4.2 二项式系数的性质-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质及应用，从杨辉三角的规律探究切入，衔接二项式定理，通过观察归纳构建知识支架，帮助学生从具体实例到抽象性质形成认知脉络。 其亮点在于融入中华优秀传统文化，以杨辉三角渗透数学审美，通过赋值法等培养数学思维的推理能力，用符号语言精准表达系数关系。例题与跟踪训练结合，小结梳理方法，助力学生提升逻辑思维和应用能力，为教师提供系统教学支持。

4.2　二项式系数的性质 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.了解杨辉三角，并探索其中的规律．　2.掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．　3.通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　二项式系数的性质 　　当n依次取1，2，3，…时，(a＋b)n展开式的二项式系数如图所示：   图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角，它有如下的规律： 1．表中每行两端都是________； 2．除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和． 1 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 提醒　当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项的二项式系数相等且最大． 新知学习 探究 返回导航 　　　在(2－x)7的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； 新知学习 探究 返回导航 (2)系数绝对值最大的项； 新知学习 探究 返回导航 (3)系数最大的项． 新知学习 探究 返回导航 (1)求二项式系数的最大项的思路 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)二项式系数最大的项； (3)系数最大的项； 解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负数，第7项的系数为正数，则系数最大的项为T7＝1 792x－11. 新知学习 探究 返回导航 (4)系数最小的项． 新知学习 探究 返回导航 二　各项系数和问题 角度1　单个二项式展开式的各项系数和问题 　　　设(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023＋a2 024x2 024(x∈R).求： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024； 【解】　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024＝(1－2)2 024＝1.① 新知学习 探究 返回导航 (2)a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024； 【解】　令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024.② (3)a1＋a3＋…＋a2 023； 新知学习 探究 返回导航 (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＋|a2 024|. 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋…＋a2 024； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)a1＋a2＋…＋a2 023＋a2 024； 解：令x＝0，得12 024＝a0，所以a0＝1，又因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以两式相减得a1＋a2＋…＋a2 024＝0. (3)a0＋a1＋a2＋…＋a2 023. 解：因为a2 024是(1－2x)2 024展开式中x2 024的系数，所以a2 024＝(－2)2 024＝ 22 024.又因为a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝1－ 22 024. 新知学习 探究 返回导航 角度2　多个二项式乘积的展开式的各项系数和问题 　　　(2024·河南驻马店月考)设(1＋x)6(1＋ax)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，若a2＝－9，则a1＋a2＋a3＋…＋a10的值为(　　) A．63 B．64 C．65 D．－65 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)多个二项式乘积的展开式的各项系数和问题 对于形如(ax＋b)n(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，n，m∈N＋)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x＝1即可；求形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 －3 200 新知学习 探究 返回导航 三　二项式定理的应用 角度1　整除(余数)问题 　　　用二项式定理证明： (1)(n＋1)n－1能被n2整除； 新知学习 探究 返回导航 (2)9910－1能被1 000整除． 新知学习 探究 返回导航 求解整除(余数)问题的基本思路 　　要证明一个式子(数)被一个数整除或求余数，只需将这个式子按二项式定理展开，一般中间的项都是除数的倍数，只需考虑前后几项即可． 新知学习 探究 返回导航 角度2　近似计算 　　　(1)1.003 55的近似值为______________；(精确到0.001) (2)1.9975的近似值为__________．(精确到0.001) 1.018 31.761 新知学习 探究 返回导航 　　求(1＋a)n的近似值时，利用二项式定理展开后，应保留前几项求和，务必按近似要求取舍． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　利用二项式定理证明不等式，即将不等式的一边化归为二项式的结构，展开后结合不等式的另一边的形式，通过放缩实现证明． 新知学习 探究 返回导航 7 新知学习 探究 返回导航 (2)0.9986的近似值为________．(精确到0.001) 0.988 新知学习 探究 返回导航 (3)利用二项式定理，证明：3n>2n2＋1(n≥3，n∈N＋). 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 37 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．(2023·江西九江模考)若425＋a(a∈R)能被9整除，则|a|的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 课堂巩固 自测 返回导航 3．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为______，各项的二项式系数的和为__________． 解析：令x＝1，得各项系数的和为1，各二项式系数的和为26＝64. 1 64 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 (2)展开式中的常数项． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：(1)杨辉三角；(2)二项式系数的性质． 2．须贯通：掌握一种方法：赋值法． 3．应注意：(1)在求二项式系数的最大值时需对n讨论；(2)中间项的个数；(3)含绝对值的系数． 课堂巩固 自测 返回导航 【解】　因为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)rC·(2x)r，所以a2k－1<0(k∈N＋)，a2k>0(k∈N).所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＋|a2 024|＝a0－a1＋a2－…－a2 023＋a2 024＝32 024. － $