强化课 排列组合之五大题型-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　排列组合之五大题型 题型一　隔板法解重复元素的排列、组合问题 　一个a，两个b，三个c排成一排，共有多少种不同的排法？ 【解】　方法一(重复元素位置法)：先将元素视为不同元素，共有A种排法，其中两个b是按A种排法计数，三个c是按A种排法计数，故不同的排法共＝60(种). 方法二(隔板法)：先从六个位置中选一个位置排a，有C种方法，再从其余五个位置中选两个位置各插一块隔板排两个b，有C种排法，在剩下的三个位置上排三个c，有1种排法．因此共有C×C×1＝60种不同的排法． 重复元素的排列、组合问题的处理策略 (1)重复元素位置法：对于含有重复元素的排列问题不能直接用排列数来计数，但可以使用组合选出这些重复元素所对应的位置．故解决重复元素的排列问题与解决定序问题的本质是一样的，即选出重复元素所对应的位置即可． (2)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题． 将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板． [跟踪训练1] 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10种放法． (2)恰有一个空盒子，第1步，先选出一个盒子，有C种选法，第2步，在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有CC＝40种放法． 题型二　捆绑法解相邻问题 　(1)在某场科技交流视频会议中，甲、乙、丙、丁、戊五位专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有(　　) A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 (2)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9！ 【解析】　(1)当甲排在第一位时，共有AA＝12种发言顺序；当甲排在第二位时，共有CAA＝8种发言顺序，所以一共有12＋8＝20种不同的发言顺序．故选C． (2)利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为A·(A)3＝(3！)4.故选C． 【答案】　(1)C　(2)C 捆绑法解相邻问题的解题策略 题目中规定相邻的几个元素并为一组(当作一个元素)参与排列， (1)首先将题目中规定相邻的几个元素作为一个整体； (2)然后运用排列组合知识求出不同的情况数． [跟踪训练2] (2024·河南焦作期中)在数学中，自然常数e≈2.718 28.小明打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一位，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为(　　) A．48 B．36 C．32 D．30 解析：选B．根据题意，分两种情况： ①8排在第一位，则第二位也是8，再从剩下4个位置选出2个，安排两个2，最后安排7和1，此时有CA＝12个不同的密码； ②8不排在第一位，则第一位安排7或1，将两个8看成一个整体，与两个2和7或1中剩下的数排列，此时有C＝24个不同的密码； 则一共有12＋24＝36个不同的密码．故选B． 题型三　插空法解不相邻问题 　(1)某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有(　　) A．120种 B．48种 C．36种 D．18种 (2)甲、乙两位老师和四位学生站成一排． ①两位老师不能相邻，共有多少种排法？ ②甲在乙左边，共有多少种排法？ ③最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，共有多少种排法？ (列出式子并计算结果，结果用数字表示) 【解】　(1)选C．先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有2种，另一个奥运广告插入3个商业广告产生的除最后空位外的3个空中，有3种；再考虑3个商业广告的顺序，有A＝6种，故共有2×3×6＝36(种).故选C． (2)①将两位老师插入到把四位学生排列后所成的空中，故有AA＝480(种). ②先把六位全排，两位老师定序，故有＝360(种). ③第一类，最左端排甲，其余任意排，有A种， 第二类，最左端排乙，最右端从不包含甲的剩余4人选一个，其余任意排，有AA种，故有A＋AA＝216(种). 插空法解不相邻问题的解题策略 在题目中限定某几个元素不相邻，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定不相邻的几个元素插入上述几个元素间形成的空位中． [跟踪训练3] 一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中，有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？ 解：把两个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，则是用四个人把两个元素隔开的典型问题，就可先让四人坐在四个位置上，再让后两个“元素”(一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位)选择四人形成的五个“空隙”中的两个插入，所以共有AA＝480种坐法． 题型四　特殊元素（位置）优先安排 　为弘扬我国古代的“六艺”文化，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”和“乐”排在相邻两周的排法种数； (2)若体验课连续开设六周，每周一门，求其中“射”不排在第一周，“数”不排在最后一周的所有可能排法种数； (3)甲、乙、丙、丁、戊五名教师教这六门课程，每名教师至少教一门课程，求其中甲不教“数”的课程安排方案种数． 【解】　(1)将“射”和“乐”两门课程捆绑，形成一个大元素，所以“射”和“乐”排在相邻两周的排法种数为AA＝240. (2)根据题意，分2种情况讨论： ①“射”排在最后一周，剩下的课程没有限制，有A＝120种排法； ②“射”不排在最后一周，则“射”有4种安排方法，“数”也有4种安排方法，剩下的4门课程没有限制，共有4×4×A＝384(种).由分类加法计数原理可知，共有120＋384＝504种不同的排法． (3)根据题意，分以下2种情况讨论：①甲教两科时，有CA＝240种排法； ②甲教一科时，有CCA＝1 200种排法．综上所述，共有240＋1 200＝1 440种排法． 　　对于带有特殊元素(位置)的排列组合问题， 一般应先满足特殊元素的要求， 再考虑其它元素． [跟踪训练4] 4名运动员参加4×100米接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有(　　) A．12种 B．14种 C．16种 D．24种 解析：选B．若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A＝24种排法，甲跑第一棒有A＝6种排法，乙跑第四棒有A＝6种排法，甲在第一棒且乙在第四棒有A＝2种排法，所以共有24－6－6＋2＝14种不同的出场顺序． 题型五　多面手问题 　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 【解】　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 方法一：分两类．第1类，从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则选会日语的有3种选法．此时共有6×3＝18种选法； 第2类，从既会英语又会日语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2种选法．所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20种不同的选法． 方法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语． 第1类：甲入选． (1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2种选法； (2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6种选法． 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种). 第2类：甲不入选．可分两步． 第1步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第2步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12种不同的选法． 综上，共有8＋12＝20种不同的选法． 　　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． [跟踪训练5] 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？ 解：分3类：第1类，选出的4名钳工中无“多面手”， 此时有CC＝75种选法； 第2类，选出的4名钳工中有1名“多面手”， 此时有CCC＝100种选法； 第3类，选出的4名钳工中有2名“多面手”， 此时有CCC＝10种选法． 由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185种不同的选法． 学科网（北京）股份有限公司 $