3.1 抛物线及其标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§3　抛物线 3．1　抛物线及其标准方程 学习目标 1.结合教材实例掌握抛物线的定义．　2.掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程．　3.通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． 一　抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的集合(或轨迹)叫作抛物线．__________叫作抛物线的焦点，____________叫作抛物线的准线． [答案自填] 相等　定点F　定直线l 思考　平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 提示：不一定．当定直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于定直线的一条直线；当定直线不经过定点时，点的轨迹是抛物线． 　(1)在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点M的轨迹是(　　) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 (2)如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，线段AB交圆A于点P，过点P作圆A的切线l，当r(r≥|AB|)变化时，l与圆B的公共点的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【解析】　(1)动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线．故选A． (2)由题意画图如图所示．设切线l与圆B的一个公共点为M，过点A作直线AB的垂线m，过点M作MN⊥m，垂足为N，连接MB，则|MB|＝r，|MN|＝|PA|＝r，所以|MB|＝|MN|，即动点M到定点B的距离等于动点M到定直线m的距离，且定点B不在定直线m上，根据抛物线的定义知，动点M的轨迹是以B为焦点，m为准线的抛物线．故选D． 【答案】　(1)A　(2)D 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． [跟踪训练1] (1)在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．当定点在定直线上时，点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线，充分性不成立；若点P的轨迹为抛物线，由抛物线的定义，知点P到某定点的距离等于其到某定直线(该直线不过定点)的距离，必要性成立．故选B． (2)过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 解析：选D．如图，设P为满足条件的一点，不难得出点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线． 二　抛物线的标准方程 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 ____________ ______ ______ ____________ ______ ______ ____________ ______ ______ ____________ ______ ______ [答案自填] y2＝2px(p＞0)　　x＝－　y2＝－2px(p＞0)　　x＝ x2＝2py(p＞0)　　y＝－　x2＝－2py(p＞0)　　y＝ 　分别求适合下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为y＝； (2)经过点(3，1)； (3)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 【解】　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)因为点(3，1)在第一象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则由12＝2p×3，解得p＝，此时抛物线的标准方程为y2＝x；若抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，则由32＝2p×1，解得p＝.此时抛物线的标准方程为x2＝9y.故所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝9y. (3)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4，0).当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4，0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]　当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少分类讨论的情况． [跟踪训练2] 根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)焦点是直线2x－3y－2＝0与y轴的交点； (2)准线是过椭圆＋＝1的左焦点且与x轴垂直的直线； (3)经过点P(－2，－4). 解：(1)在2x－3y－2＝0中，令x＝0，得y＝－，即焦点为(0，－)，于是有－＝－，即p＝，故抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)由椭圆的方程易得椭圆的左焦点为(－，0).由题可知，抛物线的准线方程为x＝－，于是有－＝－，p＝2.故抛物线的标准方程为y2＝4x. (3)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0).分别将点P的坐标代入上述方程，解得p1＝4，p2＝，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x和x2＝－y. 三　抛物线的定义和方程的应用 　(1)若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________________． (2)若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程． 【解】　(1)依题意得抛物线y2＝－2px(p>0)的焦点为F(－，0)，准线方程为x＝，则－(－9)＝10，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝－4x.将x＝－9代入可得y＝±6，所以点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6). (2)由于位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F(，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0). 【变式探究】 1．(设问变式)若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标． 解：设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为(，)或(，－). 2．(综合变式)若本例(2)中增加一点A(3，2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标． 解：过点M作l的垂线，与l交于点N，如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|＝|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0，2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2). (1)抛物线的定义在解题中的作用就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短、三角形中三边间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等． (2)解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． [跟踪训练3] (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上的点M(1，m)到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝4 B．x＝2 C．x＝－1 D．x＝－2 解析：选D．因为抛物线方程为y2＝2px(p>0)，所以抛物线焦点为F(，0)，准线方程为x＝－，又因为点M(1，m)到其焦点的距离为3，根据抛物线的定义，得1＋＝3，所以p＝4，所以准线方程为x＝－2. (2)(2024·河南联考)设F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点P的坐标为(m，n)，若|AF|＋|BF|＝5，则实数m的值为________． 解析：因为F是抛物线y2＝2x的焦点，所以F(，0)，准线方程为x＝－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5, 所以x1＋x2＝4，所以线段AB的中点横坐标为2, 即m＝2. 答案：2 1．(2024·江西吉安期中)若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝(　　) A． B．－ C．8 D．－8 解析：选B．抛物线y＝ax2化为标准方程x2＝y，所以准线方程是y＝－，所以－＝2，解得a＝－.故选B． 2．(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 解析：选AC．符合条件的抛物线标准方程有两种形式①y2＝2px(p>0)，代入点P(4，－2)可得方程为y2＝x，②x2＝－2py(p>0)，代入点P(4，－2)可得x2＝－8y.故选AC． 3．(2024·河南南阳中学检测)抛物线x2＝16y的焦点的坐标为____________． 解析：抛物线x2＝16y，则2p＝16即p＝8，抛物线开口向上，焦点为(0，4). 答案：(0，4) 4．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．由抛物线的定义可知，动圆圆心M的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的抛物线，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2＝－12y. 1．已学习：抛物线的定义及标准方程、抛物线定义和方程的应用． 2．须贯通：应用抛物线的定义要抓住动点到定点与定直线的距离相等这一条件．利用待定系数法来求抛物线的标准方程，只需求出p的值，求最值问题常利用数形结合思想． 3．应注意：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 学科网（北京）股份有限公司 $