3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若抛物线C与抛物线x2＝4y关于x轴对称，则抛物线C的准线方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．y＝1 D．y＝2 解析：选C．由题意可知，抛物线C的方程为x2＝－4y，所以抛物线C的准线方程是y＝1.故选C． 2．(2024·安徽淮北期中)若抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则y0＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析：选D．抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛物线x2＝16y上一点(x0，y0)到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，解得y0＝2. 故选D． 3．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　) A．x＋4＝0 B．x－4＝0 C．y2＝8x D．y2＝16x 解析：选D．依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D． 4．(2024·陕西宝鸡检测)已知P为抛物线y＝x2上的动点，A(0，)，B(1，2)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．设点P到准线y＝－的距离为d，则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为B到准线的距离，故最小值为2＋＝.当PB垂直于准线时取最小值．故选C． 5.如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为4 m，经过一次暴雨后，水位上升了1 m，水面宽为3 m，则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为(　　) A． m B． m C． m D． m 解析：选C． 以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，设A(，t)，B(2，t－1)，则解得t＝－，所以暴雨后的水面离桥拱顶的距离为 m．故选C． 6．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点P作准线的垂线，垂足为Q，则下列说法正确的是(　　) A．准线l的方程为x＝－1 B．若过焦点F的直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝6，则|AB|＝7 C．若E(2，1)，则|PE|＋|PF|的最小值为3 D．延长PF交抛物线C于点M，若|PF|＝，则|PM|＝ 解析：选ACD．因为抛物线C的方程为y2＝4x，所以p＝2，所以准线l的方程为x＝－＝－1，故A正确；由题意可知焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故B错误；由抛物线C上的点到焦点F与到准线的距离相等可知|PE|＋|PF|＝|PE|＋|PQ|，所以当Q，P，E三点共线时，|PE|＋|PF|取得最小值，即为点E到准线的距离，所以|PE|＋|PF|的最小值为3，故C正确； 如图所示，不妨设点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴于点H，过点M作MN⊥x轴于点N，过点M作准线的垂线，垂足为点D，设准线与x轴的交点为G，则|PF|＝|PQ|＝，|FG|＝2，|FH|＝|FG|－|PQ|＝，|MF|＝|MD|，|FN|＝|MD|－|FG|＝|MF|－2，易知△PHF∽△MNF，则有＝，即＝，解得|MF|＝4，则|PM|＝|MF|＋|PF|＝，故D正确．故选ACD． 7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝.因为|AB|＝y1＋y2＋p＝4，所以y1＋y2＝4－＝，故AB的中点的纵坐标是＝. 答案： 8．(2024·陕西西安检测)可同时满足以下三个条件的抛物线C的方程为______________________________________．(写出一个满足题意的即可) ①C的顶点在坐标原点；②C的对称轴为坐标轴；③C的焦点F在圆(x－2)2＋y2＝9上． 解析：由已知可得C的焦点F在坐标轴上．若抛物线的焦点在y轴上，由x＝0，代入(x－2)2＋y2＝9可得y＝±，所以抛物线的焦点为(0，－)，(0，).当抛物线的焦点为(0，－)时，抛物线的方程为x2＝－4y；当抛物线的焦点为(0，)时，抛物线的方程为x2＝4y.若抛物线的焦点在x轴上，由y＝0，代入(x－2)2＋y2＝9可得x＝－1或x＝5，所以抛物线的焦点为(－1，0)，(5，0).当抛物线的焦点为(－1，0)时，抛物线的方程为y2＝－4x；当抛物线的焦点为(5，0)时，抛物线的方程为y2＝20x.综上所述，可同时满足三个条件的抛物线C的方程为x2＝－4y或x2＝4y或y2＝－4x或y2＝20x. 答案：x2＝－4y(答案不唯一) 9．已知抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线y2＝8x，从点A(4，y1)发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点B(4，y2)，则光线从点A出发到达点B所走过的路程为______________． 解析：如图所示，焦点为F(2，0)，设光线第一次交抛物线于点A′，第二次交抛物线于点B′，A′B′过焦点F，准线方程为x＝－2，作AA″垂直于准线于点A″，作BB″垂直于准线于点B″，则|AA′|＋|A′B′|＋|B′B|＝|AA′|＋|A′F|＋|B′F|＋|B′B|＝|AA′|＋|A′A″|＋|B′B″|＋|B′B|＝|AA″|＋|BB″|＝6＋6＝12. 答案：12 10．(2024·河南驻马店检测)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程． 解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋＝5，所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. (2)由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)，则即又点P(x0，y0)在抛物线C上，所以y＝8x0，即(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)，所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1). 11．倍立方问题是古希腊三大几何问题之一．倍立方问题是指给定一个棱长为a的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍(即给出长度为a的线段).古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系上，画出抛物线y2＝2ax(a>0)和抛物线x2＝2py(p>0)，使得这两个抛物线的其中一个交点横坐标为a，则p的值应取为(　　) A． B． C．a D．a2 解析：选B． 由得x4＝8ap2x.因为x＝a是这个方程的一个解，所以2a3＝8ap2，解得p＝.故选B． 12．已知P为抛物线x＝上任意一点，抛物线的焦点为F，准线为l，点A(3，1)是平面内一点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A． B．3 C．4 D．5 解析：选D．根据已知条件作出图象如图，过点P作PP′⊥l，且直线l的方程为x＝－2，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|，所以当P′，P，A三点共线时，此时|PA|＋|PP′|有最小值，即|PA|＋|PF|有最小值，所以(|PA|＋|PF|)min＝|AP′|，因为P′(－2，1)，A(3，1)，所以(|PA|＋|PF|)min＝|AP′|＝5.故选D． 13．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－6)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________，此时点M的坐标为________． 解析：设点M在直线y＝－1上的投影为点P，则|MF|＝|MP|，连接MC，AC(图略)，则有|MC|－1≤|MA|≤|MC|＋1，所以|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MP|≥|MC|－1＋|MP|≥|PC|－1，所以当M，P，C(A在线段MC上)三点共线时，|MA|＋|MF|有最小值，此时|MA|＋|MF|＝|PC|－1＝6＋1－1＝6，xM＝xC＝－1，所以yM＝，所以M(－1，). 答案：6　(－1，) 14．已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任意一点P(x，y)，则|PA|2＝＋y2＝＋2x＝＋，因为x≥0，且在此区间上函数y＝(x＋)2＋单调递增，所以当x＝0时，|PA|min＝，故距离点A最近的点P的坐标为(0，0). (2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任意一点，则点M到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝，所以当y0＝1时，dmin＝＝，所以点M的坐标为. 15．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，满足＝3，设点P在准线l上的投影为M，若△PMF的面积为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．方法一：如图，设点Q在准线l上的投影为N，PQ的延长线交准线于点A，设|QF|＝|QN|＝t， 则|PF|＝|PM|＝3t，所以|PQ|＝4t，易证△AQN∽△APM，故|AQ|＝2t，所以∠APM＝，即△PMF为等边三角形，由S△PMF＝，得3t＝2，所以p＝2cos ＝1. 方法二：不妨设PQ的倾斜角为锐角θ，则|PF|＝，|QF|＝，所以＝＝3，即cos θ＝，θ＝，所以∠APM＝，即△PMF为等边三角形，由S△PMF＝，得边长为2，所以p＝1. 方法三：设PQ的倾斜角为锐角θ，|QF|＝t，则|PF|＝3t，由＋＝，得t＝＝，即cos θ＝，θ＝，所以△PMF是边长为3t＝2p的等边三角形，由S＝(2p)2＝，得p＝1.故选A． 16．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 解：(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x. (2)由(1)知F(1，0).设Q(x0，y0)，则＝9＝(9－9x0，－9y0)，所以P(10x0－9，10y0)，由点P在抛物线C上得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝，所以直线OQ的斜率kO Q＝＝＝.当y0＝0时，kO Q＝0.当y0≠0时，kO Q＝.当y0＞0时，因为25y0＋≥2＝30，此时0＜kOQ≤，当且仅当25y0＝，即y0＝时，等号成立；当y0＜0时，kO Q＜0.综上，直线OQ斜率的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $