4.2 二项式系数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

4．2　二项式系数的性质 学习目标 1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．　2.掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．　3.通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”． 一　二项式系数的性质 当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示： 图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角，它有如下的规律： 1．表中每行两端都是________； 2．除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 点拨　二项式系数性质的拓展 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C； (2)增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的； (3)各二项式系数的和：①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 提醒　当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项的二项式系数相等且最大． [答案自填] 1 　在(2－x)7的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 【解】　(1)因为展开式中共有8项，故中间两项的二项式系数最大，它们分别是T4＝－C24x3＝－560x3，T5＝C23x4＝280x4. (2)因为Tr＋1＝(－1)rC27－rxr， 令 整理得到又r∈N，故r＝2， 所以系数绝对值最大的项为T3＝C27－2x2＝672x2. (3)方法一：因为第三项的系数为正，且其绝对值最大，故系数最大的项为T3＝C27－2x2＝672x2. 方法二：由于系数为正的项为x的偶次方项，因此可设第2k－1(1≤k≤4，k∈N)项系数最大，于是 所以所以k＝2.故系数最大的项为T3＝C27－2x2＝672x2. (1)求二项式系数的最大项的思路 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求系数最大项的思路 设第(k＋1)项的系数最大，由解出k即可求出系数最大的项． (3)求系数绝对值最大项的思路设第(k＋1)项的系数的绝对值最大，只需由 解出k即可求出系数绝对值最大的项． [跟踪训练1] 在的展开式中，求： (1)系数绝对值最大的项； (2)二项式系数最大的项； (3)系数最大的项； (4)系数最小的项． 解：由题得Tr＋1＝(－1)rC2rx4－r. (1)设第r＋1项系数的绝对值最大． 则所以解得5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．所以T6＝(－1)5C25x－＝－1 792x－，T7＝(－1)6C26x－11＝1 792x－11. (2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，所以T5＝(－1)4C24x－6＝1 120x－6. (3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为T7＝1 792x－11. (4)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最小的项为T6＝－1 792x－. 二　各项系数和问题 角度1　单个二项式展开式的各项系数和问题 　设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024(x∈R).求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024； (2)a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024； (3)a1＋a3＋…＋a2 023； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＋|a2 024|. 【解】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝(1－2)2 024＝1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024.② (3)由①－②，得2(a1＋a3＋…＋a2 023)＝1－32 024，所以a1＋a3＋…＋a2 023＝. (4)因为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)rC·(2x)r，所以a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N).所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＋|a2 024|＝a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024. 【变式探究】 (设问变式)在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋…＋a2 024； (2)a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024； (3)a0＋a1＋a2＋…＋a2 023. 解：(1)方法一：因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(1－2)2 024＝1，① a1＋a3＋…＋a2 023＝，③ 由①－③，得a0＋a2＋…＋a2 024＝1－＝. 方法二：因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝1，① a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024，② 由①＋②，得2(a0＋a2＋…＋a2 024)＝1＋32 024，所以a0＋a2＋…＋a2 024＝. (2)令x＝0，得12 024＝a0，所以a0＝1，又因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以两式相减得a1＋a2＋…＋a2 024＝0. (3)因为a2 024是(1－2x)2 024展开式中x2 024的系数，所以a2 024＝(－2)2 024＝22 024.又因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝1－22 024. 角度2　多个二项式乘积的展开式的各项系数和问题 　(2024·河南驻马店月考)设(1＋x)6(1＋ax)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，若a2＝－9，则a1＋a2＋a3＋…＋a10的值为(　　) A．63 B．64 C．65 D．－65 【解析】　因为a2＝CCa2＋CCa＋CC＝6a2＋24a＋15，则6a2＋24a＋15＝－9，即a2＋4a＋4＝0，所以a＝－2，则(1＋x)6(1＋ax)4＝(1＋x)6(1－2x)4，令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝26＝64，所以a1＋a2＋…＋a10＝64－a0＝63.故选A． 【答案】　A (1)单个二项式展开式的各项系数和问题 一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. (2)多个二项式乘积的展开式的各项系数和问题 对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，n，m∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． [跟踪训练2] (1)设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________． 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，两式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 答案：－ (2)设(x－)(2x－)5的展开式中，各项系数之和为4，则a＝________，展开式中的常数项为________． 解析：由(x－)(2x－)5的展开式中各项系数之和为4，可令x＝1，即(1－a)(2－1)5＝4，解得a＝－3.故(x－)(2x－)5＝(x＋)(2x－)5，又(2x－)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r·(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝－1，解得r＝3，令5－2r＝1，解得r＝2，所以(x＋)(2x－)5的展开式的常数项为－4×C＋3×8×C＝200. 答案：－3　200 三　二项式定理的应用 角度1　整除(余数)问题 　用二项式定理证明： (1)(n＋1)n－1能被n2整除； (2)9910－1能被1 000整除． 【证明】　(1)(n＋1)n－1＝(1＋n)n－1＝C＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn－1＝n2＋Cn2＋…＋Cnn，上式中的每一项都可以被n2整除，故(n＋1)n－1能被n2整除． (2)9910－1＝(1－100)10－1＝C－C×100＋C×1002－…＋C×10010－1 ＝－1 000＋C×1002－…＋C×10010，上式中的每一项都可以被1 000整除，故9910－1能被1 000整除． 求解整除(余数)问题的基本思路 要证明一个式子(数)被一个数整除或求余数，只需将这个式子按二项式定理展开，一般中间的项都是除数的倍数，只需考虑前后几项即可． 角度2　近似计算 　(1)1.003 55的近似值为______________；(精确到0.001) (2)1.9975的近似值为__________．(精确到0.001) 【解析】　(1)1.003 55＝(1＋0.003 5)5≈1＋14×C×0.003 5 ＝1.017 5≈1.018. (2)1.9975＝(2－0.003)5≈25－C×24×0.003＋C×23×0.0032＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. 【答案】　(1)1.018　(2)31.761 求(1＋a)n的近似值时，利用二项式定理展开后，应保留前几项求和，务必按近似要求取舍． 角度3　证明不等式 　证明：>2(n∈N，n≥2). 【证明】　当n≥2时，(1＋)n＝1＋C·＋C·＋C·＋…＋C·＝1＋1＋C·＋…＋C·>2，所以(1＋)n>2成立． 利用二项式定理证明不等式，即将不等式的一边化归为二项式的结构，展开后结合不等式的另一边的形式，通过放缩实现证明． [跟踪训练3] (1)C＋C＋…＋C除以9的余数为________； 解析：C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C＝227－C ＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数，故C＋C＋…＋C除以9的余数为7. 答案：7 (2)0.9986的近似值为________．(精确到0.001) 解析：由于0.9986＝(1－0.002)6，故可利用二项式定理展开计算.0.9986＝(1－0.002)6＝1＋C(－0.002)＋C(－0.002)2＋…＋C(－0.002)6，由题意知T3＝C(－0.002)2＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，且第3项(包括第3项)以后的每一项的绝对值都远小于0.001，所以从第3项(包括第3项)起，以后的项都可以忽略不计，所以0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988. 答案：0.988 (3)利用二项式定理，证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋). 证明：当n≥3，n∈N＋时，3n＝(1＋2)n＝C×20＋C×21＋C×22＋…＋C2n>C×20＋C×21＋C×22＝1＋2n＋×4＝1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1，所以原不等式成立． 1．(x－)11的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 解析：选C．(x－)11的展开式中第项和＋1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 2．(2023·江西九江模考)若425＋a(a∈R)能被9整除，则|a|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B．425＋a＝(3＋1)25＋a＝325＋C·324＋…＋C32＋C3＋1＋a，其中325＋C324＋…＋C32 能被9整除，所以C3＋1＋a＝25×3＋1＋a＝76＋a能被9整除，则当a＝－4时，|a|最小，最小值为4.故选B． 3．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为______________________________， 各项的二项式系数的和为__________． 解析：令x＝1，得各项系数的和为1，各二项式系数的和为26＝64. 答案：1　64 4．(2024·陕西西安期末)在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式，若____________，求： (1)n； (2)展开式中的常数项． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)选①：由题意得C＋C＋C＝22，即1＋n＋＝22，解得n＝6或n＝－7(负值舍去).选②：令x＝1，可得展开式中所有项的系数之和为0.由C＋C＋…＋C－0＝64，即2n＝64，解得n＝6. (2)展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx(r＝0，1，2，3，4，5，6)，令＝0，解得r＝2，则常数项为T3＝C(－1)2x0＝15. 1．已学习：(1)杨辉三角；(2)二项式系数的性质． 2．须贯通：掌握一种方法：赋值法． 3．应注意：(1)在求二项式系数的最大值时需对n讨论；(2)中间项的个数；(3)含绝对值的系数． 学科网（北京）股份有限公司 $