4.1 二项式定理的推导-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§4　二项式定理 4．1　二项式定理的推导 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理．　2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题． 一　二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝__________________(n∈N＋) 二项展开式 等号右边的多项式 二项式系数 各项系数____________________ 二项式通项 Tk＋1＝________________ [答案自填] Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　C(k＝0，1，2，…，n)　Can－kbk 思考　二项展开式中，二项式系数和项的系数是否相同？ 提示：二项式系数与项的系数不是同一概念．如(a＋bx)n(a，b是常数)的二项展开式，第r＋1项的二项式系数为C，它是一个正数，而第r＋1项的系数为Can－rbr，其值可正可负． 　(1)求的展开式； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 【解】　(1)方法一：＝1＋C＋C＋C＋＝1＋＋＋＋. 方法二：＝(x＋1)4＝·(x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1)＝1＋＋＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负交替的情况．对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是(a－b)n的形式． [跟踪训练1] (1)化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　) A．x4 B．(x－1)4 C．(x＋1)4 D．x4－1 解析：选A．原式＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0·(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4. (2)求(3＋)4的展开式． 解：(3＋)4＝C(3)4＋C·(3)3·＋C(3)2·()2＋C·(3)()3＋C()4＝81x2＋108x＋54＋＋. 二　求二项展开式的特定项或系数 　已知展开式中第3项的系数比第2项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x3的项． 【解】　(1)因为T3＝C()n－2·(－)2＝4Cx，T2＝C()n－1·(－)＝－2Cx，依题意得4C＋2C＝162，解得n2＝81.因为n∈N＋，所以n＝9. (2)设第(r＋1)项含x3，则Tr＋1＝C()9－r(－)r＝(－2)rCx，所以＝3，解得r＝1，所以第2项为含x3的项，T2＝－2Cx3＝－18x3. 【变式探究】 1．(设问变式)在本例条件下，求二项展开式中的常数项． 解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，若Tr＋1为常数项，则9－3r＝0，所以r＝3，因此常数项为第4项，即T4＝(－2)3C＝－672. 2．(设问变式)在本例条件下，求二项展开式中所有的有理项． 解：因为Tr＋1＝(－2)rCx，若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数时满足题意．因为0≤r≤9，r∈N，所以r＝1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2＝－18x3，T4＝－672，T6＝－，T8＝－，T10＝－. (1)区分二项式系数、系数、项的概念； (2)求二项展开式中特定项的步骤： [跟踪训练2] (1)已知(x－)8的二项展开式中常数项为1 120，则实数a的值是(　　) A．－1 B．1 C．－1或1 D．2 解析：选C．(x－)8展开式的二项式通项为Tk＋1＝Cx8－k·(－)k＝(－2a)kCx8－2k，令8－2k＝0，解得k＝4.由条件得T5＝(－2a)4C＝1 120，解得a＝±1，故选C． (2)在(＋)15的二项展开式中，有理项的项数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A．(＋)15展开式的二项式通项为Tk＋1＝C()15－k·()k＝Cx，因为0≤k≤15且k∈N，所以当∈Z，即k＝3，9，15时为有理项，共3项，故选A． 三　二项式定理的灵活应用 角度1　二项式乘积的展开式的特定项问题 　(1)(2024·陕西西安期中)(1－x)10展开式中的常数项为(　　) A．8 B．12 C．－12 D．－8 (2)若(1－ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 【解析】　(1)因为(1－x)10展开式的二项式通项为Tr＋1＝C×110－r×(－x)r＝C(－x)r，r＝0，1，2，…，10，令r＝0，可得T1＝C(－x)0＝1；令r＝1，可得T2＝C(－x)＝－10x，所以展开式中的常数项为2×1＋(－10x)＝12.故选B． (2)(1－x)8展开式第r＋1项Tr＋1＝C18－r·(－x)r＝(－1)rCxr，(1－ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为1·(－1)2C－a·(－1)C＋1·(－1)0C，所以1·(－1)2C－a·(－1)C＋1·(－1)0C＝21，解得a＝－1.故选C． 【答案】　(1)B　(2)C 角度2　三项展开式问题 　(1)的展开式中，的系数为(　　) A．60 B．－60 C．120 D．－120 (2)(x2－2x＋y)6的展开式中，x3y3的系数为____________． 【解析】　(1)设的通项为Tr＋1＝C，设的二项式通项为Tk＋1＝Cx6－r－k＝(－2)kCx6－r－ky－k，令k＝2，6－r－k＝4，即k＝2，r＝0.所以的系数为(－2)2CC＝60.故选A． (2)由题意可知(x2－2x＋y)6＝[(x2－2x)＋y]6，展开式的二项式通项为Tr＋1＝C(x2－2x)6－ryr＝C·[C(x2)6－r－t(－2x)t]·yr＝C·C(－2x)t·(x2)6－r－t·yr ＝C·C·(－2)t·x12－2r－t·yr， 由于要求展开式中x3y3的系数，所以r＝3，t＝3.则展开式中x3y3的系数为 C·C·(－2)3＝－160. 【答案】　(1)A　(2)－160 (1)两个二项式乘积的展开式中的特定项问题 ①分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．②找到展开式中特定项的组成部分．③分别求解再相乘，求和即得． (2)三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性． [跟踪训练3] (1)(x2＋1)2(x－1)6的展开式中，x5的系数为____________． 解析：由(x－1)6展开式的二项式通项为Tr＋1＝Cx6－r(－1)r.所以(x2＋1)2(x－1)6＝(x4＋2x2＋1)(x－1)6的展开式中x5的系数为1×(－C)＋2×(－C)＋1×(－C)＝－6－2×20－6＝－52. 答案：－52 (2)(x2－2x＋1)4的展开式中含x3项的系数为____________． 解析：二项式(x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8，所以展开式中含x3的项为Cx3·(－1)5＝－56x3，所以含x3项的系数为－56. 答案：－56 1．(x－1)5的展开式中x的系数是(　　) A．5 B．－5 C．－4 D．4 解析：选A．在(x－1)5的展开式中含x的项为C·x1×(－1)4＝5x，所以x的系数是5.故选A． 2．(2024·江西南昌期末)已知的展开式中，第二项和第四项的二项式系数相等，则n＝____________． 解析：第二项和第四项的二项式系数相等，所以C＝C，所以n＝4. 答案：4 3．Can－k－1bk＋1是(a＋b)n(k＋1≤n，k∈N，n∈N＋)的第____________项． 解析：Can－k－1bk＋1是(a＋b)n(k＋1≤n，k∈N，n∈N＋)的第k＋2项． 答案：k＋2 4．用二项式定理展开下列各式： (1)(＋b)6；(2)(2－)7. 解：(1)(＋b)6＝＝C＋Cb＋Cb2＋Cb3＋Cb4＋Cab5＋Cb6＝a2＋6ab＋15ab2＋20ab3＋15ab4＋6ab5＋b6. (2)＝C(2)7＋C(2)6·＋C(2)5＋C·(2)4＋C(2)3＋ C(2)2＋C(2)＋C＝128x－1 344x＋6 048x－15 120x＋22 680x－－20 412x－＋10 206x－－2 187x－. 1．已学习：(1)二项式定理； (2)二项展开式的通项． 2．须贯通：掌握一种方法：转化化归． 3．应注意：(1)二项式系数与项的系数的区别； (2)Can－kbk是展开式中的第k＋1项． 学科网（北京）股份有限公司 $