4.3 第1课时 空间中的角-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．在大小为的二面角的一个面内有一个点P，若点P到二面角的另一个面的距离为4，则点P到二面角的棱的距离为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 解析：选C．设点P到二面角的棱的距离为d.由题意，＝sin ，即＝，解得d＝4. 2．在一个二面角的两个半平面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1，3)，(2，2，4)，则这个二面角的平面角的余弦值为(　　) A． B．－ C． D．或－ 解析：选D．因为＝.所以这个二面角的平面角的余弦值为或－.故选D． 3．已知在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与AD1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，并设AB＝1，如图所示． 则A(1，0，0)，D1(0，0，2)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，可得＝(0，－1，1)，＝(－1，0，2)，则|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线BE与AD1夹角的余弦值为.故选C． 4.(2024·河南南阳期末)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，B1C1的中点，则直线AC与平面EFC夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．建系如图，设正方体边长为2， 所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，1，2)，F(1，2，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，1，－2)，设平面EFC的法向量为m＝(x，y，z)，所以令x＝2，则y＝－2，z＝－1，所以m＝(2，－2，－1)，所以|cos 〈，m〉|＝＝＝，所以直线AC与平面EFC夹角的正弦值为.故选B． 5．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形 ABCD 是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则二面角A-BD-P的平面角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选A．如图所示， 建立空间直角坐标系，则B(3，0，0)，P，D(0，4，0)，所以＝(3，0，－)，＝(－3，4，0).设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则即令x＝1，则n＝(1，，).又n1＝(0，0，)为平面ABD的一个法向量，所以cos n1，n＝＝.由图知二面角A-BD-P的平面角为30°. 6．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使二面角A-BD-C的平面角为90°，则下列四个结论中正确的有(　　) A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．直线AB与平面BCD的夹角为 D．直线AB与CD的夹角为 解析：选ABD．如图所示， 以BD中点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，设正方形ABCD的边长为，则O(0，0，0)，D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)，所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，·＝0，故AC⊥BD，A正确；又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形，B正确；为平面BCD的一个法向量，＝(－1，－1，0)，＝(0，1，0)，|cos ，|＝＝＝，因为直线与平面的夹角的范围是，所以直线AB与平面BCD的夹角为，故C错误；又＝(1，0，－1)，|cos ，|＝＝＝，因为两异面直线的夹角的取值范围是，所以直线AB与CD的夹角为，故D正确． 7．已知点P在二面角α－l－β的一个平面α上，点P到平面β的距离为h，点P到棱l的距离为h，则二面角的平面角的大小为________． 解析：当二面角α－l－β为钝角时，如图所示， 设PO⊥β，PA⊥l，连接OA，因为l⊂β，所以PO⊥l，而PO∩PA＝P，PO，PA⊂平面POA，所以l⊥平面POA，而OA⊂平面POA，所以l⊥OA，所以∠PAO是二面角α－l－β的平面角的补角，在Rt△POA中，sin ∠PAO＝＝＝，∠PAO＝，所以二面角的平面角的大小为π－＝，同理，当二面角α-l-β为锐角时，二面角的平面角的大小为. 答案：或 8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是正方形A1B1C1D1的中心，则直线BO与平面ABC1D1的夹角的正弦值为______________________． 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，O(，，1)， ＝(1，0，－1)，＝(0，1，0)，＝(－，－，1)，设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n＝(1，0，1)，设直线BO与平面ABC1D1的夹角为θ，则直线BO与平面ABC1D1夹角的正弦值sin θ＝＝＝. 答案： 9.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，若异面直线EF与BD的夹角为α，则cos α＝________． 解析：设正方形ABCD的边长为2，由题意得AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，1)，F(1，2，0)，则＝(－2，2，0)，＝(1，2，－1)，所以cos α＝＝＝. 答案： 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝，E是PC上任意一点，AC∩BD＝O. (1)求证：平面EBD⊥平面PAC； (2)若E是PC的中点，求直线ED与平面EBC夹角的正弦值． 解：(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PAC. (2)取BC的中点F，连接AF，因为底面ABCD为菱形且∠ABC＝，所以△ABC为等边三角形，所以AF⊥BC，所以AF⊥AD， 如图，建立空间直角坐标系，令AB＝PA＝2，则D(0，2，0)，C(，1，0)，B(，－1，0)，E(，，1)，所以＝(，－，1)，＝(0，2，0)，＝(，，－1)，设平面EBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以即令x＝2，则y＝0，z＝，所以n＝(2，0，)，设直线ED与平面EBC的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以直线ED与平面EBC夹角的正弦值为. 