6.1.2 乘法公式与事件的独立性 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦乘法公式与事件的独立性，通过回顾条件概率公式及独立事件定义，推导乘法公式并建立与独立性的逻辑联系，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是融入数学家及著作等数学文化，以严谨推理（如独立事件充要条件双向证明）和分层实例（摸球放回与不放回对比、系统可靠性计算）培养数学思维，规范符号表达提升数学语言运用，助力学生深化理解，便于教师高效教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 概率 第1节 随机事件的条件概率 1.2乘法公式与事件的独立性 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会判断随机事件的独立性. 2、会使用独立事件的乘法公式. 3、独立事件乘法公式的应用. 1、独立事件乘法公式的应用. 1、判断随机事件的独立性. 2、独立事件乘法公式的应用. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 2、什么叫作独立事件： 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件. 3、独立事件的概率公式：______________________ P(AB)=P(A)P(B) 在必修课的学习中，我们只是从具体的实例中总结出来了独立事件的概率公式，并没有严格的推导。本节课我们就来进一步的了解条件概率与独立性的关系。 1、条件概率公式：________________________ P(B|A)= 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 由条件概率的定义P(B|A)=，则有 P(AB) = P(B|A)P(A)(其中 P(A)>0). ① P(AB) = P(A|B)P(B)(其中 P(B)>0). ② 利用乘法公式可以计算两个事件同时发生的概率. 乘法公式 1、 该概率公式可以推广出P，其中P(A1),P(A1A2). 2、 4 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 由条件概率的公式P(B|A)=，得P(AB)=P(B|A)P(A). 若事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则 P(B|A) = P(B)， 从而 P(AB) = P(A)P(B)； 下面我们从条件概率的角度进行分析以下两个问题： 1、事件A与事件B相互独立⇒P(AB)=P(A)P(B) 2、P(AB)=P(A)P(B)⇒事件A与事件B相互独立 事件A与事件B相互独立⟺ P(AB)=P(A)P(B). 若 P(AB) = P(A)P(B),且 P(A) > 0 ,则P(B)=， 再由P(B|A)=，可知P(B|A)=P(B)， 因此事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响， 即事件A与事件B相互独立. 5 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 两个事件是否相互独立的判断方法 直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响. 定义法：如果P(AB)=P(A)P(B)，那么事件A、B为相互独立事件. 条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)=P(B)判断。 1、 2、 3、 6 典 例 引 路 傅里叶 （1） 不可能事件与任何一个事件相互独立.( ) （2） 必然事件与任何一个事件相互独立.( ) （3） 若事件A与事件B相互独立，则 .( ) （4） “ ”是“事件A，B相互独立”的 充要条件.( ) 例1、判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） √ √ √ √ 7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、分别掷两枚质地均匀的硬币，若“第一枚为正面”记为事件 A ，“第二枚为正面”记为事件 B ，“两枚结果相同”记为事件 C ，则事件 A 与 B ， A与C 间的关系是( ) A. A与 B ， A 与 C 均相互独立 B. A 与 B 相互独立， A 与 C 互斥 C. A 与 B ， A 与 C均互斥 D. A 与 B 互斥， A 与 C 相互独立 解: 因为事件A是否发生对事件B,C发生不产生影响，所以A与B,A与C均相互独立． A 8 典 例 引 路 牛 顿 例2、口袋中有4个黑球和3个白球，这7个球除颜色外完全相同，连摸两次，每次摸一球.记事件A表示“第一次摸得黑球”，事件B表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回 摸球两种情况下，事件A与事件B是否独立？ 解：①放回摸球: 依题意有P(A)= ,P(B)= ,P(B|A)= .因此,P(B|A)=P(B), 即放回摸球时事件A与事件B独立. ②不放回摸球： 依题意有P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= = = . 因此，P(AB)≠P(A)P(B),即不放回摸球时事件A与事件B不独立. 9 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. 抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 解：依题易得P(A)= , “两次点数和为6”包括“1+5,2+4,3+3,4+2,5+1”5种情况，故P(B)= , “两次点数和为7”包括“1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1”6种情况，故P(C)= 当第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6， 所以P(AB)= 而P(A)P(B)= × ≠ =P(AB)，故事件A和B不独立． 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7， 所以P(AC)= 而P(A)P(C)= × = = P(AC),故事件A和C独立． 10 典 例 引 路 集合论之父——康托 例3、已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. 先后两次从中不放回地各摸出一球，求两次摸到的均为黑球的概率； 解：设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i = 1,2,3), 则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”. 由题意知P(A1) = ，P(A2|A1)= . 根据乘法公式，有 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)= × = . 所以先后两次从中不放回地各摸出一球，两次摸到的均为黑球 的概率为. 11 同 步 练 习 黎 曼 练3、有8张大小相同的扑克牌，其中3张红桃K,5张黑桃K.先后两次从中不放回地抽出一张牌，求两次抽到的牌均为红桃K的概率。 解：记事件A表示“第一次抽到红桃K”, 事件B表示“第二次抽到红桃K”。 易知，事件AB表示“两次抽到的均为红桃K”. 由题意知：P(A)= ,P(B|A)= , 由乘法公式得：P(AB)=P(B|A)P(A)= × = 12 典 例 引 路 柯 西 例4、已知口袋中有3个黑球和7个白球，这10个球除颜色外完全相同. 从中不放回地摸球,每次各摸一球，求第三次才摸到黑球的概率. 解：设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i = 1,2,3), 则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”. 设事件A表示“第三次才摸到黑球”，则A=12A3. 由题意知P(1)= ，P(1)= , P(A3|12)= . 于是,根据乘法公式，有 P(12A3) = P(1)P(1)P(A3|2)= ×× = . 所以从中不放回地摸球，每次各摸一球,第三次才摸到黑球的概率为. 13 同 步 练 习 莱布尼兹 练4、有8张大小相同的扑克牌，其中3张红桃K,5张黑桃K.从中不放回地抽牌，每次各抽一张牌，求第三次才抽到红桃K 的概率． 解：记事件A表示“第一次抽到红桃K”, 事件B表示“第二次抽到红桃K”， 事件C表示“第三次抽到红桃K”。 由题知：P()= ,P(|)= ,P(C| )= = 所以P( C)=P()P(|)P(C| )= ×× = 14 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概 率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　) A. B. C. D. 解: 由题意，P(A)＝P(B)，即P(A)P()＝P(B)P() 则P()=P()． 又P( )＝[P()]2=， 所以P()=, 故P(A)＝1－P()= D 15 同 步 练 习 洛必达 练5、甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 ,则甲、乙丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为____． 解：记事件A,B,C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是 一等品，其概率分别为P(A),P(B),P(C)， 由题设知： 解方程组并舍去不符合题意的根，得P(A)= ,P(B)= , P(C)= 16 典 例 引 路 狄利克雷 例6、如图,用a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时，系统N1正常工作；当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0. 80,0.90, 0. 90. (1)求系统N1正常工作的概率P1 ； (2)求系统N2正常工作的概率P2. 解：设事件A表示“元件a正常工作”， 事件B表示“元件b正常工作”，事件C表示“元件c正常工作”. (1)依题意知 P1=P(ABC)=P(A)P(B)F(C) =0.80×0.90×0.90=0.648. 故系统N1正常工作的概率为0. 648. (2)依题意知P2=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P(C) =0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90 =0.792. 故系统N2正常工作的概率为0.792. 17 同 步 练 习 庞加莱 练6、如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常 工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是(　　) A．0.504　　B．0.994　　C．0.496　　D．0.06 解：系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则 P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994． 18 典 例 引 路 华罗庚 例7、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 解:（1）设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 P(A1)=2×× = ,P(A2)=()2 = ,P(B1)=2×× = ,P(B2)=()2 = 设A=“两轮活动星对猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1， 所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)= × + × = 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为 （2）设B0表示乙两轮都没猜对的事件，P(B0)=()2 = 设事件B=“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则B=A1B0+A2B1 P(B)=P(A1B0+A2B1)=P(A1B0)+P(A2B1)=P(A1)P(B0)+P(A2)P(B1)=×+×= 19 同 步 练 习 佩雷尔曼 练7、甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 解:（1）记“甲在第i(i=1,2,3,4)局获胜”为事件Ai， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件M， 所以M=A1A234+A12A34+A123A4+1A2A34+1A23A4+12A3A4 所以P(M)=P(A1A234+A12A34+A123A4+1A2A34+1A23A4+12A3A4) =P(A1A234)+P(A12A34)+P(A123A4)+P(1A2A34)+P(1A23A4)+P(12A3A4) =××× + ××× + ××× + ××× + ××× +××× = （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件N， 所以N=A1A2A3A4+1A2A3A4+A12A3A4+A1A23A4+A1A2A34 =××× + ××× + ××× + ××× + ××× = 20 全 课 总 结 二、相互独立事件同时发生的概率 事件A与事件B相互独立⟺ P(AB)=P(A)P(B). 一、乘法公式 P(AB) = P(B|A)P(A)(其中 P(A) >0). ① P(AB) = P(A|B)P(B)(其中 P(B)>0 ). ② 21 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $