2 第1课时 空间向量的概念及线性运算-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B．＝ 的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 解析：选C．对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；对于B，＝的充要条件是||＝||，且，同向．但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D错误．故选C． 2．已知向量a，b互为相反向量，|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A．a＝b B．a＋b＝0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3 解析：选D．向量a，b互为相反向量，则a，b的模相等，方向相反；a＋b＝0，故A，B，C错误，D正确．故选D． 3．(2024·陕西咸阳期末)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点D为AC的中点，3＝，则＝(　　) A．a－b＋c B．a－b＋c C．a－b＋c D．a－b＋c 解析：选B．＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝a－b＋c.故选B． 4.如图，在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：选A．依题意，＝＋＝＋ ＝＋(A1B1－)＝－－＝a－b－c.故选A． 5．(2024·安徽亳州统考)已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O为线段AC的中点，则＋＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．因为O为线段AC的中点，所以＋＝2，所以＋＋＝2＋＝＋，因为在长方体ABCD -A1B1C1D1中，＝，＝，所以＋＝＋＝，即＋＋＝．故选C． 6．(多选)(2024·江西宜春检测)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝－a－b B．＝a＋b C．＝－a＋b D．＝a 解析：选ABC．因为＝a，＝b，所以＝＋＝－＋＝－－＝－a－b，故选项A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故选项B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故选项C正确；＝＝－a，故选项D错误．故选ABC． 7．化简：(a＋2b－3c)＋5(a－b＋c)－3(a－2b＋c)＝______________． 解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝(＋－3)a＋(1－＋6)b＋(－＋－3)c＝a＋b－c. 答案：a＋b－c 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若＋x＋＋＋＝0，则x可以是图中有向线段所示向量中的_________________________.(至少写出两个) 解析：因为＝，＝，所以＋x＋＋＋＝＋x＋＋＋＝0.所以＋x＋＝0，所以x＝．又因为＝＝＝，所以x可以是，，，中的任意一个． 答案：A1B1，，，D1C1(写出两个即可) 9．(2024·广西钦州月考)设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______________． 解析：因为＝2e1－e2，＝3e1＋3e2，＝e1＋ke2，所以＝＋＝5e1＋2e2，又因为A，C，D三点共线，所以∥，因为e1，e2不共线，所以＝5，所以2－5k＝0，所以k＝. 答案： 10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋； (2)＋＋ ； (3) －－. 解：(1)＋＝． (2)因为M是BB1的中点．所以＝ ．又＝， 所以＋＋＝＋＝. (3) －－＝－＝．向量，，如图所示． 11．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选C．若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.故选C． 12.如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝____________．(用a，b，c表示) 解析：由题意得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋－＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 13.光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝__________. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 答案： 14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，证明：A1，G，C三点共线． 证明：连接GB，GD，GC1(图略)，＝＋＋＝＋＋．因为G为△BC1D的重心，所以＋＋＝0， 又＝＋，＝＋，＝＋，所以3＝＋＋即＝(＋＋)＝，所以∥，又CG∩CA1＝C，所以A1，G，C三点共线． 15.如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－＝____________； (2)用，，表示，则＝____________________． 解析：(1) －－＝－(＋)＝－＝＋＝． (2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋． 答案：(1) 　(2)＋＋ 16.如图，已知多面体ABCD-A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图中标出其结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的四等分点，且|BN|＝3|NC′|，设＝α＋β＋γ，试求实数α，β，γ的值． 解： (1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使|D′F|＝2|FC′|，连接EF，则＋＋＝＋＋＝，向量如图所示． (2)因为＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $