2026年江苏省南京市玄武区南京双校中考一模数学试题

九年级 数学 一、单选题（本题共6小题，共12分） 1．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两根，则这个三角形的斜边长是（    ） A． B．7 C．5 D．12 2．长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（   ） A． B． C． D． 3．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位．若平移后得到的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．两组数据：98，99，99，100和98.5，99，99，99.5，则关于以下统计量说法不正确的是（    ） A．平均数相等 B．方差相等 C．众数相等 D．中位数相等 5．如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．二次函数的图象如图，有下列结论:①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，.其中正确的有（  ） A．①②③ B．②④⑥ C． ②⑤⑥ D．②③⑤ 二、填空题（本题共10小题，共20分） 7．已知一个样本有50个数据，其中最大值为83，最小值为32，若取组距为10，则应把它分成 组． 8．若，则 ． 9．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ． 10．将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 11．抛物线y＝﹣4x2+8x﹣3的最大值是 ． 12．若是方程的两个根，则的值为 ． 13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠B与∠ADC互为补角，点E在边BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DFE，若，DF平分∠ADE，则∠B的度数为 °． 14．在正方形ABCD中，点E为BC边上一点且CE=2BE，点F为对角线BD上一点且BF=2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，连结CH、CF，若HG=2cm，则△CHF的面积是 cm2． 15．如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为 ． 16．如图，点，是上两点，连接，直径与垂直于点，点在上，连接，，过点作交于点，过点作的切线交的延长线于点，若，，，则 ， ． 三、解答题（本题共8小题，共88分） 17．解方程： （1） （2） （3） 18．市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：分、分、分、分（满分为分）．依据测试成绩绘制了如图所示的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 分 分 分 分 人数 请根据图表信息解答下列问题： (1)甲队成绩的中位数为___________，甲队成绩的众数为___________，乙队成绩的中位数为___________，乙队成绩的众数为___________； (2)分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从平均数、中位数和众数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 19．今年正月初一至初三，我市4个级旅游景区（分别是金山、焦山、北固山、茅山）推出免费开放政策．小龙一家和小颖一家都打算正月初一从这4个级景区选一个景区去游玩． (1)小龙一家选中金山景区的概率是 ； (2)用列表或画树状图的方法，求小龙一家和小颖一家都选择游玩北固山景区的概率． 20．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该小组对函数的图像和性质进行探究，过程如下，请你补充完整． (1)①列表：下表是x，y的几组对应值，其中m＝______，n＝______； x … 0 1 2 … y … 3 0 m 0 n 0 3 … ②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（，m），（，n）； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图像补充完整． (2)请你观察图像，直接写出当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？______； (3)除了上述增减性，请你再写出两条该函数的图像特征或性质：①______；②______； (4)点（m，a）与（n，b）在函数图像上，且，则a与b的大小关系是______． 21．已知：如图1，中，，D是边上的点，且． (1)证明：； (2)若E、F分别是的中点且，如图2，求的长． 22．如图，在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求． 23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点C（﹣1，m）和D（5，m），A（4，﹣1）．    求：（1）抛物线的对称轴； （2）抛物线的函数表达式和顶点B的坐标； （3）直线AB的函数表达式． 九年级 数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A B D D 1．C 【分析】解方程求出两条直角边的长,再用勾股定理求出斜边长. 【详解】解：x2-7x+12=0 解得：x=3或4, ∵3和4是直角边 ∴斜边=5 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解和勾股定理,属于简单题,求出方程的解是解题关键. 2．C 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键， 根据概率的定义，选到 “橘子洲头” 的概率选到 “橘子洲头” 这一种结果总共有4种结果，即可解答． 【详解】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“橘子洲头”的结果有1种， ∴恰好选中选到“橘子洲头”的概率是； 故选：C． 3．A 【分析】先求出平移后二次函数的解析式，再联立，得，然后根据判别式＞0，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得：， 联立，可得：，即：， ∵平移后得到的函数图象与直线有两个交点， ∴，解得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数图像的交点问题，联立二次函数与一次函数，得到一元二次方程，是解题的关键． 4．B 【分析】根据平均数的计算公式、众数和中位数的概念以及方差的计算公式计算，判断即可． 【详解】解：（98+99+99+100）=99，（98.5+99+99+99.5）=99， 平均数相等，A不合题意； 两组数据：98，99，99，100和98.5，99，99，99.5的中位数都是99，众数是99， 则中位数相等，众数相等，C、D不合题意； [（98-99）2+（99-99）2+（99-99）2+[100-99）2]=， [（98.5-99）2+（99-99）2+（99-99）2+[99.5-99）2]=， 方差不相等，B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数和方差，掌握它们的概念以及计算公式是解题的关键． 5．D 【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解． 【详解】∵M，N分别为，的中点， ∴． 在中，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质． 6．D 【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x=图象在x轴上方，即可得到x=所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题. 【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0， 由对称轴在y轴的右边可得x=＞0，从而有b<0， 由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0， 则abc>0，故①错误； ②由对称轴方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正确； ③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确； ④由图像可知，x=所对应的函数值为正， ∴x=时，有a-b+c>0，故④错误； ⑤若，且x1≠x2， 则， ∴抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称， ∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正确． ⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误； ∴正确的有②③⑤； 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题． 7．6/六 【分析】先计算出该组数据的极差，根据组数极差组距即可求解． 【详解】解：最大值为83，最小值为32， ， （组）（进一法取近似值）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查频数分布表，掌握组距，分组数的方法：组距（最大值最小值）组数是解题的关键． 8． 【分析】该题考查了比例的基本性质，由已知等式变形，求解即可． 【详解】解：由，两边同时除以（其中），得：， 简化得：， 所以． 故答案为：． 9．/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：3 11．1． 【分析】将一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得. 【详解】∵y＝﹣4x2+8x﹣3＝﹣4（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式更简便． 12． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．120 【分析】由题意可以设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，根据四边形的内角和等于360°，可得3x+y=180°，∠A+∠C=180°，再由∠A=80°，可得∠C=100°，然后根据，可得∠CEF=∠B=y，从而得到y+2x=160°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠CDE=∠EDF， ∵DF平分∠ADE， ∴∠CDE=∠EDF=∠ADF， 设∠CDE=∠EDF=∠ADF=x，∠B=y，则∠ADC=3x， ∵∠B与∠ADC互为补角， ∴∠B+∠ADC=180°， ∴3x+y=180°，∠A+∠C=180°， ∴y=180°-3x， ∵∠A=80°， ∴∠C=100°， ∵， ∴∠CEF=∠B=y， 由翻折得：∠F=∠C=100°， ∴∠CDF+∠CEF=360°-∠C-∠F， ∴y+2x=360°-200°=160°， ∴180°-3x+2x=160°， 解得：x=20°， ∴y=120°， 即∠B=120°， 故答案为120． 【点睛】本题考查翻折变换，四边形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 14． 【分析】如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，得到FI∥CD，设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，由勾股定理得到FE=FC=FA=a，推出HE=AE=a，根据正方形的性得到BG平分∠ABC，由三角形角平分线定理得到,求得HG=AE=a=2，于是得到结论． 【详解】解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA， ∴FI∥CD， ∵CE=2BE，BF=2DF， ∴设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a， ∴则FE=FC=FA=a， ∴H为AE的中点， ∴HE=AE=a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BG平分∠ABC， ∴ ∴HG=AE=a=2， ∴a=， ∴S△CHF=S△HEF+S△CEF-S△CEH=（a）2+•2a•2a-•2a•a=a2=， 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，难度较大,正确的作出辅助线是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点作轴，垂足为，过点作，证明，得到，，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 故答案为：． 16． 【分析】根据圆的基本性质及垂径定理得，，，，继而得到，，可求得的长；根据正切的定义得，求得， 的度数为，根据圆周角定理得，根据同弧所对的圆周角相等得，进一步得，继而得，证明为等边三角形，同时根据切线的性质得，推出， ，再结合圆周角定理及同弧所对的圆周角相等得，，然后在中，利用三角函数的定义分别求出、的长即可． 【详解】解：如图，连接、、、、，过点作于点，设交于点， ∵直径与垂直于点，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴和的度数为，即的度数为 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且所对的圆心角为， ∴， ∴， ∵，， 切于点， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题是圆与解直角三角形的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，等边三角形的判定和性质等知识点，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 17．（1），；（2），；（3）无解 【分析】（1）先移项，再系数化为1，最后直接开平方即可． （2）先移项，再提取公因式即可求解． （3）利用根的判别式可确定该方程无解． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴； （3） ∵， ∴该方程无解． 【点睛】本题考查解一元二次方程．数量掌握解一元二次方程的方法及利用根的判别式确定根的情况是解答本题的关键． 18．(1)，，， (2)甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好， 【分析】本题考查了条形统计图，求平均数、中位数、众数； （1）根据中位数、众数的定义解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可． 【详解】（1）解：甲队的成绩的第10和第11个成绩分别为分，分， ∴甲队成绩的中位数为：分； 甲队成绩的众数为分； 乙队的成绩的第10和第11个成绩分别为8分，分， ∴乙队成绩的中位数为分， 乙队成绩的众数为分； 故答案为：，，，． （2）解：甲队成绩的平均数为：分 乙队成绩的平均数为：分 甲乙两校的平均数、众数相同，但乙校的中位数比甲校的中位数大，因此乙校的成绩较好， 19．(1) (2) 【分析】本题考查画树状图或表格求概率，概率公式求概率． （1）本题考查概率公式，根据求解即可得到答案； （2）本题考查树状图法求概率，列出树状图，找到所有情况及需要的情况结合公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一共有4个景区，随机选择一个， 选中金山景区的概率， 故答案为：； （2）解：记金山、焦山、北固山、茅山分别为A、B、C、D，树状图如下，    ∴， 答：小龙一家和小颖一家都选择游玩北固山景区的概率为． 20．(1)①，；②图见解析；③图见解析 (2)或 (3)①函数图像是轴对称图形；②函数值y都是非负数 (4) 【分析】（1）①把代入解析式可得m的值，同理可得n的值；②根据m，n的值描点即可；③用平滑的曲线顺次连接各点即可画出图像； （2）由函数的图像即可得出答案； （3）观察函数图像，即可得到两条该函数的图像特征或性质； （4）由可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，； 故答案为：，； ②补充点如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，把图像补充完整如图： （2）解：根据函数图像可知：当或时，y随x的增大而增大． 故答案为：或． （3）解：根据函数图像可知，该函数的图像特征或性质有：①函数图像是轴对称图形；②函数值y都是非负数． 故答案为：①函数图像是轴对称图形；②函数值y都是非负数． （4）解：， ， ， ， 点（m，a）与（n，b）在函数图像上， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握描点法画出函数的图像，利用数形结合解决问题． 21．(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，再根据三角形外角的性质得到，从而得到，即可得出结论； （2）连接，先得到是直角三角形，再由F是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， 又∵E是的中点， ∴， ∴是直角三角形， ∵F是的中点，， ∴． 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证； （）由已知可得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 23．(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 24．（1）x＝2；（2）y＝x2﹣x﹣1；顶点B的坐标为（2，﹣）；（3）y＝x﹣ 【分析】（1）利用C点和D点为对称点确定抛物线的对称轴； （2）利用对称轴方程得到-=2，则可求出b=-，再把A点坐标代入y=x2-x+c中求出c得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到顶点坐标； （3）利用待定系数法求直线AB的解析式． 【详解】解：（1）∵点C(﹣1，m)和D(5，m)， ∴点C和点D为抛物线上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2； （2）∵﹣＝2， ∴b＝﹣， 把A(4，﹣1)代入y＝x2﹣x+c得﹣+c＝﹣1，解得c＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1； ∵y＝x2﹣x﹣1＝(x﹣2)2﹣， ∴顶点B的坐标为(2，﹣)； （3）设直线AB的解析式为y＝px+q， 把A(4，﹣1)，B(2，﹣)代入得，解得， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质，以及待定系数法求一次函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $