2026年江苏省南京市建邺区思堂检测中考一模数学试题

九年级数学暨第二次学分认定 （本卷满分：120分） 一、单选题（本题共6小题，共12分） 1．方程的根是（    ） A．， B． C． D．， 2．口袋中有3个完全相同的小球，分别标号为1、2、3，随机的摸出一个小球，则摸出的小球标号是奇数的概率是(   ) A． B． C． D． 3．将抛物线依次进行以下三种变换：①沿y轴向下平移3个单位；②横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变；③横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍．则变换后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 4．某校开展劳动技能比赛，所有参赛学生的比赛得分经过取整处理后结果统计如表：则得分的众数和中位数分别为（    ） 得分（分） 6 7 8 9 10 人数（人） 18 20 25 27 10 A．8分，9分 B．9分，8分 C．8分，8分 D．9分，9分 5．如图，在中，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度是（    ）    A． B．1 C． D． 6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的有 ①2a+b=0；②当x<1时，y随x的增大而增大；③c<0；④9a+3b+c=0；⑤b2-4ac>0． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（本题共10小题，共20分） 7．在本赛季比赛中，某运动员最后六场的得分情况如下：则这组数据的极差为 ． 8．已知，则 ． 9．如图，平面直角坐标系中，点D在直线上，点E为x轴上任意一点，点，若为正三角形时，则点D的坐标为 ． 10．一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则此圆锥的底面圆的半径为 cm． 11．已知a、b、m满足a＋2b＝m2﹣6m﹣5，3a＋4b＝﹣m2＋2m﹣6，则a＋b的最大值为 ． 12．若是一元二次方程的一个根，则 ． 13．如图，，，，于点F，则的度数是 ． 14．如图，直线，如果，，，那么线段的长是 . 15．如图，边长的等边中，D、E分别为上的点，且，连接，将线段绕E点顺时针旋转得到线段，连接．当时，的长为 ． 16．在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值 的最小值 三、解答题（本题共8小题，共88分） 17．解方程： 18．某校举行了“风雨百年路，青春心向党”知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀）进行整理和分析如下： 七年级20名学生的测试成绩为： 7，8，7，8，7，5，5，9，10，9，7，5，8，7，7，7，9，8，10，7 八年级20名学生的测试成绩如下： 两个年级分析数据如表： 年级 平均数 众数 中位数 6分以上人数百分比 七年级 7.5 7 b c 八年级 7.5 a 7.5 90% 根据以上信息，解答下列问题： (1)a＝______，b＝______，c＝______； (2)如果八年级参加测试有500名学生，估计成绩为优秀的学生人数有多少人？ (3)根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生测试成绩较好？请说理由． 19．一个不透明的袋子里装有5个红球、3个黄球和4个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，求： （1）摸出红球的概率； （2）摸出蓝球的概率； （3）摸出的不是红球的概率． 20．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是2和4，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则 ； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； (3)若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，求一元二次方程的根． 21．在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点D作，交的延长线于G，连接．点F是的中点，H是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． 22．如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ （2）求经过几秒，△PCQ与△ABC相似？ 23．在平面直角坐标系中，设二次函数（a为常数，且）． (1)若二次函数的图象与直线有且仅有一个交点，求代数式的值； (2)若点是二次函数图象上的两个不同的点，且，设，求T的取值范围． 24．阅读以下材料，并解决相应问题： 小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考小明的方法解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于A，B两点，与轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是，，，试证明：经过点，，的二次函数与互为“旋转函数”． 九年级数学暨第二次学分认定 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B B A C 1．D 【分析】将方程移项，然后因式分解求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 则：，， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了概率公式求概率；用奇数球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵口袋中有3个完全相同的小球，奇数球有2个， ∴随机的摸出一个小球，则摸出的小球标号是奇数的概率是， 故选：C． 3．B 【分析】根据题意，根据二次函数的平移，横纵坐标的变换，依次求得解析式即可求解． 【详解】解：将抛物线，①沿y轴向下平移3个单位，得到，即，∴ ②横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，得到，即，∴ ③横坐标不变，纵坐标变为原来的两倍，得到，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的变换，掌握变换规律是解题的关键． 4．B 【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数． 【详解】解：9分的有27人，人数最多，故众数为9分； 参赛学生的人数为：18＋20＋25＋27＋10＝100（人），处于中间位置的数为第50、51两个数，都为8分，中位数为8分． 故选：B． 【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 5．A 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理； 根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理即可求出的长度． 【详解】解：∵在中，点D为斜边中点，， ∴， ∵为的中位线， ∴， 故选：A． 6．C 【分析】结合二次函数的图象与性质，由二次函数的图象判断出各答案是否正确. 【详解】①∵对称轴直线x=-=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，故①正确； ②对称轴是直线x=1，并且抛物线的开口方向向下，∴当x<1时，y随x的增大而增大，故②根据函数的图象与对称轴的位置，当x<1时，y随x的增大而增大，正确； ③由抛物线与y轴正半轴相交得c>0，故③错误； ④由抛物线的对称性得，抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），故当x=3时，y=9a+3b+c=0，故④正确； ⑤由抛物线与x轴有两个交点，故有b2-4ac>0，所以⑤正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7．16 【分析】极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．极差＝最大值−最小值，根据极差的定义即可解答． 【详解】解：由题意可知，极差为28−12＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了极差的定义，解题时牢记定义是关键． 8．/ 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 9．或 【分析】分别过三角形的三个点作垂线，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点F作，垂足为M，过点F作轴，垂足为N，直线与x轴交点为K， 由题意得：设D点坐标为，E点坐标为， ∴，，， ∴，，，，，， 若为等边三角形，则， ∴， 即； 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，涉及到勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键． 10．2． 【详解】试题分析：设此圆锥的底面半径为r， 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得， 2πr=， 解得：r=2cm． 故答案是2． 考点：圆锥的计算． 11．/3.5 【分析】两个等式联立成方程组，②﹣①得a+b＝﹣m2+4m﹣，利用配方法求最大值即可． 【详解】解：， ②﹣①得：2a+2b＝﹣2m2+8m﹣1， ∴a+b＝﹣m2+4m﹣＝﹣（m﹣2）2+， ∴当m＝2时，a+b有最大值，最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，配方法求最值，得到a+b的表达式是本题的关键． 12．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：2024． 13．135/135度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理．证明，可得，从而得到，继而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：135 14．3 【分析】过A1作AE//AC，交BB1于D，交C1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，然后再运用平行线等分线段定理和已知条件即可求解. 【详解】解：如图： 过A1作AE//AC，交BB1于D，交C1于E， ∵ ∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形， 又∵，， ∴CE=BD=AA1=2, EC1=5-2=3 又∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 故答案为3. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解此题的关键. 15． 【分析】如图，作交于，证明，则，由，可得，由，可得，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵边长的等边， ∴，， 由旋转的性质可知，，， 如图，作交于， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 16． 【分析】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解； ②在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同①得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解． 【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ， ∵⊙A的半径为6，即AP=6， ∴，又， 且， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过C作CI⊥AB于I， ∴， 在Rt△CIB中，∵，BC=8， ， ∴， ∴， ， 在Rt△CIQ中，， ∴的最小值为； 故答案为：； ②连接AP， 由①得：在Rt△CIA中，， 在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG， ∴， ∵， ∴， 且， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过G作GH⊥AB于H， ∴， 在Rt△CIA中，， 在Rt△GAH中， ， ∴， ∴， ， 在Rt△GHB中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点． 17．， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键．用因式分解法，解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， 即， ∴，， 解得：，． 18．(1) (2)250人 (3)八年级测试成绩较好，理由见解析 【分析】（1）根据题中数据，重新排列，即可气得中位数以及6分以上人数百分比，根据统计图即可求得众数， （2）根据统计图求得八年级8分及以上的百分比乘以500即可求解， （3）根据八年级成绩的中位数、8分以及以上的优秀人数都大于七年级，然后说明理解即可，答案不唯一． 【详解】（1）将七年级的成绩从小到大排列如下， 5，5，5，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10 第10个和第11个数分别为7，7 故中位数为7，即 6分以上人数百分比为 根据条形统计图可知八年级的成绩的众数为，即 故答案为： （2）8分及以上为优秀，八年级8分及以上的百分比为 500 （3）八年级的学生测试成绩较好， 七年级8分及以上的百分比为< 八年级成绩的中位数、8分以及以上的优秀人数都大于七年级，故八年级的学生测试成绩较好． 【点睛】本题考查了求中位数，众数，根据样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． 19．（1） ；（2） ；（3）  ． 【分析】（1）用红球的个数除以球的总数即可； （2）用蓝球的个数除以球的总数即可； （3）用黄球和蓝球的个数和除以球的总数即可． 【详解】解：（1）∵袋子里装有5个红球、3个黄球和4个蓝球，共有12个球， ∴摸出红球的概率是 ； （2）∵袋子里装有5个红球、3个黄球和4个蓝球，共有12个球， ∴摸出蓝球的概率是 ； （3）∵袋子里装有5个红球、3个黄球和4个蓝球，共有12个球， ∴摸出的不是红球的概率是  ． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ． 20．(1) (2)0 (3)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，解一元二次方程， 对于（1），先设其中一个根为，则另一个为,根据一元二次方程根与系数的关系得，求出，再根据两根之积得出答案； 对于（2），先求出方程的两个根是，再根据“倍根方程”得出定义分两种情况得出，进而得出答案； 对于（3），先设再求出抛物线的对称轴，即可得，然后根据“倍根方程”的定义解答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程是倍根方程， ∴设其中一个根为，则另一个为,则， 解得， ∴； 故答案为：2； （2）解：∵， 解得． ∵是倍根方程， 由题意可知． ∴， 即或． ∵ ∴； （3）解：∵方程是倍根方程，不妨设 ∵相异两点都在抛物线上， ∴由抛物线的对称轴为， 根据抛物线对称轴与方程根的关系，有：， 又∵ ∴，即， ∴， 即的两根分别为，． 21．(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得：，再由，，可得是等边三角形，可证明，从而得到，，即可求解； （2）连接，证明，可得，再证明，可得，然后根据直角三角形的性质可得，，从而得到是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵H是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 22．（1）经过2秒或3秒后，的面积等于面积的；（2）经过秒或秒，与相似． 【分析】（1）设经过秒后，的面积等于面积的，用表示、、的长，再根据三角形的面积列式计算即可； （2）分两种情况分别计算，①设经过秒后，推，②设经过秒后，得，代入用表示的线段计算即可． 【详解】解：（1）设经过秒后，的面积等于面积的， 则，，，， ， 整理得， 解得，， ， 经过2秒或3秒后，的面积等于面积的． （2）①设经过秒后， ， ， 解得， ②设经过秒后， ， ， 解得； 经过秒或秒，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、一元二次方程应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解法及相似三角形的判定方法，分情况讨论也是解题关键． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象和直线有且仅有一个交点，得到二次函数的顶点的纵坐标为，列式求出的值，再代值计算即可； （2）将转化为二次函数，求最值即可得出结果． 【详解】（1）解：二次函数图象与直线有且仅有一个交点， 二次函数的顶点坐标为， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ，即， ， ， ， ， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，熟记二次函数的顶点坐标公式． 24．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的a、b、c的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出m和n的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）解：∵函数与互为“旋转函数”， ∴， ∴， ∴． （3）证明：当时，， ∴， 当时，， 解得：， ， 点A、B、C关于原点的对称点分别是， ∴， 设过点的二次函数解析式为， 将代入，得：， 解得：， 过点的二次函数解析式为． ，，， ∵， ，，， ∵， ∴两个函数互为“旋转函数”． 学科网（北京）股份有限公司 $