2.2 圆的一般方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，系统涵盖概念、特点、与标准方程转化及待定系数法应用，通过从标准方程推导一般方程，结合探究、例题及跟踪训练，构建递进式学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光抽象方程特征，通过对比标准与一般方程培养抽象能力，以数学思维设计推理训练，如例1辨析方程表示圆的条件，用待定系数法解决外接圆问题，课堂小结强调关键条件，助力学生深化理解，教师教学更具系统性与针对性。

2.2　圆的一般方程 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点．　2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．　3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程，解决相关问题． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　圆的一般方程的理解 1．圆的一般方程的概念 一般地，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.在这个方程中，如果令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则这个方程可以表示成x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F >0)①的形式，其中D，E，F都是常数，形如①式的圆的方程称为圆的一般方程． 新知学习 探究 返回导航 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点________________ D2＋E2－4F>0 表示以_________________为圆心，以___________________为半径的圆 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)圆的一般方程的特点： ①x2，y2的系数相同，且不等于0； ②不含xy这样的二次项； ③化为一般方程后，还需D2＋E2－4F>0. (2)圆的标准方程和一般方程的相互转化： 新知学习 探究 返回导航 　　　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； 新知学习 探究 返回导航 (2)写出圆心坐标和半径． 新知学习 探究 返回导航 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知方程x2＋y2－2x＋my＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，2) C．[2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：因为方程表示圆，所以(－2)2＋m2－4m>0，即(m－2)2>0，解得m≠2，所以实数m的取值范围是(－∞，2)∪(2，＋∞).故选D． √ 新知学习 探究 返回导航 (2)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为__________________________． 新知学习 探究 返回导航 二　圆的一般方程 　　　已知点A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； 新知学习 探究 返回导航 (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 【解】　由(1)知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，因为点M(a，2)在△ABC的外接圆上，所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6. 新知学习 探究 返回导航 应用待定系数法求圆的方程的两个注意点 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知圆C经过两点A(0，2)，B(4，6)，且圆心C在直线l：2x－y－3＝0上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－6x－6y－16＝0 B．x2＋y2－2x＋2y－8＝0 C．x2＋y2－6x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－2x＋2y－56＝0 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　圆的方程的综合应用 　　　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.求证： (1)曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)曲线C过定点． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)(2024·江西上饶检测)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. ①求实数b的取值范围； ②请问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论． 解：①令x＝0得抛物线与y轴的交点是(0，b)，令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0，且Δ＝4－4b>0，解得b<1，且b≠0.即实数b的取值范围是{b|b<1，且b≠0}． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．方程x2＋y2－ax＋2ay＋2a＋1＝0表示圆，则实数a的可能取值为(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 课堂巩固 自测 返回导航 3．若圆C过三个点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则圆C的标准方程为___________________． (x－2)2＋(y－1)2＝5 课堂巩固 自测 返回导航 4．(2024·江西抚州检测)已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1). (1)求点A到直线BC的距离； 课堂巩固 自测 返回导航 (2)求△ABC的外接圆的一般方程． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：圆的一般方程及综合应用． 2．须贯通：待定系数法求圆的一般方程体现方程思想． 3．应注意：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的一般方程时，要特别注意D2＋E2－4F>0这一条件． 课堂巩固 自测 返回导航 $