1.4数列在日常经济生活中的应用课件-2024-2025学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列在日常经济生活中的应用，以“压岁钱存款收益最大化”问题导入，通过零存整取、定期自动转存、分期付款模型，搭建从等差等比数列知识到经济问题解决的学习支架。 其亮点在于以生活化情境激发兴趣，通过“牛刀小试”“头脑风暴”引导学生用数学思维推导公式、分析复利问题，用数学语言表达经济现象中的数量关系，培养数学眼光与应用意识。实例丰富如零存整取公式推导，助力学生提升实践能力，为教师提供生动教学案例。

数列在日常经济 生活中的应用 北京师范大学出版社 数学 高二选择性必修二 单位：江西省万载中学 教师：熊祥 同学们过年收到压岁钱，怎样让压岁钱存款收益最大化？ 2 零存整取 定期自动转存 3 01 零存整取模型 知识讲解 （1）银行的零存整取储蓄业务，即每月定期存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和（以下简称本利和），这是整取。 现在有一年、三年、五年3中，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%。 存期 年利率（%） 一年 1.35 三年 1.55 五年 1.55 P：本金 n：存期 r：利率 S：本利和 5 知识讲解 （2）利息 利息=本金×利率×存期 （3）单利 本利和=本金＋利息 =本金＋本金×利率×存期 =本金（1+利率×存期） 公式表示即为，S=P（1+nr） 6 知识讲解 （4）复利 即为S=P（1+r）n 概念：通俗的讲，就是存款后的次年再计算利息时，要把前年的本利和作为今年的本金去计算利息。 7 牛刀小试 现在有一年、三年、五年3中，年利率分别为1.35%，1.55%，1.55%。规定每次存入的钱不计复利。请小组讨论分析并回答以下问题的解题思路。 存期 年利率（%） 一年 1.35 三年 1.55 五年 1.55 （1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； 8 牛刀小试 （1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； 解： 根据题意,第1个月存人的金额为元,到期利息为元; 第2个月存人的金额为元,到期利息为 元 第n个月存人的金额为元,到期利息为 元 这是一个等差数列求和的问题. …… 各月利息之和为 r(1+2+…+n)= 而本金为元,这样就得到本利和公式 =+ =+] 即 9 牛刀小试 （2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到 0.01元) 根据题意知,x=500,r=,n=36,代入①式，本利和为 y=500×（36+ × ）≈18 430 .13（元） 10 牛刀小试 （3）若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2000元，则每月 初应存人的金额是多少？(精确到 0.01元) 根据题意知,y=2000,r=,n=12,代入①式，本利和为 = = ≈165.46（元） 所以每月初应存人165.46元 11 02 定期自动转存模型 知识讲解 定期自动转存就是存钱到期以后自动再存一遍么？ 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存，例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，按照定期存款自动转存的储蓄业务。 13 头脑风暴 （1）如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求出储户，年后所得本利和的公式。 解：(1)记n年后得到的本利和为.根据题意知: 第1年存人的本金P元,1年后到期利息为Pr元,1年后本利和为 =P+Pr=P(1+r)(元); 2年后到期利息为P(1+r)r元,2年后本利和为 = P(1+r)+ P(1+r)r= P(1+r) ² (元); 不难看出,各年的本利和是一个首项=P(1+r)、公比q=1+r 的等比数列{},故n年后到期的本利和为 = = P(1+r) = 14 头脑风暴 （2）如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%，那么5年后共得本利和多少元？(精确到0.01元) 由（1）可知，5年后的本利和为，代入相关数值得 =10000×（1+0.0175） ≈10906.17（元） 15 03 知识拓展 知识拓展 由于小华存了一部分压岁钱，他的资金不够了，为了不浪费银行的利息，它决定采用分期付款的方式，并想要在一年内将款全部付清。 商场提出的付款方式为：购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%，每月利息按复利计算。 购买一台售价为5000元的电脑。 17 知识拓展 小华每次应付的金额是多少?(精确到 0.01元) 解：假定小华每次还款x元,第k个月末还款后的本利欠款数为 元,则 =5000×（1+0.006）² =（1+0.006）²- = × - =（1+0.006）²- = × - = × -（+++++1） 由题意年底还清,则 =0. = ≈868.79（元） 因此,小华每次应付的金额为 868.79元. 18 04 课堂总结 课堂总结 1.零存整取模型 在模型学习中，我们运用到了“等差数列”、“等比数列”的知识，等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型。 例如，存款、贷款、购物(房车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。 2.定期自动转存模型 3.分期付款模型 20 05 作业任务 作业任务 1.小蕾 2018年1月 31日存人银行若干万元,年利率为1.75%，到2019年1月 31日取款时,银行按国家规定给付利息 469元，则小蕾存人银行的本金介于( )元之间，并说明理由。 A.1万~2万 B.2万~ 3万 C.3万~ 4万 D.4万~ 5万 解析： 解：设小雷存入银行的本金为x元， 0.0175x×（2019-2018）=469， 解得x=26800（元） 故介于2~3万元之间。 B 22 作业任务 2.小峰 2019 年元旦在银行存款1万元，办理一年定期储蓄，年利率为 1.75%，以后按约定自动转存，请计算小峰到 2023 年元旦得到的本利和。(精确到 0.01元) 解：由题意得，一年后本利和为1+1.75% 两年后本利和为（1+1.75%）2 三年后本利和为（1+1.75%）3 四年后本利和为（1+1.75%）4≈1.07（万元） 因此，小峰到2023年元旦得到的本利和约为1.07万元 23 06 课后思考 课后思考 思考：在数列的学习过程中，我们得到过一些公式，它们都是与正整数n有关的命题。对于与正整数n有关的命题，怎样证明它们对每一个正整数,都正确呢？ 25 谢谢观看 北京师范大学出版社 数学 高二选择性必修二 $