第5章 计数原理 章末复习提升-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末复习提升 要点一　计数原理的应用 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． 训练1　有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号种数为(　　) A．9 B．27 C．39 D．45 解析：选C．每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号． 训练2　甲与四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，0，2，1，5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　) A．5 B．24 C．32 D．64 解析：选D．5日至9日，有3天奇数日，2天偶数日，第1步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种选择，第2步安排偶数日出行分两类，第1类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4种选择，第2类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4种选择，共计4＋4＝8种选择，根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64. 训练3　甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A，B，C三个路口协助交警值勤，他们申请值勤路口的意向如下表： 交通路口 A B C 志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 这4名志愿者的申请被批准，且值勤安排也符合他们的意向，若要求A，B，C三个路口都要有志愿者值勤，则不同的安排方法有(　　) A．14种 B．11种 C．8种 D．5种 解析：选B．由题意得，以C路口为分类标准：C路口执勤分得人数情况有2种，两个人或一个人．若C路口执勤分得人数为2个，则丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在A，B路口执勤；若C路口执勤分得人数为1个，丙或丁在C路口，具体情况如下：丙在C路口：A(丁)B(甲、乙)C(丙)；A(甲、丁)B(乙)C(丙)；A(乙、丁)B(甲)C(丙).丁在C路口：A(甲、乙)B(丙)C(丁)；A(丙)B(甲、乙)C(丁)；A(甲、丙)B(乙)C(丁)；A(乙)B(甲、丙)C(丁)；A(乙、丙)B(甲)C(丁)；A(甲)B(乙、丙)C(丁).所以一共有2＋3＋6＝11种安排方法． 训练4　将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球．若甲球必须放入A盒，则不同的放法种数是________. 解析：将甲球放入A盒后分两类：一类是除甲球外，A盒还放其他球，共A＝24种放法；另一类是A盒中只有甲球，则其他4个球放入另外的3个盒中，有CA＝36种放法．故不同的放法种数为24＋36＝60. 答案：60 要点二　排列、组合的应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中有着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． 训练1　(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(　　) A．120种 B．60种 C．30种 D．20种 解析：选B．不妨记五名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有A＝12种方法，同理b，c，d，e连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数为5×12＝60.故选B． 训练2　(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 解析：选C．首先确定相同的读物，共有C种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A种，根据分步乘法计数原理，共有CA＝120种选法．故选C． 训练3　如图所示，用4种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，而且4种不同的颜色要全部用完，则不同的涂色方法共有________种． 解析：由题意，4种颜色都用到，先给A，B，C三点涂色，有A种涂法，再给D，E，F涂色，因为D，E，F中必有一点用到第4种颜色，即C，所以另外两点用到A，B，C三点所用颜色中的两种，即C，此时涂法确定，由分步乘法计数原理得，共有ACC＝216种不同的涂色方法． 答案：216 要点三　二项展开式的特定项 1．确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素． 2．确定二项展开式中的常数项：先写出其通项，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项，即可确定常数项． 3．求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项，再由条件确定项数，然后代入通项求出此项的系数． 4．确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质． 训练1　(2023·北京卷)的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 解析：选D．的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1，得r＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)225－2C＝80.故选D． 训练2　(2024·安徽阜阳月考)在(2x＋a)·的展开式中，x2的系数为－120，则该二项展开式中的常数项为(　　) A．3 204 B．－160 C．160 D．－320 解析：选D．的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k＝C2kx6－2k，若2x·Tk＋1＝C2k＋1x7－2k，由k∈N，得7－2k＝2不成立；若a·Tk＋1＝aC2kx6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，则aC22＝60a＝－120，解得a＝－2.因为k∈N，所以7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，所以展开式中的常数项为－2C23＝－320.故选D． 训练3　(多选)已知(1＋x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则(　　) A．n＝8 B．(1＋x)n的展开式中x2项的系数为56 C．奇数项的二项式系数和为128 D．(1＋x－y2)n的展开式中xy2项的系数为56 解析：选AC．因为(1＋x)n的展开式通项为Tr＋1＝Cxk，所以(1＋x)n的展开式的第k＋1项的二项式系数为C，所以C＝C，解得n＝8，A正确；x2的系数为C＝28，B错误；奇数项的二项式系数和为2n－1＝27＝128，C正确；根据二项式定理，(1＋x－y2)8表示8个(1＋x－y2)相乘，所以8个(1＋x－y2)中有1个选择x，1个选择－y2，6个选择1，所以(1＋x－y2)n的展开式中xy2项的系数为CC(－1)×16＝－56，D错误．故选AC． 训练4　(2024·陕西西安期中)已知(2x－1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中： (1)所有二项式系数之和； (2)系数绝对值最大的项． 解：(1)因为(2x－1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以C＝C且n≥5，解得n＝7，所以＝展开式的二项式系数之和为210＝1 024. (2)展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r·＝(－2)rCx10－2r，设展开式第r＋1项的系数的绝对值最大，则，解得≤r≤，又因r∈N，所以r＝7，所以展开式中，系数绝对值最大的项为(－2)7Cx10－14＝－. 要点四　二项式展开式的“赋值”问题 1．观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征． 2．赋值：结合待求和上述特征，对变量x赋值，常见的赋值有x＝－1，x＝0，x＝1等等，具体视情况而定． 3．解方程：赋值后结合待求建立方程(组)，求解便可． 训练1　(多选)(2024·江西宜春期末)对任意实数x，有(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a9(x－1)9.则下列结论成立的是(　　) A．a0＝1 B．a2＝－144 C．a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1 D．a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39 解析：选BCD．当x＝1时，(2－3)9＝a0，a0＝－1，A错误；当x＝2时，(4－3)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，即a0＋a1＋a2＋…＋a9＝1，C正确；当x＝0时，(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，D正确；(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9，由二项式定理，a2＝C(－1)9－222＝－144，B正确．故选BCD． 训练2　已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝____________． 解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，① 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，② 由②＋①，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121. 由①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.又(2x－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r25－rCx5－r＝a5－rx5－r，所以当r为奇数时，系数a0，a2，a4小于0，当r为偶数时，系数a1，a3，a5大于0，所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243. 答案：243 训练3　(2024·江西南昌期末)设(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值． (1)a0； (2)(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2. 解：(1)令x＝0，得a0＝210＝1 024. (2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－)10，① 令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋)10.② 结合①②可得， (a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)＝(2－)10×(2＋)10＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $