3.1 离散型随机变量的均值-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§3　离散型随机变量的均值与方差 3．1　离散型随机变量的均值 学习目标 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质．　2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值，并能解决实际问题． 一　离散型随机变量的均值 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝__________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 一般地，如果随机变量X服从参数为p的两点分布，那么EX＝________． 2．意义 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征． 点拨　(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数． (2)离散型随机变量的均值EX是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． (3)由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位． [答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　p 角度1　求离散型随机变量的均值 　盒中装有5节同牌的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取1节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 【解】　X的所有可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.所以X的分布列为 X 1 2 3 P EX＝1×＋2×＋3×＝. 求离散型随机变量X的均值的步骤 [注意]　第一，二步是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识． [跟踪训练1] (1)已知随机变量X服从两点分布，EX＝0.6，则其成功概率为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 解析：选D．因为随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，则EX＝0×(1－p)＋1×p＝p＝0.6.故选D． (2)(2024·河南驻马店期末)一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．36元 B．37元 C．38元 D．39元 解析：选B．由题意可设这台机器每生产一件产品可获利X，则X的所有可能取值为50，30，－20，所以P＝0.6，P＝0.3，P＝0.1，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元).故选B． 角度2　离散型随机变量均值的实际应用 　某柑橘基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍，0.9倍，0.8倍的概率分别是0.3，0.3，0.4；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍，1.0倍的概率分别是0.5，0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍，1.0倍，0.8倍的概率分别是0.2，0.3，0.5；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍，1.0倍的概率分别是0.4，0.6.实施每种方案时，第二年与第一年相互独立．记ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数． (1)写出ξ1，ξ2的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？ (3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；两年后柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元．问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 【解】　(1)ξ1的所有可能取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25；ξ2的所有可能取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44. 则ξ1，ξ2的分布列分别为 ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 (2)令事件A，B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量， 由(1)可得，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.可见，实施方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大． (3)令ηi(i＝1，2)表示方案i所带来的效益，由题意及(1)易得η1，η2的分布列分别为 η1 10 15 20 P 0.35 0.35 0.3 η2 10 15 20 P 0.5 0.18 0.32 所以Eη1＝10×0.35＋15×0.35＋20×0.3＝14.75(万元)，Eη2＝10×0.5＋15×0.18＋20×0.32＝14.1(万元).可见，实施方案一所带来的平均效益更大． 利用均值解决实际问题的四个步骤 (1)审题：利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ. (2)求分布列：确定随机变量的分布列． (3)计算均值：根据均值的公式计算随机变量的均值． (4)作答：对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． [跟踪训练2] 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 解：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“小明和小红的累计得分X≤3”为事件A，则事件A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝×＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，即小明和小红的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下． X1 0 2 4 P X2 0 3 6 P 所以EX1＝0×＋2×＋4×＝，EX2＝0×＋3×＋6×＝. 因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大． 二　均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， (1)Y也是随机变量； (2)E(aX＋b)＝____________． [答案自填] aEX＋b 　已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求EX； (3)若Y＝2X－3，求EY. 【解】　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)EX＝－2×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)方法一(性质法)：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×－3＝－. 方法二(直接法)：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以EY＝－7×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 离散型随机变量均值性质的应用 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ. [跟踪训练3] (1)设ξ的分布列如表所示，又设η＝2ξ＋5，则Eη＝(　　) ξ 1 2 3 4 P A． B． C． D． 解析：选D．依题意可得Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以Eη＝E(2ξ＋5)＝2Eξ＋5＝2×＋5＝.故选D． (2)(2024·江西景德镇期中)已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值EY＝，X的分布列为 X －1 0 1 P a b 则a，b的值分别为(　　) A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝ 解析：选A．依题意得EX＝－1×＋0×a＋1×b＝b－，所以EY＝E＝2EX＋3＝2×＋3＝，解得b＝，又因为＋a＋b＝＋a＋＝1，所以a＝.故选A． 易错点 求均值时因求错分布列致错 [典例展示]　一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，则剩余子弹数目X的均值为________． [错解展示]　X的所有可能取值为1，2，3，4. P(X＝1)＝0.6； P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝3)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝4)＝0.43＝0.064. 所以EX＝1×0.6＋2×0.24＋3×0.096＋4×0.064＝1.624. 正解：X的所有可能取值为3，2，1，0. P(X＝3)＝0.6； P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P(X＝0)＝0.43＝0.064. 所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. 答案：2.376 [易错警示]　错因是审题不细，导致在解题时误认为是求“命中子弹数目X的均值”而不是“剩余子弹数目的均值”或根本没有注意到条件“直到第一次命中为止”，合理分析题设信息，可以避免因审题不清而带来的不必要的失误．如本例中的条件及待求问题，都需要仔细研读． 1．已知随机变量X的分布列如表所示，则EX＝(　　) X －1 0 1 P 0.5 0.2 p A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.3 解析：选B．由题可得0.5＋0.2＋p＝1，解得p＝0.3，则由离散型随机变量的均值公式得EX＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.故选B． 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 则随机变量X的均值EX＝(　　) A．2 B．2或 C． D．1 解析：选C．因为分布列中概率和为1，所以＋＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝0×＋1×＝.故选C． 3．同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为________． 解析：依题意得，得分之和X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝(1－0.4)×(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以EX＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 答案：0.9 4．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示： 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人数 20 15 5 10 若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和均值． 解：X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝＝. 1．已学习：离散型随机变量的均值的计算公式、意义、性质，两点分布的均值． 2．须贯通：准确审题，找到变量准确的值，由均值的性质得出参数的值或范围． 3．应注意：(1)审题认真，确定变量的值； (2)正确应用均值公式求变量的均值． 学科网（北京）股份有限公司 $