3.2 离散型随机变量的方差-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

3．2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．　3.掌握方差的性质以及求法，会利用公式求方差． 一　离散型随机变量的方差 1．方差 若离散型随机变量X的分布列如表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX＝____________＝__________________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差． 2．标准差 DX的算术平方根________为随机变量X的标准差，记作σX. [答案自填] 　E（X－EX）2　　 思考1　随机变量的方差与样本方差有什么关系？ 提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差． 思考2　随机变量的方差、标准差有什么作用？ 提示：(1)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定和波动、集中与离散程度． (2)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛． (3)DX越小，随机变量X的取值越稳定，波动越小． 角度1　 求离散型随机变量的方差 　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲，乙命中的概率分别为，. (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、均值及方差． 【解】　(1)因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以P＝×＋×＝. (2)由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2. P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝；P(ξ＝2)＝×＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以Eξ＝0×＋1×＋2×＝， Dξ＝×＋×＋×＝. 求离散型随机变量的方差的步骤 (1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； (2)求出随机变量取各个值的概率； (3)列出分布列； (4)利用公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出随机变量的均值EX； (5)代入公式DX＝(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xi－EX)2pi＋…＋(xn－EX)2pn求出方差DX. [跟踪训练1] 已知A1，A2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X，则DX＝________. 解析：因为X的所有可能取值为0，1，P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝＋×＝，所以EX＝0×＋1×＝，DX＝×＋×＝. 答案： 角度2　方差的实际应用 　有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示： 甲 X 80 90 100 P 0.2 0.6 0.2 乙 Y 80 90 100 P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平． 【解】　甲同学成绩的均值与方差分别为 EX＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， DX＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40. 乙同学成绩的均值与方差分别为 EY＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， DY＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.因为EX＝EY，DX<DY，所以两名学生的成绩水平一样，但甲同学成绩稳定，乙同学成绩波动大． 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论． [跟踪训练2] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术，并从中选拔一人． 解：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 又由题意知，乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于Eξ>Eη，说明甲平均射中的环数比乙高；又因为Dξ<Dη，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． 二　方差的性质 设a，b为常数， 则D(aX＋b)＝________. [答案自填] a2DX 　已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 a 0.2 0.1 求EX，DX，D(－2X－3). 【解】　因为0.2＋0.2＋a＋0.2＋0.1＝1，所以a＝0.3.所以EX＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.DX＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.D(－2X－3)＝4DX＝6.24. 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2DX求解． [跟踪训练3] (1)已知X是离散型随机变量，P(X＝2)＝，P(X＝a)＝，EX＝，则D(2X＋1)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由已知得2×＋a×＝，解得a＝3，所以DX＝×＋×＝，故D(2X＋1)＝4DX＝4×＝.故选A． (2)(2024·辽宁锦州期末)随机变量X的分布列是 X －1 1 2 P a b 若E＝2，则DX＝(　　) A．1 B．4 C． D． 解析：选D．依题意a＋b＋＝1，a＋b＝①， EX＝－a＋b＋，E＝2＋1＝－2a＋2b＋＝2，整理得a－b＝②， 由①②解得a＝，b＝，所以EX＝－＋＋＝，DX＝2×＋2×＋2×＝.故选D． 易错点 用错方差公式或性质致错 [典例展示]　已知随机变量X满足DX＝2，则D(3X＋2)＝(　　) A．6 B．8 C．18 D．20 [错解展示]　因为D(3X＋2)＝3DX＝6.故选A． 正解：由方差的性质得D(3X＋2)＝9DX＝18. 答案：C [易错警示]　由于公式记忆不准确，易将方差性质记成D(aξ＋b)＝aDξ，而得到错误的答案． 1．已知随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.1，则Dξ＝(　　) ξ 0 1 x P p A．0.36 B．0.52 C．0.49 D．0.68 解析：选C．先由随机变量分布列的性质解得p＝.由Eξ＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2，所以Dξ＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.故选C． 2．(2024·山西大同期中)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，若P(X＝0)＝，EX＝1，则DX＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，则EX＝0×＋p＋2q＝1　①.又＋p＋q＝1　②，由①②得，p＝，q＝，所以DX＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝.故选B． 3．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若EX＝0，DX＝1，则a－b＝________． X －1 0 1 2 P a b c 解析：由题知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0，(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，联立上式，解得a＝，b＝，c＝.则a－b＝－＝. 答案： 4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．甲、乙两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数ξ，η的分布列分别如下表所示： ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平． 解：甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为 Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为Eξ＝Eη，Dξ>Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区内的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定． 1．已学习：离散型随机变量的方差及标准差的概念，计算公式及简单应用． 2．须贯通：准确记忆方差公式，利用公式计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．应注意：(1)准确记忆方差公式和标准差公式； (2)准确记忆方差的性质以及求法，会利用公式求方差． 学科网（北京）股份有限公司 $