19.3二次根式的减法与减法 自主学习达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《19.3二次根式的减法与减法》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列四个二次根式： 化为最简二次根式后，被开方数相同的是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 2．若，则“？”表示的数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 3．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则运算符号“”表示（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 5．与的和为0的是（    ） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若直角三角形的两直角边长分别为，，则此直角三角形的面积为（    ） A．3 B． C． D． 8．若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．7 二、填空题（满分24分） 9．比较大小 （填“”或“”号） 10．计算的结果是 . 11．计算而的结果是 ． 12．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值为 ． 13．如果，其中、为有理数，那么等于 ． 14．已知，代数式的值为 ． 15．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为 ．    16．古希腊的几何学家海伦（约公元年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积S与，，之间的关系式是，其中．若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．先化简，再求值： ，其中． 20．解方程或不等式： (1) (2) 21．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 22．观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 23．如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 24．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 25．小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： (1)分母有理化：______， (2)计算：； (3)若，求的值． 参考答案 1．解：∵①，②，③，④， ∴②与③是被开方数相同的二次根式． 故选C． 2．解：． 则“？”表示的数字是． 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：化简后被开方数相同的二次根式是同类二次根式． 先化简选项中各个二次根式，然后找出被开方数为2的二次根式即可． 【详解】解：A、，被开方数是2，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； C、已是最简，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； D、，被开方数为，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据算式特点和运算结果判断即可． 【详解】解：∵， ∴符号“”表示÷． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，直接利用二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选A 6．D 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法的四则运算，注意：二次根式加减不可以直接把被开方数加减，二次根式乘除运算可以将被开方数进行乘除运算． 根据二次根式四则运算的运算法则逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式故不可以合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了二次根式的乘法运用及三角形的面积公式，解题的关键是掌握三角形求面积的方法．直接利用三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：直角三角形的面积为：， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了二次根式的运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 9． 【分析】本题主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，把跟号外的移到根号内，即可进行比较． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：， 原式， ， 故答案为：． 11． 【分析】先计算二次根式的乘法，然后化成最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 12．5 【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键． 13．3 【分析】先计算，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键． 14．6 【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：原式为： ， 将代入上式， 原式 故答案为：6． 【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键． 15．22 【分析】大长方形的宽是小长方形的长和宽之和，大长方形的长是小长方形的长的2倍，是小长方形宽的3倍， 【详解】解：∵大长方形的宽＝，大长方形的长＝， ∴大长方形的周长＝， 故答案为：．      【点睛】本题考查了长方形周长的计算，涉及到了二次根式的加法和乘法运算，解题关键是得出大长方形的长和宽． 16． 【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中，可以求得题目中所求三角形的面积． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握海伦公式． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的化简，加减法即可求解； （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算法则，先化简二次根式，再计算； （2）根据平方差公式，完全平方公式先展开，再根据实数的运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简，乘法公式，二次根式的混合运算是解题的关键． 19．， 【分析】先根据分式的加减混合运算进行化简，再将x的值代入计算即可 【详解】解：原式， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，正确计算是解题的关键． 20．(1) (2) 【分析】此题考查解一元一次方程及一元一次不等式，二次根式的加减法，分母有理化： （1）根据一元一次方程的解法计算即可； （2）先移项，系数化为1，分母有理化解不等式． 【详解】（1）解： ∴； （2） ∴． 21．(1)16 (2)． 【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可； （2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． 22．(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽）计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 24．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 25．(1) (2)9 (3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关键. （1）分子与分母都乘以，再利用平方差公式计算即可得到答案； （2）先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案； （3）先求解，再变形可得：，再整体代入即可得到答案. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴，即． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $