4.3 第1课时 空间中的角-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

4．3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 学习目标 1.能用向量方法解决简单夹角问题．　2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 一　两条直线的夹角 1．两条异面直线的夹角 (1)定义：当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O，过点O作直线a′和b′，使得a′∥a，b′∥b，把a′，b′的夹角叫作异面直线a与b的夹角(如图). (2)范围：两异面直线a与b的夹角θ的取值范围是________． 2．两条异面直线夹角的求法 设异面直线l1与l2的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝________． [答案自填] 　 思考　直线的方向向量的夹角与异面直线的夹角有何差异？ 提示：若向量a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则异面直线a与b的夹角θ∈，且θ与两个方向向量的夹角a，b相等或互补．也就是说：当0<a，b≤时，θ＝a，b；当<a，b<π时，θ＝π－a，b.故cos θ＝|cos a，b|. 　如图，在直三棱柱A1B1C1-BC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D夹角的余弦值． 【解】　以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A-yz，则B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).因为|cos 〈A1B，C1D〉|＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D夹角的余弦值为. 求异面直线夹角的步骤 (1)确定两条异面直线的方向向量； (2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值； (3)得出两条异面直线的夹角； (4)回归原题，写出结论． [跟踪训练1] (1)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则直线MB1与D1N夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，所以＝(1，1，2)，＝(1，0，－2)，所以|cos 〈，〉|＝＝.所以直线MB1与D1N夹角的余弦值为. (2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E，F分别是A1C1，B1C1的中点，则直线AE与CF夹角的余弦值为_____________________________． 解析： 根据题意，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝CB＝CC1＝2，则A(2，0，0)，C(0，0，0)，E(1，0，2)，F(0，1，2)，＝(－1，0，2)，＝(0，1，2)，则＝＝.因此，直线AE与CF夹角的余弦值为. 答案： 二　直线与平面的夹角 1．概念 平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的________就是这条直线与这个平面的夹角． 2．范围 当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面的夹角为____． 当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面的夹角为________． 3．利用向量计算直线与平面的夹角的方法 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α的夹角θ∈，且θ＝－l，n(如图1)或θ＝l，n－(如图2)，故sin θ＝____________． [答案自填] 锐角　0　　|cos l，n| 提醒　除了用向量求线面角外，还可以根据直线与平面的夹角的定义，确定出待求角，转化为两直线的夹角来进行求解． 　如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点，求直线SN与平面CMN夹角的大小． 【解】　根据题意，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设PA＝1，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点，所以N(，0，0)，M(1，0，)，S(1，，0)，则＝(－，1，0)，＝(1，－1，)，＝(－，－，0), 设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，所以即所以取y＝1，得a＝(2，1，－2).设直线SN与平面CMN的夹角为θ，因为sin θ＝|cos 〈a，〉|＝＝.所以直线SN与平面线段CMN的夹角为. 【变式探究】 (综合变式)本例中的条件“S为BC的中点”改为“S是线段BC上一点，使得直线SN与平面CMN夹角的正弦值为”，其他条件不变，求线段SN的长． 解：由本例知，B(2，0，0)，C(0，1，0)，N(，0，0)，所以直线BC的方程为y＝－x＋1，设S(x，－x＋1，0)，0≤x≤2，则＝(x－，－x＋1，0)，又平面CMN的一个法向量a＝(2，1，－2)，设直线SN与平面CMN的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，a〉|＝＝，得4x2＋8x－5＝0，解得x＝或x＝－(舍去)，则＝(0，，0)，所以||＝，故线段SN的长为. 利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量a；③求平面的法向量n；④设线面角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，a〉|＝. [跟踪训练2] 如图，在直四棱柱ABCD-1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1，求直线AD与平面D1EF夹角的正弦值. 解：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，平面ABCD内过点A垂直于AB的直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(－，，0)，D1(－，，3)，E(0，0，2)，F(，，1)， 则＝(－，，0) ， ＝(，－，－1)，＝(2，0，－2).设平面D1EF的一个法向量为m＝(x，y，z)，由可得令x＝，则m＝(，－1，)，设直线AD与平面D1EF的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝，因此，直线AD与平面D1EF夹角的正弦值为. 三　平面与平面的夹角 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角n1，n2________(如图1)或________(如图2). 提醒　(1)求二面角的平面角问题转化为两平面法向量的夹角问题． (2)平面与平面的夹角的取值范围是，二面角的取值范围是[0，π]. (3)二面角与平面与平面的夹角不是相同的概念． [答案自填] 相等　互补 　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为4的菱形，∠ABC＝，E，F分别是棱BC，CD的中点，且________． ①平面PEF⊥平面ABCD；②(＋)·(＋)＝0.从①②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答． (1)求证：AC⊥PE； (2)若PC＝3，且PE＝PF，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】　选择条件①. (1)证明：连接BD，如图．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.因为平面PEF⊥平面ABCD，平面PEF∩平面ABCD＝EF，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以AC⊥PE. (2)如图，设AC∩EF＝O，连接PO，由(1)知，AC平分EF，所以O为EF中点．因为PE＝PF，所以PO⊥EF，因为平面PEF⊥平面ABCD，平面PEF∩平面ABCD＝EF，PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABCD，又OC⊂平面ABCD，所以PO⊥OC.因为BC＝4，∠ABC＝，所以OC＝，又PO2＋OC2＝PC2，PC＝3，所以PO＝.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(，2，0)，C(－，0，0)，D(，－2，0)，P(0，0，)，所以＝(3，0，－)，＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(，0，).设平面PAD的一个法向量n1＝(x1，y1，z1).所以令x1＝1，则n1＝.设平面PBC的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，所以令x2＝1，则n2＝.所以|cos n1，n2|＝＝＝，则平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. 选择条件②. (1)证明：连接BD，设AC∩EF＝O，连接PO，因为四边形ABCD是菱形，所以＋＝，AC⊥BD，AC平分BD.因为E，F分别为BC，CD的中点，所以EF∥BD，所以AC⊥EF，AC平分EF，所以O为EF中点，所以＋＝2 ，所以(＋)·(＋)＝·2＝0，即·＝0，所以AC⊥PO.又PO∩EF＝O，PO，EF⊂平面PEF，所以AC⊥平面PEF，又PE⊂平面PEF，所以AC⊥PE. (2)由(1)知O为EF中点．下同选择条件①(2)解析． 利用法向量求平面与平面的夹角的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)分别求出两平面的法向量； (3)求出两个法向量的夹角； (4)确定平面与平面的夹角． [跟踪训练3] 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝，求二面角A-A1C1-B1的平面角的余弦值． 解：如图所示， 建立空间直角坐标系B-xyz，则A(2，0，0)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，).所以＝(－，－，)，＝(0，2，0)，＝(－2，0，0).设平面AA1C1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1).则 即取x1＝，可得平面 AA1C1的一个法向量为m＝(，0, ).设平面A1C1B1的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则则取y2＝，可得平面A1C1B1的一个法向量为n＝(0，，).于是cos m，n＝＝＝.由图知二面角A-A1C1-B1的平面角为钝角，故二面角A-A1C1-B1的平面角的余弦值为－. 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为，则l1与l2的夹角为(　　) A． B． C．或 D．以上均不对 解析：选A．异面直线l1与l2的夹角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线的夹角的范围为，故选A． 2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE的夹角的大小为________． 解析：以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，＝(1，0，－1)，＝(1，1，－1).设平面BCE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则可取n＝(1，0，1).又平面ADE的一个法向量为＝(1，0，0)，设平面ADE与平面BCE的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，故平面ADE与平面BCE的夹角的大小为45°. 答案：45° 3.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D； (2)求直线B1C1与平面ACD1夹角的正弦值． 解：(1)证明：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)，D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3).易知＝(，1，0)，＝(－，3，－3)，·＝0，所以AC⊥B1D. (2)设平面ACD1的一个法向量为m＝(x，y，z)，＝(，1，0)，＝(0，3，3)，则即令x＝1，则y＝－，z＝，所以平面ACD1的一个法向量为m＝(1，－，).设直线B1C1与平面ACD1的夹角为θ，又＝(0，1，0)，所以sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝，所以直线B1C1与平面ACD1夹角的正弦值为. 1．已学习：两条直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角与二面角． 2．须贯通：利用空间向量求空间角，体现了数形结合与转化化归的思想方法． 3．应注意：(1)混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念、把握空间角的范围； (2)对二面角的平面角与两平面的法向量所成角的关系认识不到位而致误． 学科网（北京）股份有限公司 $