4.3 第2课时 空间中的距离问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　空间中的距离问题 学习目标 1.理解点面距、点线距的概念和向量表示．　2.理解两平面的夹角的向量表示．　3.掌握利用向量法求空间距离问题． 一　点到平面的距离 1．两个图形的距离 一个图形内任一点与另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离． 2．点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝____________． 点拨　(1)点P到平面α的距离还可以表示为d＝＝，其中n是平面α的一个法向量． (2)点A是平面α内的任意一点，解题时可灵活选取． (3)若直线l与平面α平行，则直线l与平面α的距离等于直线l上任一点P到平面α的距离(而不等于平面α内任一点到直线l的距离)；两个平行平面间的距离等于其中一个平面内的任一点到另一个平面的距离． [答案自填] |·n0| 　如图所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离． 【解】　设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以AC⊥BD，AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B(－，0，0)，D(，0，0)，F(0，1，2)，A(0，1，0).＝(2，0，0)，＝(，1，2)，设平面FBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(0，－2，1)，又因为＝(0，0，2)，所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝. 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. [跟踪训练1] 如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 解：如图， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0).过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，所以B(1，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(－1，－，1).设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即所以y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1).因为＝(0，0，－2)，所以点A1到平面ABE的距离d＝＝＝.因为A1B1∥AB，AB⊂平面ABE，A1B1⊄平面ABE，所以A1B1∥平面ABE，所以直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离，所以直线A1B1与平面ABE的距离为. 二　点到直线的距离 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为d＝ . 点拨　(1)点P到直线l的距离也可以表示为d＝ ＝，其中l是直线l的一个方向向量． (2)点A是直线l上的任意一点，解题中可灵活选取． (3)两条平行直线间的距离等于其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离． 　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝3，点E，F分别是CC1，A1D1的中点，点G为BC上的一点，且CG＝CB. (1)求点G到直线AF的距离； (2)证明：AF∥EG，并求它们之间的距离． 【解】　连接AG，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A(2，0，0)，E(0，2，)，F(1，0，3)，G(，2，0). (1)方法一：易得＝(－1，0，3)，＝(，－2，0)，则||＝，·＝－，故点G到直线AF的距离d＝＝ ＝. 方法二：过点G作直线AF的垂线段GH，垂足为H，设＝λ ＝λ(－1，0，3)＝(－λ，0，3λ)，则＝＋＝(，－2，0)＋(－λ，0，3λ)＝(－λ，－2，3λ).由⊥得，·＝－1×(－λ)＋0×(－2)＋3×3λ＝0，解得λ＝，即＝(，－2，).故点G到直线AF的距离d＝||＝＝. (2)因为＝(－1，0，3)，＝(，0，－)，于是有＝－2 ，所以∥，即AF∥EG.所以平行直线EG与AF之间的距离等于点G到直线AF的距离，即AF与EG之间的距离为. 利用向量方法求点到直线的距离的方法 (1)利用点到直线的距离公式： ①确定直线的方向向量l，并求l0； ②确定所求点P与直线上任意一点A的向量，并计算||，|·l0|； ③设点到直线的距离为d，则d＝ . (2)过已知点作已知直线的垂线段，将点到直线的距离转化为求垂线段所对应的向量的模，即利用待定系数法求垂足的坐标，或直接用待定系数法求垂线段所对应的向量的坐标，求向量的模即得点到直线的距离． [跟踪训练2] 在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求点O1到直线AC的距离． 解：方法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0).因为＝(－2，3，0)，⊥，∥，所以解得所以D(，，0)，所以||＝＝，即点O1到直线AC的距离为. 方法二：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，所以＝(2，0，－2)，＝(－2，3，0)，所以·＝(2，0，－2)·(－2，3，0)＝－4，||＝2，＝，所以点O1到直线AC的距离d＝＝. 三　空间距离的综合问题 　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解】　取AD的中点O，在△PAD中，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0).假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(1，－y，0).设平面PCD的一个法向量为n＝(x0，y0，z0)，则所以即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1).所以点Q到平面PCD的距离为d＝＝＝，所以y＝－或y＝(舍去).此时＝(0，，0)，＝(0，，0)，则||＝，||＝.所以存在点Q满足题意，此时＝. 求距离有关的探究性问题，可首先假设所求的点存在，然后根据题设进行推理论证，如果得到了符合条件的点的坐标， 则所求点存在，否则不存在． [跟踪训练3] 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CA＝2，侧棱AA1＝2，D是CC1的中点，则在线段A1B上是否存在一点E(异于A1，B两点)，使得点A1到平面AED的距离为？ 解：假设存在点E满足题意，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则C(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，所以＝(0，0，－2)，＝(2，－2，2).设＝λ，λ∈(0，1)，则＝＋＝(0，2，0)＋(2λ，－2λ，2λ)＝(2λ，2(1－λ)，2λ)，所以E(2λ，2(1－λ)，2λ)，＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，设n＝(x，y，z)为平面AED的一个法向量，则即取x＝1，则y＝，z＝2，即n＝(1，，2)为平面AED的一个法向量．由于点A1到平面AED的距离为d＝＝，所以＝，又λ∈(0，1)，所以λ＝.故存在点E，且当E为线段A1B的中点时，点A1到平面AED的距离为. 1．已知A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则点A到直线BC的距离为(　　) A．2 B． C．4 D． 解析：选B．由题意可得，＝(－2，1，0)，＝(0，－1，2)，则点A到直线BC的距离为＝＝.故选B． 2．两个平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两个平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两个平面间的距离是(　　) A． B． C． D．3 解析：选B．依题意，得两个平面间的距离d＝＝.故选B． 3．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则P(－2，1，4)到平面α的距离为________． 解析：因为＝(1，2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以点P到平面α的距离为＝＝. 答案： 4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1. 定义：两条异面直线之间的距离是其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．利用此定义求异面直线PB与CD之间的距离． 解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).＝(－1，0，2)，设Q为直线PB上一点，且＝λ＝(－λ，0，2λ)，连接QC(图略)，又＝(－1，1，0)，＝(0，－1，0)，则＝＋＝(－λ，－1，2λ)，即＝(λ，1，－2λ)，则点Q到直线CD的距离d＝＝＝，因为λ2＋λ＋＝(λ＋)2＋≥，所以d≥，所以异面直线PB与CD之间的距离为. 1．已学习：点到平面的距离与直线到平面的距离、点到直线的距离． 2．须贯通：利用三种距离公式解决与距离有关的问题体现了数形结合与转化化归的思想方法． 3．应注意：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用；对公式推导过程的理解是应用的基础． 学科网（北京）股份有限公司 $