：能，因为[f(x)g(x)]′＝5x4＝3x4＋2x4＝3x2·x2＋x3·2x＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)，所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，对于其他函数也满足． 新知学习 探究 返回导航 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例3、例4)求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； 【解】　方法一：可以先展开后再求导： y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， 所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3. 方法二：可以利用导数的乘法法则进行求导： y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1) ＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (3)y＝3xex－2x＋e； 【解】　根据求导法则进行求导可得： y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－2xln 2 ＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2 ＝(3e)xln 3e－2xln 2. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 应用导数运算法则求函数的导数的技巧 (1)化简：利用三角恒等变换简化求导过程．求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又减少出错． (2)变形：利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导． (3)展开：在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导． [注意]　一般来说，对同一函数求导，用积的形式求导比用商的形式求导简单．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)y＝x2(ln x＋sin x)； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)(2024·江西高二期末)若函数f(x)＝ax2＋bcos x＋c满足f′(2 024)＝2，则 f′(－2 024)＝________． 【解析】　f′(x)＝2ax－bsin x，易知f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)为奇函数， 则f′(－2 024)＝－2. －2 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 应用导数的四则运算法则求值的方法 (1)求给定函数在某点处的导数值，通常先求其导数，再求导数值． (2)当函数解析式中含有待定导数值或字母参数时，常通过构建方程(组)，确定待定导数值或参数值，再求导数值． (3)如果函数解析式中含多个字母参数而无法确定时，可根据式子的结构特征进行整体代入求值，或借助导函数的奇偶性求解．　 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知曲线f(x)＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 √ 新知学习 探究 返回导航 解决与导数几何意义有关问题的一般思路 (1)利用导数四则运算法则对函数f(x)正确求导，得f′(x)． (2)正确运用导数的几何意义，分清已知点是切点还是切线过的点．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] (1)曲线f(x)＝exsin x＋1在x＝π处的切线在y轴上的截距为________． 解析：因为f(x)＝exsin x＋1，所以f′(x)＝exsin x＋excos x，所以f′(π)＝－eπ，又f(π)＝1，所以 f(x)在x＝π处的切线方程为y－1＝－eπ(x－π)，令x＝0，则y＝1＋πeπ，即曲线f(x)＝exsin x＋1在x＝π处的切线在y轴上的截距为1＋πeπ. 1＋πeπ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 ②若a＝3，求曲线f(x)在x＝4处的切线方程． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2．已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝(　　) A．1 B．2 C．e D．2e √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)＝____________________. 解析：因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以 f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6. －6 课堂巩固 自测 返回导航 4．分别求下列函数的导数． (1)y＝x·sin x·ln x； 课堂巩固 自测 返回导航 (2)y＝x3ex； 解：y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(3＋x)． (3)y＝xtan x. 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：导数的乘法与除法法则、综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 2．须贯通：利用求导法则求切线方程． 3．应注意：对于乘法法则与除法法则不熟练致错．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的乘法、除法法则，求简单函数的导数．　2.进一步体会导数四则运算和导数的几何意义． 思考1　若函数f(x)＝x3，g(x)＝x2，那么[f(x)g(x)]′＝f′(x)g′(x)成立吗？eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）,g′（x）)成立吗？ 提示：不成立．因为f(x)g(x)＝x5，所以[f(x)g(x)]′＝5x4，而f′(x)g′(x)＝3x2·2x＝6x3，所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)·g′(x)，而eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝(x)′＝1≠eq \f(f′（x）,g′（x）)＝eq \f(3,2)x. eq \a\vs4\al(一　导数的乘法与除法法则) 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则 [f(x)g(x)]′＝eq \o(□,\s\up1(1))________________， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）))) eq \s\up12(′)＝eq \o(□,\s\up1(2))__________________________________，g(x)≠0. 特别地，[kf(x)]′＝eq \o(□,\s\up1(3))______________，k∈R. eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,g2（x）) (2)y＝eq \f(x2－x＋1,x2＋x＋1)； 【解】　把函数的解析式整理变形可得： y＝eq \f(x2－x＋1,x2＋x＋1)＝eq \f(x2＋x＋1－2x,x2＋x＋1) ＝1－eq \f(2x,x2＋x＋1)， 所以y′＝－eq \f(2（x2＋x＋1）－2x（2x＋1）,（x2＋x＋1）2) ＝eq \f(2x2－2,（x2＋x＋1）2). (4)y＝eq \f(ln x,x2＋1). 【解】　利用导数的除法法则进行求导可得： y′＝eq \f(（ln x）′（x2＋1）－ln x·（x2＋1）′,（x2＋1）2) ＝eq \f(\f(1,x)（x2＋1）－ln x·2x,（x2＋1）2) ＝eq \f(x2（1－2ln x）＋1,x（x2＋1）2). [跟踪训练1] 求下列函数的导数： (1)f(x)＝(x2＋9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))； 解：f(x)＝x3＋6x－eq \f(27,x)， f′(x)＝3x2＋eq \f(27,x2)＋6. 解：y′＝2x(ln x＋sin x)＋x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋cos x)) ＝x＋2xln x＋2xsin x＋x2cos x. (3)f(x)＝eq \f(sin x,xn)； 解：f′(x)＝eq \f(（sin x）′xn－sin x·（xn）′,（xn）2) ＝eq \f(xncos x－nxn－1sin x,x2n) ＝eq \f(xcos x－nsin x,xn＋1). (4)y＝eq \f(cos x－x,x2)＋eq \f(ex＋1,ex－1). 解：y′＝eq \f(（－sin x－1）x2－（cos x－x）·2x,x4)＋eq \f(ex（ex－1）－（ex＋1）ex,（ex－1）2) ＝－eq \f(xsin x＋2cos x－x,x3)－eq \f(2ex,（ex－1）2). eq \a\vs4\al(二　导数求导法则的应用) 角度1　利用求导法则求值 　(1)(2024·陕西阶段练习)已知函数y＝f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋sin x，则 f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝(　　) A.eq \f(3,6－4π) B.eq \f(3,6－2π) C.eq \f(3,6＋4π) D.eq \f(3,6＋2π) 【解析】　因为f(x)＝x2·f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＋sin x，所以f′(x)＝2f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))x＋cos x， 所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))×eq \f(π,3)＋cos eq \f(π,3)，解得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq \f(3,6－4π). 角度2　利用求导法则求参数 　(1)已知函数f(x)＝eq \f(ax,x2＋3)，若f′(1)＝eq \f(1,2) ，则实数a的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】　因为f(x)＝eq \f(ax,x2＋3)， 所以f′(x)＝eq \f(a（x2＋3）－2ax2,（x2＋3）2)＝eq \f(3a－ax2,（x2＋3）2). 因为f′(1)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(3a－a,42)＝eq \f(1,2)，解得a＝4. (2)(2024·河南南阳期末)已知函数f(x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋ax，a∈R.若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线y＝2平行，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 【解析】　因为f(x)＝eq \f(2,x)＋aln x＋ax，所以 f′(x)＝－eq \f(2,x2)＋eq \f(a,x)＋a，因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线y＝2平行，所以f′(1)＝0，即－2＋a＋a＝0，解得a＝1. [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝eq \f(sin x,x)，则 f′(π)＋f′(－π)＝(　　) A．－2 B．2 C．－eq \f(2,π) D．0 解析：因为f(x)＝eq \f(sin x,x)，所以f′(x)＝eq \f(xcos x－sin x,x2)，所以 f′(π)＋f′(－π)＝eq \f(πcos π－sin π,π2)＋eq \f(－πcos（－π）－sin（－π）,（－π）2)＝eq \f(－π,π2)＋eq \f(π,π2)＝0.故选D. (2)已知函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　) A．－eq \f(1,e) B．－1 C．1 D．e 解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x得f′(x)＝2f′(e)＋eq \f(1,x)，当x＝e时，f′(e)＝2f′(e)＋eq \f(1,e)，解得f′(e)＝－eq \f(1,e)，所以 f(x)＝eq \f(－2x,e)＋ln x，f(e)＝eq \f(－2e,e)＋ln e＝－1.故选B. (3)若函数f(x)＝eq \f(ex,x)在x＝a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为________． eq \f(1,2) 解析：因为f(x)＝eq \f(ex,x)，所以f(a)＝eq \f(ea,a)，又因为f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq \f(xex－ex,x2)，所以 f′(a)＝eq \f(aea－ea,a2). 由题意知f(a)＋f′(a)＝0，所以eq \f(ea,a)＋eq \f(aea－ea,a2)＝0，所以2a－1＝0，所以a＝eq \f(1,2). eq \a\vs4\al(三　利用求导法则求切线方程) 　(1)曲线f(x)＝eq \f(sin x,sin x＋cos x)－eq \f(1,2)在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为(　　) A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2) 【解析】　因为f′(x)＝ eq \f(cos x（sin x＋cos x）－sin x（cos x－sin x）,（sin x＋cos x）2) ＝eq \f(1,（sin x＋cos x）2)，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq \f(1,2)， 故曲线在点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为eq \f(1,2). 【解析】　因为f′(x)＝aex＋ln x＋1，所以f′(1)＝ae＋1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝e－1，,b＝－1.)) (2)已知a为实数，函数f(x)＝eq \r(x)(x－a)． ①若f′(1)＝0，求实数a的值； 解：函数的定义域为[0，＋∞)，f′(x)＝eq \r(x)＋eq \f(x－a,2\r(x))＝eq \f(3x－a,2\r(x))(x>0)， 因为f′(1)＝0，解得a＝3. 解：若a＝3，则f(x)＝eq \r(x)(x－3)，f′(x)＝eq \f(3x－3,2\r(x))， f′(4)＝eq \f(9,4)，f(4)＝2. 所以曲线f(x)在x＝4处的切线方程为y－2＝eq \f(9,4)(x－4)，即9x－4y－28＝0. 1．(教材P72T2改编)函数f(x)＝eq \f(cos x,1＋x)的图象在(0，1)处的切线方程是(　　) A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 解析：因为f′(x)＝eq \f(－sin x·（1＋x）－cos x,（1＋x）2)，所以f′(0)＝－1，所以切线方程为y－1＝－(x－0)，即x＋y－1＝0.故选A. 解析：由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线的斜率为k＝2e.由y＝aln x＋2，得y′＝eq \f(a,x)，所以该曲线在点(1，2)处的切线的斜率为k＝a.因为两切线平行，所以a＝2e.故选D. 解：y′＝(x·sin x·ln x)′＝[(x·ln x)·sin x]′ ＝(x·ln x)′·sin x＋(x·ln x)·(sin x)′ ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·ln x＋x·\f(1,x)))·sin x＋(x·ln x)·cos x ＝sin x＋ln x·sin x＋x·ln x·cos x. 解：y′＝(xtan x)′＝(eq \f(xsin x,cos x))′ ＝eq \f(（xsin x）′cos x－xsin x（cos x）′,cos2x) ＝eq \f(（sin x＋xcos x）cos x＋xsin2x,cos2x) ＝eq \f(sin xcos x＋x,cos2x). $