6.3.2离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“离散型随机变量的方差”，通过灯泡寿命实例导入，在均值知识基础上提出离散程度刻画需求，衔接前后知识，构建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以情境化实例（如工人加工次品、义工活动次数）和问题链引导，用数学眼光发现现实问题，通过对比统计方差培养抽象能力与推理意识（数学思维），典例结合性质应用（如η=3ξ+2的方差计算）用数学语言表达规律，步骤小结和公式助力学生系统掌握，提升分析解决问题能力，教师可高效开展教学。

§3 3.2离散型随机变量的方差 第六章 第 六 章：概 率 离散型随机变量的均值与方差 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.（重点） 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（难点） 有A、B两种不同类型的灯泡，通过抽样,获得了他们的“寿命”分别为X、Y (单位：h)，已知X、Y的分布列如下表： X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P 思考：1.如何知道两个灯泡更好一些？能用均值来判断吗？ 情境导入 2.由EX=EY能否判定两类灯泡寿命数据无差别呢？也就是说，是不是可以由均值相等，说明两类灯泡质量相同？ 虽然均值相同，但是两个变量X、Y的取值却存在较大的差异．也就是说，并不能直接由均值相等就判定两个变量取值无差异． 3.我们为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命X与其均值EX的偏离程度怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度呢？ 离散型随机变量的方差 一、离散型随机变量的方差的概念 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均值EX的偏离程度，而DX=E(X-EX)2 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度. 称为DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记为 . 探索新知 1.对比统计中的方差和标准差知识，思考随机变量方差和标准差的意义是什么？ 随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度． 方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中； 方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散． 探索新知 2.随机变量的均值、方差与分布列有何关系？ 随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息． 分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列． 通过计算方差，标准差比较上面例子中哪种类型的灯泡质量更好. X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P 因为DX<DY(等价地， ) ，所以A类型的灯泡质量要更好. 探索新知 例1：甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表1和表2： ξ 0 1 2 P η 0 1 2 P 表1： 表2： 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 典例讲解 即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当. 又∵0.81． 所以Dξ>Dη,说明工人乙的技术比较稳定. 解：∵ ξ ξ 0.61． 方法小结：求离散型随机变量X的方差的基本步骤： 1.理解X的意义，写出X可能取的全部值； 2.求X取各个值的概率，写出分布列； 3.根据分布列，由均值的定义求出EX； 4.根据方差的定义求出DX. 典例讲解 注：方差简化公式：D(X)=E(X)2-E(|X|)2 典例讲解 巩固训练： 某10人小组利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加 座谈会． （1）设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 发生的概率； （2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布 列、数学期望和方差． 典例讲解 解： （1）由已知得 ． （2）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2， ，， ． 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 所以 ， ． 1.D(X+b)=DX 2.D(aX)=a2DX 3.D(aX+b)=a2DX 探索新知 二、离散型随机变量的方差的性质 典例讲解 例2 已知 的分布列如右图： 0 1 （1）求 的分布列； （2）计算 的方差； （3）若，求 的均值和方差. 解：（1）由分布列的性质知，，解得， 从而 的分布列为 0 1 （2）（法一：直接法）由（1）知，所以 的均值 . 故的方差 . 典例讲解 （法二：公式法）由（1）知，所以 的均值 ，的均值，所以 的 方差 . （3）因为，所以, . 典例讲解 巩固训练 已知随机变量 的分布列如下,且，则实数 ___，若随机变量 ，则 __. 2 3 4 解: 由题意得解得 ， 所以 ， 所以 ． 典例讲解 例3 某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一，投放某短视频平台广告，据市场调研分析，其收益 分别为0元、20万元、40 万元，且， ； 方案二，投放传统广告，据市场调研分析，其收益 分别为10万元、20万元、30万元， 且概率依次为,, . （1）请写出方案一的分布列，并求方差 . （2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你 的理由. 典例讲解 解: （1）设，，依题意得 ， ① 且 ， ② 由①②，解得， ， 所以 的分布列为 0 20 40 0.1 0.3 0.6 则 . （2）由题意得 的分布列为 10 20 30 0.3 0.4 0.3 则 ， . 由可知，采用短视频平台广告投放所产生的期望收益较大，而 ，说 明短视频平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，那么选择投放短视频平台广告；如果公司期望收益 稳定，那么选择投放传统广告 典例讲解 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤： （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均 水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． （2）在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的发挥相对稳定． （3）下结论.依据均值与方差的几何意义得到结论． 方法总结 均值体现了随机变量取值的平均水平，在两种产品相比较时，只比较均 值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰 当的判断． 典例讲解 巩固训练 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度，其抗拉 强度的分布列如下： 110 120 125 130 135 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 100 115 125 130 145 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 典例讲解 解: 其中，， 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，试比较甲、乙两种建筑 材料的稳定程度． ， ， ， ． 由此可见， . 故两种材料的抗拉强度的平均值相等，材料乙的稳定程度明显不如材料甲，即甲的稳 定性较好． 课堂检测 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖 数据，计算出样本方差分别为 ， .由此可以估计( ). B A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2.设一随机试验的结果只有和，且，令随机变量则 的方 差 等于( ). D A. B. C. D. 课堂检测 3.（多选题）设离散型随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量满足 ，则下列结论正确的是( ). AC A. B. C. D. 4.已知随机变量的分布列为，，2，3，则 ___． [解析] 由已知得 ， ， 所以 ． $