2.1 双曲线及其标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·广西桂林期中)若方程＋＝1表示的图形是双曲线，则实数m的取值范围是(　　) A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5 解析：选D．由题意，(m－5)(m＋4)<0，解得－4<m<5.故选D． 2．已知双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选B．2a＝|－|＝4，所以a＝2，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为－＝1.故选B． 3．(2024·江西上饶第一中学检测)若椭圆＋＝1(m>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数m＝(　　) A． B．1或2 C．1或 D．1 解析：选D．双曲线－＝1的焦点在x轴上，依题意，0<m2<4，即0<m<2，又＝，解得m＝1.故选D． 4．(2024·江西吉安宁冈中学期末)已知点M(－，0)，N(，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹方程为(　　) A．－y2＝1(x≥) B．－y2＝1(x≤－) C．－y2＝1(x≥2) D．－y2＝1(x≤－2) 解析：选C．由点M(－，0)，N(，0)，可得|MN|＝2，又由|PM|－|PN|＝4<|MN|＝2，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，2c＝2，可得a＝2，c＝，则b2＝c2－a2＝1，所以点P的轨迹方程为－y2＝1(x≥2).故选C． 5．(2024·陕西商洛期末)设A是函数f(x)＝图象上一点，M(－，0)，N(，0)，若|AM|＋|AN|＝6，则|AM|＝(　　) A．3＋ B．3± C．3＋ D．3± 解析：选B．设y＝，则－y2＝1(y≥0)，则函数f(x)＝的图象是双曲线－y2＝1的一部分．因为＝，所以M(－，0)，N(，0)是双曲线－y2＝1的焦点，则|AM|－|AN|＝±2a＝±2，又|AM|＋|AN|＝6，所以|AM|＝3±.故选B． 6．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则(　　) A．若m＝n＝4，则曲线C是圆，其半径为2 B．若m>n>0，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上 C．若曲线C过点(－，)，(－，)，则曲线C是双曲线 D．若mn＝0，则曲线C不表示任何图形 解析：选BC．对于A，当m＝n>0时，曲线C可化为x2＋y2＝，易知曲线C是圆，半径为＝，故A错误；对于B，当m>n>0时，曲线C可化为＋＝1表示的是椭圆，而>>0，所以其焦点在y轴上，故B正确；对于C，将点(－，)，(－，)，代入曲线C：mx2＋ny2＝1，有解得mn<0，所以曲线C是双曲线，故C正确；对于D，若m＝1，n＝0，满足条件，此时曲线C：x2＝1，表示两条直线，故D错误，故选BC． 7．(2023·安徽亳州月考)已知双曲线C：2x2－y2＝2，则双曲线C的焦距是________． 解析：已知双曲线C：2x2－y2＝2，即C：x2－＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.所以双曲线C的焦距为2c＝2. 答案：2 8．若双曲线的一个焦点是直线x＋2y＝4与坐标轴的交点，且c＝2a，则此双曲线的标准方程为________． 解析：直线x＋2y＝4与坐标轴的交点坐标为(4，0)，(0，2)，当双曲线的焦点在x轴上时，c＝4，因为c＝2a，所以a＝2，因此b＝＝＝2，即双曲线的标准方程为－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，c＝2，因为c＝2a，所以a＝1，因此b＝＝＝，即双曲线的标准方程为y2－＝1. 答案：y2－＝1或－＝1 9.已知F1，F2是双曲线－＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________________． 解析：由双曲线方程得，2a＝8，由双曲线的定义得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②由①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16. 答案：16 10．如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 解：(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.由于c－a＝5－3＝2，c＋a＝5＋3＝8，16>8，10>2，22>2，故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 11．(2024·江西省铜鼓中学阶段练习)已知F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，点P在该双曲线上，若|PF1|＝11 ，则|PF2|＝(　　) A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 解析：选D．由双曲线方程－＝1得a＝5，b＝2，c＝7 ，由双曲线的定义得，||PF1|－|PF2||＝2a＝10，又|PF1|＝11，解得|PF2|＝1或|PF2|＝21.又点P在该双曲线上时要满足|PF2|≥c＋a＝12或者|PF2|≥c－a＝2.所以|PF2|＝21.故选D． 12．(2024·江西宜丰月考)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，则动圆圆心C的轨迹方程为______________． 解析：设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由圆C1：(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C1(3，0)，半径r1＝2，由圆C2：(x＋3)2＋y2＝4，可得圆心C2(－3，0)，半径r2＝2.根据题意，可得或所以|CC1|－|CC2|＝4或|CC1|－|CC2|＝－4，可得||CC1|－|CC2||＝4，又因为|C1C2|＝6，所以||CC1|－|CC2||＝4<|C1C2|＝6，根据双曲线的定义，可得点C的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线，且2a＝4，2c＝6，所以a＝2，c＝3，则b＝＝，所以所求曲线的轨迹方程为－＝1. 答案：－＝1 13．已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线C于A，B两点，若△ABF1的周长为20，则线段AB的长为______________． 解析：由双曲线C：－y2＝1，可知a2＝4，b2＝1，则c2＝4＋1＝5.易得双曲线的实轴长2a＝4，焦距2c＝2.若A，B都在右支上，则|AF1|＝|AF2|＋4，|BF1|＝|BF2|＋4，△ABF1的周长|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＋8＝2|AB|＋8＝20，解得|AB|＝6； 否则，不妨设是如图所示的情况：|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|－4＋|BF2|＋4＋|AF2|－|BF2|＝2|AF2|＝20，所以|AF2|＝10，所以|AF1|＝10－4＝6，设|AB|＝t，则|BF2|＝10－t，|BF1|＝10－t＋4＝14－t，由余弦定理的推论得cos ∠F2AF1＝＝，解得t＝. 答案：6或 14．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a＞0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB＝，kAC＝.由题意，得·＝m，即－＝1(y≠0).当m＞0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m＜0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1＜m＜0时，椭圆焦点在x轴上；当m＜－1时，椭圆的焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点). 15．(2024·江西临川一中检测)已知点F1，F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，过点F1的直线l交双曲线C的右支于第一象限点P，若△F1PF2的内切圆的半径为1，则直线l的斜率为(　　) A． B． C．1 D． 解析：选B．由题得双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3.如图，设△F1PF2的内切圆的圆心为G，内切圆与三边相切于E，F，H，|PF1|－|PF2|＝|PE|＋|EF1|－|PF|－|FF2|＝|EF1|－|FF2|＝|F1H|－|F2H|＝c＋|OH|－(c－|OH|)＝2|OH|＝2a，所以|OH|＝a，即△F1PF2的内切圆与x轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为H，设直线l的倾斜角为θ，即θ＝∠PF1F2＝2∠GF1H，由内切圆的性质可知GH⊥x轴，所以在Rt△GF1H中，tan ∠GF1H＝＝＝＝，所以tan θ＝tan 2∠GF1H＝＝.故选B． 16．如图，某野生动物保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s(注：信号每秒传播V0 km). (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 解：(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 s，故|PB|－|PA|＝×V0＝40＜|AB|＝60，故点P的坐标满足双曲线的定义．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0，x＜0)，由题意可知2a＝40，2c＝60，可得b2＝c2－a2＝500，故点P的轨迹方程为－＝1(x＜0). (2)设轨迹上一点为P(x，y)，则|PC|＝＝，又因为－＝1，可得x2＝y2＋400，代入可得|PC|＝＝≥＝20，当y＝时，|PC|可取得最小值，最小值为20.故扫描半径r至少是20 km. 学科网（北京）股份有限公司 $