4.1 二项式定理的推导-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．二项式的展开式中的常数项为(　　) A．－1 B．－21 C．21 D．42 解析：选B．二项式的展开式中的常数项即(x－1)7的展开式中含x2项的系数，即C(－1)5＝－21.故选B． 2．(2x－)6的展开式的中间项为(　　) A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2 解析：选B．(2x－)6的展开式的二项式通项为Tk＋1＝C(2x)6－k(－)k，则中间项为T4＝C(2x)3(－)3＝20×23×(－)×x3－×3＝－40x2.故选B． 3．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　) A．(2x＋2)5 B．2x5 C．(2x－1)5 D．32x5 解析：选D．原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 4．(2024·江西吉安期末)在(1＋x)4(1＋2y)a(a∈N)的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，若f(0，1)＋f(1，0)＝6，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B．f(0，1)＝C·C21，f(1，0)＝C·C，所以f(0，1)＋f(1，0)＝2a＋4＝6，解得a＝1.故选B． 5．(2024·江西南昌联考)在(2x－y＋z)7的展开式中，含x3y2z2项的系数为(　　) A．1 680 B．210 C．－210 D．－1 680 解析：选A．相当于在7个因式中有3个因式选2x，有C种选法，余下的4个因式中有2个因式选－y，有C种选法，最后余下2个因式中选z，把所选式子相乘即可得含x3y2z2项，而C(2x)3·C(－y)2·Cz2＝1 680x3y2z2，所以含x3y2z2项的系数为1 680.故选A． 6．(多选)已知在(－)n的二项展开式中，第6项为常数项，则(　　) A．n＝10 B．展开式中项数为13 C．含x2的项的系数为 D．展开式中有理项的项数为3 解析：选ACD．依题意，展开式的二项式通项为Tr＋1＝C··＝C··x，因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，解得n＝10，故A正确；由n＝10，得的展开式中项数为10＋1＝11，故B错误；令＝2，得r＝2，所以含x2的项的系数为C×＝，故C正确；由 得r＝2，5，8，所以第3项，第6项，第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确．故选ACD． 7．(2024·陕西延安期中)若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝____________． 解析：由二项式定理得(1＋)5＝1＋C＋2C＋2C＋4C＋4C＝41＋29，依题意，a＋b＝41＋29，而a，b为有理数，因此a＝41，b＝29，所以a＋b＝70. 答案：70 8．(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7＋(1＋x)8＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数是____________． 解析：因为(1＋x)n(n≥2，n∈N＋)展开式的二项式通项为Tr＋1＝C·1n－r·xr＝C·xr，r＝0，1，2，…，n，在(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7＋(1＋x)8＋(1＋x)9的展开式中，令r＝2，则含x2项的系数为C＋C＋C＋C＋C＋C＝6＋10＋15＋21＋28＋36＝116. 答案：116 9．已知二项式(n∈N＋)展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为________． 解析：(n∈N＋)展开式的二项式通项为Tk＋1＝Cxn－k＝Cxn－6k(n∈N＋，0≤k≤n，k∈N)，因为(n∈N＋)展开式中含有常数项，所以n－6k＝0(n∈N＋，0≤k≤n，k∈N)有解，所以n＝6k(n∈N＋，0≤k≤n，k∈N)，当k＝1时，n＝6. 答案：6(答案不唯一) 10．化简： (1)(1＋)5＋(1－)5； (2)＋. 解：(1)(1＋)5＋(1－)5＝C()0＋C()＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＋C()0－C()＋C()2－C()3＋C()4－C()5＝1＋5＋10x＋10()3＋5x2＋()5＋1－5＋10x－10()3＋5x2－()5＝2＋20x＋10x2. (2)(2x＋3x－)4＋(2x－3x)4＝C(2x)4＋C(2x)3(3x)＋C(2x)2·(3x)2＋C(2x)(3x)3＋C(3x)4＋C(2x)4－C(2x)3(3x)＋C(2x)2(3x)2－C(2x)·(3x)3＋C(3x)4＝2C(2x)4＋2C(2x)2(3x)2＋2C(3x)4＝32x2＋432＋162x－2. 11．(x＋1)2(x＋2)2(x＋3)2的展开式中x5的系数为(　　) A．1 B．6 C．12 D．144 解析：选C．由题意，对于整式(x＋1)2(x＋2)2(x＋3)2，5个括号选出x，1个括号不选x，则C×3·x5＋C×2·x5＋C×1·x5＝6x5＋4x5＋2x5＝12x5.故选C． 12．(2024·安徽合肥期末)(xy＋y－2x－2)6的展开式中x3y5的系数为(　　) A．－240 B．240 C．－360 D．360 解析：选A．(xy＋y－2x－2)6＝(x＋1)6(y－2)6，其展开式中x3y5的系数为CC×(－2)＝120×(－2)＝－240.故选A． 13．在的展开式中，x3的系数为________． 解析：＝ 的展开式的通项为Tr＋1＝C(1＋x)12－r·＝(－1)rC(1＋x)12－r·x－2 023r，r∈N，r≤12，当r≥1时，(1＋x)12－r展开式中x的最高指数小于12，而x－2 023r的指数小于等于－2 023，因此Tr＋1中x的指数是负整数，要得到x3项，当且仅当r＝0，所以展开式中x3的系数是(1＋x)12展开式中x3的系数C＝＝220. 答案：220 14．(2024·江苏淮安检测)给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于16； ②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4∶1. 从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答， 已知(x＋)n(n∈N＋)，________，求： (1)展开式中第四项； (2)展开式中所有的有理项． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)展开式的二项式通项为Tr＋1＝Cxn－r·＝Cx，r＝0，1，2，…，n，若选①，则由题得C＋C＋C＝16，所以1＋n＋＝16，即n2＋n－30＝0，解得n＝5或n＝－6(舍去)，所以n＝5.若选②，则由题得＝＝n－1＝4，所以n＝5，所以展开式中的第四项为T4＝Cx＝x. (2)由(1)可得展开式的二项式通项为Tr＋1＝Cx，r＝0，1，2，…，5，当5－∈Z(r＝0，1，2，3，4，5)，即r＝0，2，4时得展开式中的有理项，所以展开式中所有的有理项为T1＝x5，T3＝Cx＝x4， T5＝C x＝x3. 15．已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项，则： (1)n的值为______； (2)含x的整数次幂的项有______项． 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)n－k·(－)k＝(－1)k()n－kCx2n－k. (1)因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10. (2)要使20－k为整数，需k为偶数．由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项． 答案：(1)10　(2)6 16．(2024·广东东莞期末)从特殊到一般的推广是数学研究的一种方法，如从(a＋b)n的展开式推广到(a＋b＋c)n的展开式． (1)写出(a＋b＋c)8的展开式中含a2b3c3的项(记为T(2，3，3))，并求该项的系数； (2)写出(a＋b＋c)n的展开式的通项，并解释其正确性． 解：(1)由二项展开式可知(a＋b)8＝Ca8－rbr，r＝0，1，2，…，8，则(a＋b＋c)8＝[c＋(a＋b)]8＝C(a＋b)rc8－r＝CCar－kbkc8－r，其中0≤k≤r≤8，且r，k∈N，故T(2，3，3)的系数为k＝3，r＝5时CC的值，即有T(2，3，3)＝CCa2b3c3＝560a2b3c3，系数为560. (2)(a＋b＋c)n的展开式的通项为T(r－k，k，n－r)＝CCar－kbkcn－r，其中0≤k≤r≤n，且r，k∈N.解释：由二项展开式可知(a＋b)n＝Can－rbr，r＝0，1，2，…，n，则(a＋b＋c)n＝[c＋(a＋b)]n＝C(a＋b)rcn－r＝CCar－kbkcn－r＝CCar－k·bkcn－r，其中0≤k≤r≤n，且r，k∈N，故(a＋b＋c)n的展开式的通项为T(r－k，k，n－r)＝CCar－kbkcn－r，其中0≤k≤r≤n，且r，k∈N. 学科网（北京）股份有限公司 $