2.2 圆的一般方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

2．2　圆的一般方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程，解决相关问题． 一　圆的一般方程的理解 1．圆的一般方程的概念 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F >0)①的形式，其中D，E，F都是常数，形如①式的圆的方程称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点____________ D2＋E2－4F>0 表示以____________为圆心，以______________为半径的圆 点拨　(1)圆的一般方程的特点： ①x2，y2的系数相同，且不等于0； ②不含xy这样的二次项； ③化为一般方程后，还需D2＋E2－4F>0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化： [答案自填] 　 　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 【解】　(1)由题意得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m<，即实数m的取值范围是(－∞，). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． [跟踪训练1] (1)已知方程x2＋y2－2x＋my＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：选D．因为方程表示圆，所以(－2)2＋m2－4m>0，即(m－2)2>0，解得m≠2，所以实数m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞).故选D． (2)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为_________________________________________________________． 解析：方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)可化为(x＋)2＋(y－)2＝，故圆心坐标为(－，)，半径为. 答案：(－，)， 二　圆的一般方程 　已知点A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 【解】　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得 解得即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，因为点M(a，2)在△ABC的外接圆上，所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 应用待定系数法求圆的方程的两个注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. [跟踪训练2] (1)已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 解析：选C．设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为(－，－)，由题意得 解得所以圆C的方程为x2＋y2－6x－6y＋8＝0.故选C． (2)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． 解：圆心C(－，－)，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又因为半径r＝＝，所以D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又因为圆心在第二象限，所以－<0，－>0，即D>0，E<0，则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 三　圆的方程的综合应用 　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.求证： (1)曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)曲线C过定点． 【证明】　(1)原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.因为k≠－1，所以5(k＋1)2>0.故曲线C表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为|k＋1|的圆．设圆心为(x，y)，则消去k，得2x－y－5＝0.所以这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上． (2)将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.上式关于参数k是恒等式，所以解得所以曲线C过定点(1，－3). 与圆有关的含有参数的二元二次方程解题策略 (1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范围，并可求得有关的最值． (2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，通过联立方程组求待定系数． [跟踪训练3] (1)已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　) A． B．6 C．－1 D．＋1 解析：选D．根据题意，圆C的方程变形可得(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5，其圆心为(－1，m)，设其半径为r，则r2＝m2＋4m＋5＝(m＋2)2＋1，当圆C的面积最小时，必有m＝－2，此时r2＝1，圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝1.圆心C到原点的距离d＝＝，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1. (2)(2024·江西上饶检测)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. ①求实数b的取值范围； ②请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：①令x＝0得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0.即实数b的取值范围是{b|b<1，且b≠0}． ②设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R) 的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和坐标轴的交点，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，由题意可得，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得出E＝－b－1，所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0(b<1，且b≠0).把圆C的方程改写为x2＋y2＋2x－y－b(y－1)＝0，令解得或故圆C过定点(0，1)和(－2，1). 1．(2024·江西九江月考)已知⊙C：x2＋y2＋x－2y＋＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别为(　　) A．(－，1)， B．(－1，2)， C．(，－1)， D．(1，－2)， 解析：选A．由已知得，圆的标准方程为(x＋)2＋(y－1)2＝，圆心坐标是(－，1)，半径是.故选A． 2．方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0表示圆，则实数a的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 解析：选D．由题意可得圆的标准方程为(x－)2＋(y＋a)2＝－2a－1，所以－2a－1>0, 解得a<－或a>2，选项中只有－2符合题意．故选D． 3．若圆C过三个点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则圆C的标准方程为________________． 解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆C过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，所以解得所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5 4．(2024·江西抚州检测)已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1). (1)求点A到直线BC的距离； (2)求△ABC的外接圆的一般方程． 解：(1)直线BC的方程为＝，化简可得x－y－4＝0，所以点A到直线BC的距离d＝＝＝3. (2)设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C的坐标代入， 得 即解得故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－4＝0. 1．已学习：圆的一般方程及综合应用． 2．须贯通：待定系数法求圆的一般方程体现方程思想． 3．应注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时，要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 学科网（北京）股份有限公司 $