11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为线段AA1上一点．若二面角B1-DC-C1的平面角的大小为60°，则AD的长为(　　) A． B． C．2 D． 解析： 选A．如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝t(0≤t≤2)，则C(0，0，0)，B(0，2，0)，D(1，0，t)，B1(0，2，2)，＝(0，2，0)，＝(1，0，t)，＝(0，2，2)，又平面CDC1的一个法向量为＝(0，2，0).设平面CDB1的一个法向量为m＝(x，y，z)，由得令y＝1，得平面CDB1的一个法向量为m＝(t，1，－1)，由题意知cos 60°＝＝＝，解得t＝(负值已舍去). 12.(2024·河南濮阳检测)在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分别是AB，A1B1的中点，AC＝BC＝1，A1A＝2.则二面角D -A1C-C1的平面角的余弦值为__________． 解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A1(1，0，2)，C(0，0，0)，D，可得＝(1，0，2)，＝，设平面DA1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝2，则y＝－2，z＝－1，即n＝(2，－2，－1)，由题意可得，平面A1CC1的一个法向量为m＝(0，1，0)，则cos 〈n，m〉＝＝＝－，由图形可知，二面角D -A1C-C1的平面角为钝角，所以二面角D－A1C－C1的平面角的余弦值为－. 答案：－ 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AA1＝2，AC＝，过BC的中点D作平面ACB1的垂线，交平面ACC1A1于点E，则直线BE与平面ABB1A1夹角的正切值为________． 解析：由题可知，AA1⊥AB，AA1⊥AC，AB⊥AC，故以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(，0，0)，B(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(，0，1)，＝(0，2，2)，＝(，0，0)，连接AC1与CA1交于点E′，连接DE′，则E′(，1，0)，＝(0，1，－1)，易知平面ABB1A1的一个法向量为＝(，0，0).因为·＝2×1＋2×(－1)＝0，·＝0，所以AB1⊥DE′，AC⊥DE′，所以DE′⊥平面ACB1，即点E与点E′重合，所以＝(，1，－2).设直线BE与平面ABB1A1的夹角为θ，则sin θ＝|cos ，|＝＝，因为θ∈，所以cos θ＝，故tan θ＝. 答案： 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使二面角C-DE-C1的平面角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 解：假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4).如图， 以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，则有E(3，a，0)，C1(0，4，2)，D(0，0，0).设平面DEC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，4，2)，＝(3，a，0)，则即令y＝1，得x＝－，z＝－2，即n＝(－，1，－2)，又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)，所以cos m，n＝＝ .由题意知＝，解得a＝3(负值已舍去)，所以在线段AB上存在点E，使二面角C-DE-C1的平面角的余弦值为，此时AE＝3. 15．在空间直角坐标系O-xyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m＝(a，b，c)的平面方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n＝(μ，υ，ω)(μυω≠0)的直线l的方程为＝＝.阅读上面的材料并解决下面的问题：现给出平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为＝＝，则直线l与平面α夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的一个法向量为m＝(3，－5，1)，因为经过点(0，0，0)的直线l的方程为＝＝，所以直线l的一个方向向量为n＝(3，2，－1).设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos m，n|＝＝，所以直线l与平面α夹角的正弦值为. 16.如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD＝. (1)若AD＝2，求四棱锥E－ABCD的体积的最大值； (2)有如下三个条件： ①4·＝·；②直线AD与BE的夹角的正弦值为；③＝. 请你从中选择两个作为条件，求直线AD与平面EAB夹角的余弦值． 注：若选择多个组合分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)在平面CDE内作EF⊥CD于点F，因为平面ABCD⊥平面CDE，平面ABCD∩平面CDE＝CD，所以EF⊥平面ABCD.显然EF的最大值为，所以四棱锥E－ABCD的体积的最大值Vmax＝×S矩形ABCD＝×××2＝. (2)由条件①4·＝·，得4||||·cos ∠CDE＝||||·cos ∠DCE，所以4DE·DE＝EC·EC，即2DE＝EC.又EC2＋DE2＝CD2＝5，所以DE＝1，EC＝2.由条件②直线AD与BE夹角的正弦值为，知因为AD∥BC，BC⊥平面CDE，所以∠CBE为直线AD与BE的夹角，即sin∠CBE＝，所以tan ∠CBE＝＝.由条件③得＝＝，则＝＝. 若选条件①②，则DE＝1，EC＝2，且＝，所以AD＝BC＝.若选条件①③，则DE＝1，EC＝2，且＝，所以＝，解得AD＝或AD＝－(舍去)，所以AD＝BC＝.若选条件②③，则＝＝，且＝，又EC2＋DE2＝CD2＝5，所以AD＝BC＝，则DE＝1，EC＝2.故从条件①②③中任选两个作为条件，都可以得到DE＝1，EC＝2，AD＝BC＝.下面求直线AD与平面EAB夹角的正弦值．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，D(0，0，)，E(，，)，所以＝(，，)，＝(，0，0)，＝(0，0，)，设平面EAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即 令z＝1，则x＝0，y＝－，所以n＝(0，－，1)，设直线AD与平面EAB的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，因为θ∈，所以cos θ＝＝，故直线AD与平面EAB夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $