1.2 乘法公式与事件的独立性-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．2　乘法公式与事件的独立性 学习目标 1.在具体情境中﹐了解两个事件相互独立的概念．　2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．　3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题． 一　乘法公式 1．公式：P(AB)＝__________(其中P(A)>0)； P(AB)＝____________(其中P(B)>0). 2．意义：根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出事件A与B同时发生的概率． 点拨　设A，B，C为三个事件，且P(AB)＞0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)P(B|A)P(A).一般地，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An－1)，与次序无关． [答案自填] P(A)P(B|A)　P(B)P(A|B) 　一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次．求： (1)第一次取得白球的概率； (2)第一次、第二次都取得白球的概率． 【解】　(1)记事件A为“第一次取得白球”，事件B为“第二次取得白球”，则P(A)＝＝. (2)由题可知P(B|A)＝，则P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝. 乘法公式揭示了P(A)，P(B|A)，P(AB)三者之间的关系，在解题时只要知道其中的两个就可以得出第三个，最主要的在于分析实际问题中已知的是什么，要求的是什么，从另一个方面可以理解为乘法公式就是利用条件概率P(A|B)来计算P(AB)的，乘法公式是普遍成立的，只要作为“条件的事件”的概率不为零． [跟踪训练1] (1)某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．记事件A为“下雨”，事件B为“刮风”，事件AB为“既刮风又下雨”，则P(A)＝，P(B)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.故选C． (2)设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时打破的概率为.若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为；若前两次落下均未打破，第三次落下打破的概率为，则透镜落下三次未打破的概率为________． 解析：设事件Ai(i＝1，2，3)表示“透镜第i次落下打破”，事件B表示“透镜落下三次未打破”．因为B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝××＝. 答案： 二　相互独立事件 1．相互独立事件的概念 如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件． 2．事件A与事件B相互独立的充要条件是P(AB)＝____________． 点拨　(1)若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． (2)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An两两相互独立． 3．相互独立事件同时发生的概率 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝____________． (2)若A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝__________________． [答案自填] P(A)P(B)　P(A)P(B) P(A1)P(A2)·…·P(An) 角度1　相互独立事件的判断 　判断下列事件是否相互独立： (1)甲组有3名男生，2名女生；乙组有2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． 【解】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以两个事件相互独立． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不相互独立． 两个事件是否相互独立的判断 (1)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响． (2)定义法：当P(AB)＝P(A)P(B)时，事件A，B相互独立． (3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [跟踪训练2] 从一副除去大、小王的扑克牌(52张)中任意抽取一张，设事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立． 解：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件AB为“既抽得老K又抽得红牌”，即“抽得红桃老K或方块老K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B互为独立事件． 角度2　相互独立事件同时发生的概率 　甲、乙两个人独立地破译一个密码，已知他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)至多一个人译出密码的概率. 【解】　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝. (1)“两个人都译出密码”的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. (2)“两个人都译不出密码”的概率为 P()＝P()P()＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝×＝. (3)“至多一个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多一个人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－＝. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． [跟踪训练3] 一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率； (2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． 解：记“第1次取出的2个球都是白球”为事件A，“第2次取出的2个球都是红球”为事件B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”为事件C，很明显，由于每次取出后再放回，所以A，B，C都是相互独立事件． (1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝×＝.故所求概率是. (2)P(CA)＝P(C)P(A)＝×＝×＝.故所求概率是. 1．分别掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚为正面”为事件A，“第二枚为正面”为事件B, 那么事件A与B的关系正确的是(　　) A．A与B相互独立 B．A与B互为对立 C．A与B互斥 D．以上说法都不正确 解析：选A．明显地，根据独立事件的定义，直接得到A正确．故选A． 2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，则两人都脱靶的概率为(　　) A．0.56 B．0.5 C．0.38 D．0.06 解析：选D．易知甲、乙两名运动员是否中靶是相互独立的，故甲、乙两名运动员都脱靶的概率为(1－0.8)×(1－0.7)＝0.06.故选D． 3．某中学开展“党史学习”闯关活动，各选手在第一轮要进行党史知识抢答的比拼，第二轮进行党史知识背诵的比拼．已知某同学通过第一轮的概率为0.8，在已经通过第一轮的前提下通过第二轮的概率为0.5，则该同学两轮均通过的概率为________． 解析：设该同学“通过第一轮”为事件A，“通过第二轮”为事件B，故P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，则两轮都通过的概率为P(AB)，根据题意，利用条件概率公式，得该同学两轮都通过的概率为P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.5＝0.4. 答案：0.4 4．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立．若他们3人向目标各发1枪，求目标没有被击中的概率． 解：3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009. 1．已学习：相互独立事件的定义；相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 2．须贯通：准确理解相互独立事件的概念，并能通过公式法判断事件的相互独立性，进一步得出概率． 3．应注意：(1)准确判断是独立事件，必须是独立事件同时发生； (2)定性以后才可以应用独立事件同时发生的概率公式计算概率． 学科网（北京）股份有限公司 $