3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

3．2　空间向量运算的坐标表示及应用 学习目标 1.理解空间向量的标准正交基．　2.掌握空间向量的运算与坐标的关系，能利用坐标运算解决问题．　3.掌握空间向量的坐标与空间向量的平行与垂直的关系，并能利用数量积运算求解简单的长度、夹角问题． 一　空间向量运算的坐标表示 1．空间中向量的坐标 (1)标准正交基 在空间直角坐标系O-xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个__________________的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基． (2)空间向量的坐标 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk.反之，任意给出一个三元有序实数组(x，y，z)，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应．这样，就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝__________．单位向量i，j，k都叫作___________. (3)若点A的坐标为(x1，y1，z1)，点B的坐标为(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2i＋y2j＋z2k)－(x1i＋y1j＋z1k)＝(x2－x1)i＋(y2－y1)j＋(z2－z1)k＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1).也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 2．空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b ______________________ 加减法 a±b _____________________ 数乘运算 λa _________________(λ∈R) 数量积 a·b _________________ 点拨　(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致． (2)向量的坐标就是点P在空间直角坐标系O-xyz中的坐标． [答案自填] 互相垂直　(x，y，z)　坐标向量 x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2　(x1±x2，y1±y2，z1±z2) (λx1，λy1，λz1)　x1x2＋y1y2＋z1z2 　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． (2)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5). ①求顶点B，C的坐标； ②求·； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 【解】　(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4. (2)①设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，所以＝(x－2，y＋5，z－3)，＝(x1－x，y1－y，z1－z).因为＝(4，1，2)，所以解得所以点B的坐标为(6，－4，5).因为＝(3，－2，5)，所以解得所以点C的坐标为(9，－6，10). ②因为＝(－7，1，－7)，＝(3，－2，5)，所以·＝－21－2－35＝－58. ③设P(x2，y2，z2)，则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)，所以解得故点P的坐标为(，－，). 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． [跟踪训练1] (1)已知点A(2，1，－3)，B(1，－2，3)，且＝(3，5，4)，则·＝________________________，＋2＝____________． 解析：设C(x，y，z)，则(x－2，y－1，z＋3)＝(3，5，4)，所以x＝5，y＝6，z＝1，即C(5，6，1)，所以＝(4，8，－2).所以·＝(3，5，4)·(4，8，－2)＝3×4＋5×8＋4×(－2)＝44.又＝(－1，－3，6)，则＋2＝(－1，－3，6)＋2(4，8，－2)＝(7，13，2). 答案：44　(7，13，2) (2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________． 解析：据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 答案：2 二　空间向量平行、垂直的坐标表示 我们知道，当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得a＝λb.如果设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔＝＝.类似地，可得a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 思考1　空间向量a＝(a1，a2，a3)平行于坐标平面xOy时其坐标有何特点？ 提示：a3＝0. 思考2　空间向量b＝(b1，b2，b3)平行于x轴时其坐标有何特点？ 提示：b2＝b3＝0. 　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝(－，－1，1)，试判断2a－b与c是否平行？ (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 【解】　(1)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以2a－b＝(3，2，－2)，又c＝(－，－1，1)，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－. (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． [跟踪训练2] (1)(多选)已知向量e1＝(t，2t，2)，e2＝(2t－2，－t，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．若e1⊥e2，则t＝－1 B．若e1∥e2，则t＝ C．的最大值为2 D．的最小值为 解析：选AB．对A，若e1⊥e2，则e1·e2＝t(2t－2)－2t2－2＝0，得t＝－1，故A正确；对B，若e1∥e2，则e1＝λe2，即(t，2t，2)＝λ(2t－2，－t，－1)，得 解得故B正确；对C，D，＝＝≥2，当t＝0时，取最小值，最小值为2，故C，D错误．故选AB． (2)与a＝(2，－1，2)共线且满足a·z＝－18的向量z的坐标为________． 解析：因为z与a共线，设z＝λa＝(2λ，－λ，2λ).又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，所以λ＝－2，所以z＝(－4，2，－4). 答案：(－4，2，－4) 三　空间向量长度与夹角的坐标表示 1．空间向量的模与夹角 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 类别 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos 〈a，b〉＝(a≠0，b≠0) cos 〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离 已知点A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)，A，B两点间的距离|AB|＝||＝. 　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°，点N是线段A1A的中点． (1)求||； (2)求cos 〈，〉的值． 【解】　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，N(1，0，1)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2). (1)＝(1，－1，1)，则||＝＝. (2) ＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，则·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，||＝＝，||＝＝.所以cos 〈，〉＝＝＝. 【变式探究】 (设问变式)本例条件不变，求△CB1N的面积． 解：同例题解法建立空间直角坐标系(图略).可得＝(0，1，2)，＝(1，0，1)，·＝0×1＋1×0＋2×1＝2，则||＝＝，||＝＝，cos 〈，〉＝＝＝，所以sin 〈，〉＝ ＝，所以S△CB1N＝×|CB1|||×sin 〈，〉＝×××＝.故△CB1N的面积为. 利用空间向量的坐标运算求解夹角、距离问题的步骤： (1)根据几何图形的特点建立恰当的空间直角坐标系； (2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标； (3)利用空间向量的夹角公式和模的公式求解． [跟踪训练3] 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点E，F分别为线段D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为线段C1G的中点． (1)求cos 〈，〉的值； (2)求FH的长． 解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则E(0，0，)，F(，，0)，C1(0，1，1)，G(0，，0). (1)由题意，＝(0，－，－1)，则||＝＝，＝(，，－)，则||＝＝.又·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝，所以cos 〈，〉＝＝＝. (2)由题意，H(0，，)，则＝(－，，)，所以||＝＝，即FH的长为. 四　空间向量坐标运算的综合应用 　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB＝3，BC＝5. (1)求cos 〈，〉的值； (2)求证：在线段BC1上存在点D， 使得AD⊥A1B，并求的值． 【解】　(1)由题意，AC＝4，BC＝5，AB＝3，所以BC2＝AB2＋AC2，所以AB⊥AC，又AA1⊥平面ABC，直线AC，AB，AA1两两垂直，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A1(0，0，4)，C1(4，0，4).所以＝(0，3，－4)，＝(－4，0，－4)，·＝0×(－4)＋3×0＋(－4)×(－4)＝16，||＝＝5，||＝＝4，所以cos 〈，〉＝＝＝. (2)设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且＝λ(0≤λ≤1)，由(1)知，＝(x，y－3，z)，＝(4，－3，4)，＝(0，3，－4).所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，可得所以＝(4λ，3－3λ，4λ)，由AD⊥A1B，得·＝3(3－3λ)－4×4λ＝9－25λ＝0，解得λ＝，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时＝. 利用空间向量求解探索性问题，要根据点的某一条件设出点的坐标，然后列出坐标适合的方程(组)或不等式，将存在性问题转化为方程或不等式的求解问题． [跟踪训练4] 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． (1)证明：BE⊥PD； (2)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长． 解：(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，所以直线AB，AD，AP两两垂直，所以以A为坐标原点，以AB， AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(1，1，1)，D(0，2，0)，＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，所以·＝(0，1，1)·(0，2，－2)＝0＋1×2＋1×(－2)＝0，所以BE⊥PD. (2)因为＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，由点F在棱PC上，设＝λ＝(－2λ，－2λ，2λ)，0≤λ≤1，所以＝＋＝(1－2λ，2－2λ，2λ)，因为BF⊥AC，所以·＝2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝.所以||＝(1－)·||＝＝，即线段PF的长为. 1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　) A．(16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4) 解析：选D．因为a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，所以4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12－4，－8＋8，4＋0)＝(8，0，4).故选D． 2．(2024·江西吉安期末)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b方向上的投影向量c＝(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(2，4，4) 解析：选B．向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，a·b＝1×2＋3×1＋0×1＝5，|b|＝＝，所以向量a在向量b方向上的投影向量c＝＝b＝.故选B． 3．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________． 解析：因为＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，所以||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，所以cos 〈，〉＝＝，又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝. 答案： 4．已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5). (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； (2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值． 解：由题意知a－3b＝(1，5，－1)－3(－2，3，5)＝(1，5，－1)－(－6，9，15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1，5，－1)＋(－2，3，5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2，3，5)＝(λ－2，5λ＋3，－λ＋5). (1)因为(λa＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得λ＝－. (2)因为(a－3b)⊥(λa＋b)，所以(7，－4，－16)·(λ－2，5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝. 1．已学习：空间向量运算的坐标表示及应用． 2．须贯通：空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广(在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题． 3．应注意：(1)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件； (2)讨论向量夹角忽略向量共线的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $