2 第1课时 空间向量的概念及线性运算-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学空间向量的概念及线性运算，从平面向量自然过渡到空间向量，系统梳理空间向量的定义、特殊向量（相等、相反、零向量等）、线性运算（加减、数乘）及共线向量基本定理，构建“概念-运算-应用”的学习支架。 资料通过正方体、六棱柱等几何模型直观呈现向量关系，结合例题辨析概念（如单位向量与相等向量）、推理证明共线问题，培养空间观念与逻辑推理能力。课中辅助教师清晰授课，课后跟踪训练助学生巩固运算技巧，查漏补缺。

§2　空间向量与向量运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 学习目标 1.了解空间向量、向量的模、相等向量、相反向量、零向量、共线向量等概念．　2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．　3.掌握向量数乘运算的意义及运算律． 一　空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量．向量的大小叫作向量的长度或模． (2)表示法：空间向量有两种表示法．一种用有向线段来表示．例如，以点A为起点、点B为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量________．点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点．另一种在印刷时用a，b，c，…表示，书写用，，，…表示． (3)长度：表示向量a的有向线段的长度也叫作向量a的长度或模，用|a|表示．有向线段的方向表示向量的方向． (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 相等向量 方向________且____相等的向量称为相等向量 自由向量 数学中所研究的向量，与向量的________无关，称之为自由向量 相反向量 方向________且模________的向量互为相反向量，向量a的相反向量用______表示 零向量 规定模为0的向量叫作零向量，记为____ 共线向量 (平行向量) 当表示向量的两条有向线段所在的直线_________时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量).向量a、向量b、向量c互为共线向量，记作a∥b，a∥c，b∥c 2.共面向量 当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α，记作________．通常，我们把平行于________的向量，叫作________________． 提醒　(1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个空间向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)空间向量不能比较大小，模可以． (4)空间共线向量不一定具备传递性，比如0. (5)空间中任意两个向量都是共面向量． [答案自填] 　相同　模　起点　相反 相等　－a　0　平行或重合　a∥α 同一平面　共面向量 　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足||>||，则> D．相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 【解析】　(1)对于A，单位向量长度相等，方向不确定；对于B，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；对于C，向量不能比较大小；对于D，相等向量其方向必相同，故选D． (2)A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 【答案】　(1)D　(2)BC (1)空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． (2)处理向量概念问题时要关注的两个要素和两个关系： ①两个要素 判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个要素，即大小与方向，两者缺一不可． ②两个关系 (i)模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件． (ii)向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的． [跟踪训练1] (1)(多选)下列说法中正确的是(　　) A．零向量没有确定的方向 B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝－ C．非零向量a，b相等的充要条件是 D．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 解析：选ABD．A正确；因为与的大小相等且方向相反，即互为相反向量，所以＝－，故B正确；由a∥b，知a与b的方向相同或相反，故C错误；因为＝，所以||＝||且∥.又A，B，C，D不共线，所以四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，有＝，故D正确． (2)如图所示， 在以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中： ①试写出与相等的所有向量； ②试写出的相反向量； ③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解：①与向量相等的所有向量(除它自身之外)为，及． ②向量的相反向量为，，，． ③||＝ ＝＝3. 二　空间向量的加减运算 1．已知空间向量a，b，过空间任意一点A作＝a，＝b，再作向量，如图．把向量叫作空间向量a，b的和． 求空间向量和的运算叫作空间向量的加法．即a＋b＝＋＝.上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则．当空间向量a，b不平行时，过空间任意一点O作＝a，＝b(如图1)，这时，O，A，B三点不共线，在平面OAB内，以OA，OB为邻边作▱OACB.因为＝，所以也有a＋b＝＋＝.由此可见，平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用．与平面向量类似，空间向量a，b的差也可定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．如图2.a－b＝－＝＋＝＋＝. 图1 图2 2．空间向量加法交换律、结合律 (1)交换律：a＋b＝________； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 提醒　(1)求向量和时，可以首尾相接(若为封闭图形，则和为0)，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用． [答案自填] b＋a 　(1)化简：(－)－(－)＝__________________________． (2)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量． 【解】　(1)方法一(统一成加法后利用空间向量加法的多边形法则化简)： (－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0. 方法二(结合向量减法的三角形法则化简)： (－)－(－)＝－－＋＝－－＋＝－＋＝＋＝0. 方法三(利用＝－把各个向量转化成与空间中的某一点有关的向量来化简)： 设点O是空间内任意一点， 则(－)－(－)＝[(－)－(－)]－[(－)－(－)] ＝－－＋－＋＋－＝0. (2)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝. 同理＝，＝，＝， 所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图中向量． 【变式探究】 (综合变式)若本例(2)中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简－＋，并在图中标出化简结果的向量． 解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥FE，BC＝FE，又因为F1E1∥EF，F1E1＝FE，所以BC∥F1E1，BC＝F1E1，所以四边形BCE1F1是平行四边形，所以－＋＝＋＝，如图中向量． 空间向量加、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． [跟踪训练2] 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，点E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简下列式子，并在图中标出化简结果． (1)＋－； (2)－－. 解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. 三　空间向量的数乘运算 1．空间向量的数乘运算 定义 与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算 几何意义 λ>0 向量λa与向量a方向________ |λa|＝|λ||a|，λa的长度是a的长度的________倍 λ<0 向量λa与向量a方向________ λ＝0 λa＝0，其方向是________的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，其中λ∈R，μ∈R. 2.共线向量基本定理(也称“一维向量基本定理”)： 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得________． 提醒　(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响λa的长度． (3)向量λa与向量a一定是共线向量． [答案自填] 相同　相反　任意　|λ|　a＝λb 　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2) ；(3). 【解】　(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因为N是BC的中点，所以＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)因为M是AA1的中点，所以＝＋＝＋＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c. 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟踪训练3] 已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的投影恰好是正方形ABCD的中心O，M是CD的中点，化简下列各式： (1)－－； (2)2－2＋. 解：可将问题转化为在如图所示的四棱锥P-ABCD 中求解，连接OM. (1)－－ ＝－(＋) ＝－(2 ) ＝－ ＝. (2)2 －2＋ ＝2(－)＋ ＝2＋ ＝＋＝. 四　共线问题 角度1　判断或证明共线 　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 【证明】　设＝a，＝b，＝c.因为＝2，＝，所以＝ ＝＝b. ＝＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.所以＝－＝a－b－c＝.又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝.又因为EF∩EB＝E，所以E，F，B三点共线． 角度2　利用共线求参数 　设e1，e2是不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k＝________． 【解析】　由已知得＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，又A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，即(2－λ)e1＝(－k－4λ)e2，又e1，e2不共线，所以解得 【答案】　－8 证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R). (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1). [跟踪训练4] (1)设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝_______________. 解析：因为＝－2a－b，＝a－2b，所以＝＋＝－＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即9a＋mb＝λ(－3a＋b)，又a，b不共线．所以解得m＝λ＝－3. 答案：－3 (2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 证明： 连接AO，AC1，A1C1，如图所示．由＝ ，得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋.又＝2，＝＋＝－＝－2，所以＝(－2)＋＝ ＋＝(＋)＋(＋)，所以＋＝0，即＝－2，故C1，O，M三点共线． 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 解析：选ABC．容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．A，B，C为真命题，故选ABC． 2．(2024·陕西西安月考)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＋＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．＋＋CC1＝＋＋＝．故选B． 3．已知四边形ABCD是平面α内的平行四边形，点O是平面α外任意一点，用向量，，表示为＝________，向量－＋的相反向量为________． 解析：因为四边形ABCD是平面α内的平行四边形，所以＝，所以－＝－，所以＝－＋＝－＋；因为向量－＋＝＋＝，所以的相反向量为，. 答案：－＋　， 4．已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形． 证明：连接AC(图略).由＝＋＝(＋)＝，＝＋＝(＋)＝，得＝.由共线向量基本定理得∥，又点H不在EF上，所以HG∥EF且HG＝EF，故四边形EFGH为平行四边形． 1．已学习：空间向量的相关概念、空间向量的线性运算、共线向量基本定理． 2．须贯通：空间向量的线性运算、共线向量基本定理的应用． 3．应注意：(1)抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，注意它是一个“量”，而不是一个数； (2)利用共线向量基本定理解决三点共线问题忽视公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $